1、矩阵 1 矩阵的定义 一些特殊的矩阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 对角阵 数量阵 单位阵 2 矩阵的基本运算 矩阵相等 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等 两个矩阵同型 且对应元素相等 矩阵加 减 法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 乘法满足 矩阵乘法不满足 交换律 消去律 A是n阶方阵 方阵的幂 方阵的多项式 方阵的行列式 三种基本计算方法 满足 解 转置矩阵 一些特殊的矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 满足 对称矩阵和反对称矩阵 伴随矩阵 3 逆矩阵 定义 唯一性 若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 判定定理 n阶方阵A可逆 且 推论 设A B为同阶
2、方阵 若 则A B都可逆 且 满足规律 逆矩阵求法 1 伴随矩阵法 2 推论法 3 初等变换法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 4 分块矩阵 5 初等变换 对换变换 倍乘变换 倍加变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 矩阵的等价 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与矩阵B等价 记作 初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 与矩阵的相似 合同相互比较 定理 左乘变行 右乘变列 解矩阵方程的初等变换法 A B可逆 矩阵方程 解 秩 A A的不等于0的子式的最高阶数 秩的基本关系式 关于秩的重要结论 6 矩阵的秩 秩的求法
3、1 初等变法 2 若P可逆 则 4 当时 5 例题2 设A B都是n阶方阵 则 e 解 解 R A 2 例5 解 一 向量组的线性相关性 1 向量间的线性运算 加法 数乘 2 线性组合 线性表示 1 判断向量可由向量组线性表示的常用方法 方法1 向量组的线性相关性 是否非零无要求 关键 存在某组使上式成立 2 在判断或证明中 常用到的两个重要结论 结论1 向量可由向量组线性表示 结论2 方法2 证下列非齐次线性方程组有解 即 利用矩阵的初等行变换 行最简形矩阵 3 线性相关性的判别方法 1 一般方法 设数 求系数是有非零解还是只有零解的问题 2 利用向量组的秩判断 当时 线性相关 当时 线性无
4、关 3 利用常用结论 1个零向量线性相关 一个非零向量线性无关 4 最大无关组的选取或证明 1 初等变换法 最常用 n 1个n维向量线性相关 部分相关整体相关 整体无关部分无关 短的无关 长的也无关 长的相关 短的也相关 解 是一个极大无关组 并且 考虑 还有那些极大无关组 二 矩阵的秩 向量组的秩的求法 初等变换后 看非零行的行数 三 关于向量组的秩 矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理 那么线性相关 3 三秩相等 矩阵A的秩 A的行秩 A的列秩 向量空间的概念 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭 由向量组生成的向量空间 子空间的概念 向量空间的基 维数和坐标 求向量空间基和维数的方
5、法 生成子空间 求向量在给定基底下的坐标 四 向量空间 五 正交化与正交矩阵 1 正交化 单位化 2 正交矩阵 的n个列 行 向量组为单位正交向量组 也是正交矩阵 是正交矩阵 则也是正交矩阵 定理1设有非齐次线性方程组 1 定理2设有齐次线性方程组 2 设r A r 则 线性方程组的解法与解的结构 定理1设有齐次线性方程组 2 方程组的通解 基础解系 定理2设有非齐次线性方程组 1 例7 解 1 是 2 3 由 2 即得条件 1 特征值的求法 2 特征向量的求法 特征值和特征向量 3 对角化 看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵 充要条件 充分条件 有n个不同特征值 或 A为实对称矩阵 填空题 已知三阶方阵 的三个特征值为 则 A 的特征值为 的特征值为 的特征值为 设 k 0 k是正整数 则 的特征值为 若 则 的特征值为 1 2 1 3 4 1 16 0 0 1 4 设A是3阶方阵 已知方阵 都不可逆 则 的特征值为 已知三阶矩阵A的特征值为 则 1 1 3 72 例8 1 求 设 相似于 1 由性质 2 2 解 例9 二次型 1 利用正交变换化为标准形的过程 2 正定矩阵的判别方法 定义法 利用特征值全大于零 顺序主子式全大于零 二次型化为标准形 的矩阵与对角矩阵合同 求正交变换 化二次型为标准形 找正交矩阵 使
