1、第 1 页 共 8 页习题四1设随机变量 的分布律为X-1 0 1 2kp0.1 0.2 0.3 p求 ， ， .)(E)12答案： ， ， ；4.0(X1)(E2.设随机变量 的分布律为-1 0 1p1p2p3p且已知 , ,求 ， ， .1.0)(XE9.0)(223【解】因 23P,又 1231() 0.PA,22309EXP由联立解得 123.4,.,.53.设随机变量 的概率密度为)(xf.,0,1,其 它x求 ， .)(XED【解】 1201()d()dxfxx133201.12223017()()d()d6EXxfxx故 ().6D4.设随机变量 的概率密度为 .0,e)(2xc
2、xfk第 2 页 共 8 页求(1) ；（2） ；（3） .c)(XE)(D【解】(1) 由 220ded1kxcfxc得 2k.(2) 0()()ekxA220ed.kx(3) 222201()()e.kxEXfA故 22214.DEX5. 过单位圆上一点 作任意弦 ， 与直径 的夹角 服从区间 上的均匀分布，求弦PAPB2,的长度的数学期望.PA解：弦 的长为随机变量 ，由任意 的密度函数为X 41cos2)cs(cos2,01)( dEXPBXAp故 其 他6设 服从柯西分布，其密度函数为 xxf,)1()2问 是否存在？)(XE解：因为 dxx21所以 不存在。EX7.一汽车需要通过三
3、个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立的，且红绿两种信号显示时间相同，以 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，求 .XE1答案： 967第 3 页 共 8 页8设随机变量 服从区间 上的均匀分布，求 的数学期望与方差.X21, )sin(XY解： 21,0sinxdEY。212/1iD9.一工厂生产某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，其概率密度为X.0,e4)(xxfx为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利
4、Y 只有两个值：100 元和200 元/41/4110edxPYX/2.故 1/41/41/4()e(20)e)3023.64E (元).10.设随机变量 相互独立，且 求下列随机变量的数学期望.ZYX, ,5(XE,(Y,8)(ZE（1） ；（2） .3UYV【解】(1) ；(2) 4)(68)(11.设随机变量 的概率密度为,.,0,1),(其 它xykyxf试确定常数 ，并求 .kXYE【解】因 10(,)dd1,2xfxyky故 k=2 10()()d2d0.5xfxyy .12.设 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为YX,)(xfX;,0,12其 它x)(yfY.,0,)5(
5、其 它ye第 4 页 共 8 页求 .)(XYE【解】先求 X 与 Y 的均值102()d,3xA5(5)500eede516.zyyzzE 令由 X 与 Y 的独立性，得 2()()4.3EXYA13.袋中装有 12 个灯泡，其中 9 个好灯泡，3 个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量 ，求 和 .X)(EXD【解】其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知0.750,12PX 3910.24,PX39.41, 1.5于是，得到 X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3P 0.750 0.204 0.041 0.
6、005由此可得 ().75.204.30.5.1E2 222201143()(.(.).XDEX14.设随机变量 的概率密度为 .,0,2cos1)(其 它xxf对 独立地重复观察 4 次，用 表示观察值大于 的次数，求 的数学期望.XY32Y【解】令 1,3(1,24)0,iXi.则41(,)iYBp.因为 133PX及 /301cosd2xPX,第 5 页 共 8 页所以 11(),(),()42,2iiEYDEY22()EY,从而 222()()15.15.设随机变量 的数学期望 存在，对于任意 ，求函数 的最小值，并说明XXEx)()2xXExf其意义.解： 222)()()() xx
7、Exf ，d当 时，有唯一驻点 ，0)(2)(Xxf )(XEx又 ，所以在 时，取极小值，也是最小值：2df )(ExDXXEf)()(2这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为其方差。16.设随机变量 服从区间 上的均匀分布，随机变量U,= =X，1,若 若 Y.1,U，若试求 . )(YD【解】因 22()()EYX,而 X+Y 及（X+Y） 2的概率分布相应为0142, 204()1Y.从而 ()(2,EXY10所以 22()()().DEXY17.对随机变量 和 ，已知 ，求 .XY1),cov(,3, YXD)34,123(YXCov【解】 Co
8、v(321,43)()10C8D第 6 页 共 8 页3210()3218.设二维随机变量 在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求),(YX),cov(及相关系数.【解】如图，S D= 12，故（X，Y）的概率密度为 2,(),(,)0xyDfxy其 他 .()(,)dDEXf1012d3xA22()(,)xfy1206xy从而2221()(.638DXEX同理 1,.38Y而 101()(,)d2d2d.xDDxyfxyy所以 Cov(,)()()1236XYEXYA.从而 ,6()8XYDA19.设随机变量 的概率密度为.xexfx,21)(|(
9、1) 求 及 ；)(XE第 7 页 共 8 页（2） 求 ,并问 与 是否不相关？)cov(X（3） 问 与 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) |1()ed0.2xEA | 20()ed.xDX (2) Cov,|()|(|)XEEXAA|1|e,2x所以 X 与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域x+ 中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有00 0| .xX所以 00|1.PXx故由 00000,|xPxxPXA得出 X 与|X|不相互独立.20.已知随机变量 和 分别服从正态分布 和 ，且 与 的相关系数 ,Y)3
10、,1(2N)4,(2Y5.0XY.23Z（1） 求 ；)(,ZDE（2） 求 与 的相关系数 ,并判断 与 是否相互独立.XXZ【解】(1) 1().32Y()2Cov,33YXYDZ1196(,)4而 Cov(,)()3462XYDA第 8 页 共 8 页所以 1()463.DZ(2) 因 Cov(,),Cov,ov,322XYXZXY19()(6)3=0,-所以 ov().XZDZA由 0XZ，得 X 与 Z 不相关.又因 1,3(1,9)N，所以 X 与 Z 也相互独立.21.将一枚硬币重复掷 次，以 和 分别表示正面向上和反面向上的次数.试求 和 的相关系数nY Y. XY【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0.再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q= 12,从而有 ()()4nXpqDY所以 0()XYA2,4XnA 故 XY=-1.
