1、 4向量的外积 从力学中知道 作用在A点上的力F关于支点O的力矩M的大小为 力矩M的方向为 让右手四指从弯向F 转角小于 则拇指指向为M的方向 本节我们来研究类似于从和F求力矩M这样的向量运算 4 1向量的外积的定义 1 定义1 11两个向量a与b的外积 记作a b 仍是一个向量 它的长度规定为 它的方向规定为 与a b均垂直 并且使 a b a b 成右手系 即 当右手四指从a弯向b 转角小于 时 拇指的指向就是a b的方向 如果a b中有一个为 则a b a b 的充分必要条件是a与b共线 4 2向量的外积的几何意义 平面的定向 平面的定向就是平面上的旋转方向 通常平面几何中的 逆时针方向
2、 与 顺时针方向 不适用 给定平面上的一对不共线的向量 若规定了它们的先后顺序 则从第一个向量到第二个向量的转角小于 的旋转方向就称为平面的一个定向 平面的两个定向对应平面的两侧 平面的两侧又可用垂直于平面的两个方向 或单位向量 来刻画 外积的几何意义 现假定用单位向量e给出了平面的定向 则对于平面上的定向平行四边形 可以给它的面积一个正负号 这叫做定向平行四边形的定向面积 用 a b 表示 从而 4 3向量的外积的运算规律 证明设 其中 由直角三角形的解法知 于是 所以 命题1 9若a 0 则 其中是b沿方向a的外射影 2 命题1 10设e是单位向量 b e 则等于b按右手螺旋规律绕e旋转9
3、0 得到的向量 证明 又由图1 24看出 与同向 所以 3 推论1 4若为右手直角坐标系则有 4 定理1 7外积适合下列运算规律 对于任意向量a b c和任意实数 均有 1 a b b a 反交换律 2 a b a b 证明 1 由定义1 11立即得到 2 当时 与a同向 所以 b与 a b 同向 当时 b与a b反向 从而 b与 a b 同向 因此有 a b a b 3 先证左分配律 若a 则结论显然成立 下设a 因为 所以只要考虑 于是 因为于是据命题1 9得 从而得 再证右分配律 4 4用坐标计算向量的外积 1 先取一个仿射标架 设a b的坐标分别是 则 1 28 从而 作为一种记忆方式 1 28 可以形式地写成 2 定理1 8设a b在右手直角坐标系中的坐标分别为则的坐标为 4 5二重外积 证明取一个右手直角坐标系 设 从而 同理可得 所以 思考题 证明下述的雅科比 Jacobi 等式 注意 向量的外积不适合结合律
