1、线性空间,第六章 线性空间,线性空间,1 集合和映射,1 集合和映射,一、集合,集合：由一堆东西组成的整体，通常用大写字母A、B、C表示。,元素：组成集合的个体，通常用小写字母a、b、c表示。,集合与元素的关系：,(1) aA 表示a是集合A中的元素。,(2) aA 表示a不是集合A中的元素。,(3) 无限集：由无限个元素组成的集合。,(4) 有限集：由有限个元素组成的集合。,(5) 空集：不含任何元素的集合，通常用表示。,线性空间,1 集合和映射,集合的表示方法：,(1) 列举法：列举出集合的全部元素。,(2) 描述法：给出元素所具有的共同特征，表示为,A= a | a具有的某种性质 。,集
2、合与集合的关系,(1) 包含：若集合A的元素全是集合B中的元素，则称A是B的,子集合，或称集合B包含集合A，记为AB或BA。,(2) 相等：若集合A与集合B含有完全相同的元素，则称集合,A与集合B相等，记为A=B。,线性空间,1 集合和映射,集合的运算：,(1) 集合的交：A和B是两个集合，既属于A又属于B的所有元,素组成的集合称为A与B的交，记为：AB= x | xA且xB 。,(2) 集合的并：A和B是两个集合，属于A或属于B的所有元素,组成的集合称为A与B的并，记为：AB= x | xA或xB 。,集合的交和并可以推广到任意个集合的情况：,线性空间,1 集合和映射,几个运算规律：,(1)
3、 ABA ABB,(2) ABA ABB,(3) A(AB)=A A(AB)=A,(4) A(BC)=(AB)(AC),(5) A(BC)=(AB)(AC),线性空间,1 集合和映射,二、映射,映射：设A、B是两个非空集合，若存在A到B的一个对应法则, ，使得对aA，存在唯一确定的bB与之对应，则称是,A到B的一个映射，记为 ：ab或(a)=b，其中b称为a在映射,下的像，a称为b在映射下的原像。,关于A到B的映射，应该注意以下几点：,(1) 若集合A和B相同，常称为A到A的变换。,(2) 集合A中每个元素必须在B中有像，而且像是唯一的，但A,中不同的元素可以有相同的像。,(3) 不要求集合B
4、中每个元素在A中有原像。,(4) 两个集合之间可以建立多个映射。,线性空间,1 集合和映射,映射的像集：,设是集合A到B的映射，其像的全体称为的像集，记为：,(A)= (a) | aA 或 Im(A)= (a) | aA 。,映射的相等：,设和是集合A到B的两个映射，若对A中每个元素a，都,有(a)=(a)，则称这两个映射相等，记为：=。,线性空间,1 集合和映射,特殊映射：,恒等映射：设是集合A到A的映射，若对aA都有(a)=a，,则称是集合A上的恒等映射，记为： =IA,满射：设是集合A到B的映射，若(A)=B，则称为A到B,单射：设是集合A到B的映射，若a1,a2A，a1a2，有,(a1
5、)(a2), 则称是A到B的单射。,双射：设是集合A到B的映射，若既是单射又是满射，,则称是A到B的双射，或称为一一映射。,的满射。,线性空间,1 集合和映射,映射的乘积：设是集合A到B的映射，是集合B到C的映射，,定义: ()(a)=(a), aA，则称是映射和的乘积，,其中是集合A到C的映射。,逆映射：设是集合A到B的映射，是集合B到A的映射，若,=IA, =IB, 则称为的逆映射，记为： = -1 。,设是A到B的映射，则可逆的充要条件是为一一映射。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,2 线性空间的定义和性质,一、线性空间的定义,例1 解析几何中，三维空间中向量的基本属性是可按平行四,
6、边形规律相加，也可以与实数做数量乘法。,例2 为求解线性方程组，定义了n维向量的加法和数与向量的,例3 对于函数，定义了函数的加法和实数与函数的数量乘法。,虽然所考虑的对象不同，运算的定义也各不相同，但它们都 有类似的代数运算：加法和数量乘法。,数量乘法。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,定义1 设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V上定义,一种代数运算， 加法：对V中任意两个元素和，在V,中都有唯一的一个元素与它们相对应，称为与的和，,记为：= +。在数域P与集合V的元素之间定义一种,运算，数量乘法：对于数域P上的任意一个数k与V中任意一,称为k与的数量乘积，记为： =k。如果所定义
