1、关于抛物线焦点弦的弦长公式补充高县中学 吴伦红在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得： ，且设A,B两点的坐标为 则：，当时，斜率不存在，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。现在我们来探讨这个问题。(2)已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾
2、斜角为，求弦AB的长。解：设A,B的坐标为，斜率为k，而焦点坐标为，故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：从而，弦长为：，即为通径。而与（1）的结果一样，与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得： ，若倾斜角，则；若倾斜角则。设A,B两点的坐标为则：，而，故；当时，|AB|=2p.即为通径。而与（3）的结果一样同理：（4）已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。解：设A,B的坐标为，若倾斜角为，斜率为k，则，而焦点坐标为，故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得：从而，弦长为：当倾斜角，则；当倾斜角则所以恒成立。当时，|AB|=2p.即为通径。而与（4）的结果一样。故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