7、的加法,和数量乘法满足如下8条规则，则称V为数域P上的线性空间。,个元素，在V中都有唯一的一个元素与它们相对应，称,线性空间,2 线性空间的定义和性质,对，V，k，lP，加法满足下面四条规则：,(1) + = + ,(2) ( + ) + = + ( + ),(3) V中有一元素，对于V中任一元素都有 + = ,(4) V中任一元素，都有V中的元素使得 + = ,数量乘法满足下面两条规则：,(5) 1 = ,(6) k(l) = (kl),数量乘法与加法满足下面两条规则：,(7) (k + l) = k + l,(8) k( + ) = k + k,满足以上8条的加法和数量乘法通常称为线性运算
8、。,线性空间中的元素也称为向量，因此线性空间也称为向量 空间，但这里的向量比几何中向量的含义要广得多。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,几个例子：,例4 数域P上所有mn阶矩阵组成的集合，按矩阵的加法和数,与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，记为 Pmn。,特别地，Pm= (a1,a2,am) | aiP是由全体m维向量组成的集,合，按向量的加法和数量乘法构成一个向量空间。,例5 数域P上一元多项式环Px，按多项式的加法和数与多项式,的乘法，构成数域P上的线性空间。若只考虑其中次数小于n的,多项式，再添上零多项式，也构成数域P上的线性空间，记为：,例6 全体实函数，按函数的加法和
9、数与函数的乘法，构成实数,域上的线性空间。,例7 数域P上，按数的加法和乘法，构成一个自身的线性空间。,Pxn。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,例8 按通常几何向量的加法和数量乘法，下列各集合是否构成,实数域上的线性空间。,(1) 空间中与一个已知向量平行的全体向量添上零向量组成,(2) 空间中不平行于一个已知向量的全体向量组成的集合V。,(3) 起点在原点，终点在一条直线上的全体向量组成的集合V。,例9 按通常多项式的加法和数量乘法，下列各集合是否构成数,域P上的线性空间。,(1) 数域P上次数等于定数n(n1)的多项式所组成的集合V。,(2) 数域P上一切形如,的多项式所组成的集合V
10、。,(3) 已知数域P上的多项式g(x)，g(x)的所有倍式所组成的集合V。,的集合V。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,例10 按通常数域P上矩阵的加法与数量乘法，下列数域P上的,矩阵集合是否构成数域P上的线性空间。,(1) 全体n阶对称矩阵所组成的集合V。,(2) V= X | AX=0 ，其中A为给定的n阶矩阵。,例11 按通常数的加法和乘法运算，下列各数集是否构成指定,数域P上的线性空间。,(1) 实数域R是否分别构成实数域、复数域上的线性空间。,(2) 复数域C是否分别构成实数域、复数域上的线性空间。,例12 按通常函数的运算，下列集合是否构成实数域上的线性,(1) 定义在a,
11、b上的全体实连续函数。,(2) 定义在a, b上的函数值总为非负数的全体函数。,空间。,线性空间,2 线性空间的定义和性质,例13 下列集合对指定运算是否构成实数域上的线性空间。,(1) 全体实数组成的二元数组组成的集合，定义运算,(2) 全体n阶矩阵组成的集合，按通常与数的乘法运算，加法,定义为：,线性空间,2 线性空间的定义和性质,二、线性空间的基本性质,性质1 零元素唯一。,性质2 负元素唯一。,性质3 0 = ；k = ；(-1) = -。,性质4 若k = ，那么k = 0 或者 = 。,性质5 (k - l) = k - l 。,性质6 k( ) = k - k 。,线性空间,3
12、维数，基与坐标,3 维数，基与坐标,一、向量组的线性相关性,线性表出。,线性空间,3 维数，基与坐标,如果这两个向量组可以互相线性表出，那么这两个向量组是,定义4 设V是数域P上的一个线性空间，如果在数域P中有r个,等价的。,线性空间,3 维数，基与坐标,相关结论：,的线性组合。,线性表出，那么rs。两个等价的线性无关向量组含有相同个,数的向量。,线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量,唯一。,线性空间,3 维数，基与坐标,例1 在数域R上的4维线性空间R4内，给定向量组,判断此向量组是否线性相关。,例2 实数域R上的线性空间R22中的向量组,判断此向量组是否线性相关。,例3 在实数域上
13、的连续函数空间，证明下列函数是线性无关的。,(1),(2),(3),线性空间,3 维数，基与坐标,在实数域上线性无关的充要条件是a, b,线性空间,3 维数，基与坐标,二、基和维数,定义5 设V是数域P上的一个线性空间，如果V中向量,量的个数n称为V的维数，记为dimV=n，并称V为n维线性空间。, 如果线性空间V的基中只含有有限多个线性无关的向量，,则称V为 有限维线性空间。, 如果线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则,称V为无限维线性空间。,满足以下两条：,线性空间,3 维数，基与坐标,相关性质：,都可它唯一表出。,(2) 设V为n维线性空间，则V中任意n个线性无关向量都是V的,
14、线性表出，而且有一个向量的表示法是唯一的，则V必为n维,线性空间，且这组向量就是它的一组基。,构成线性空间V的一组基。,(3) 如果线性空间V中每个向量都可由V中n个向量,一组基。,线性空间,3 维数，基与坐标,三、坐标,下的坐标为：,线性空间,3 维数，基与坐标,例6 证明：,在这两组基下的坐标。,例7 证明：,在这组基下的坐标。,是n维线性空间Pn中的两组基，并求向量,是线性空间R22中的一组基，并求矩阵,线性空间,4 基变换与坐标变换,4 基变换与坐标变换,一、基变换和过渡矩阵,它们有如下关系：,为书写方便，引入一种形式写法，把向量,写成向量相乘的形式,线性空间,4 基变换与坐标变换,那
15、么上式可以改写为：,其中矩阵,线性空间,4 基变换与坐标变换,向量表达式的运算规律：,两个n阶方阵，那么,(1),(2),(3),线性空间,4 基变换与坐标变换,基本性质：,的过渡矩阵是A，则 (1) A是唯一的；(2) A是可逆的；(3) 基,性质2 任何一个n阶可逆的方阵都可以作为n维线性空间中的,一组基到另一组基的过渡矩阵。,线性空间,4 基变换与坐标变换,二、坐标变换,则：,线性空间,4 基变换与坐标变换,不同基下的坐标有如下关系：,上式称为坐标变换公式。,或,线性空间,4 基变换与坐标变换,例1 设,例2 设,线性空间,4 基变换与坐标变换,例3 设线性空间R22中的两组基为,的过渡
16、矩阵，并证明 f (x)Pxn的Taylor公式：,在这两组基下的坐标。,线性空间,5 线性子空间,5 线性子空间,一、子空间的定义及判别,定义7 设W是数域P上线性空间V的一个非空子集，如果W对V,中的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间，则称W是V的,一个线性子空间(或简称子空间)。,定理2 设W是数域P上线性空间V的一个非空子集，如果W对V,中的两种运算是封闭的，那么W就是V的一个子空间。,推论 数域P上线性空间V的一个非空子集W为V的子空间的充要,条件是对W中任意向量, 及P中任意数k，l都有k+lW 。,线性空间,5 线性子空间,例1 设n维线性空间Pn中，满足下列各条件的全体n维
17、向量,的集合能否构成Pn的一个子空间？是几维子空间？,例2 若以f(x)表示实系数多项式，试证,是Rx的子空间，并求出它的一组基。,(1),(2),(3),线性空间,5 线性子空间,二、子空间的构成,向量的所有可能的线性组合,所成的集合是非空的，而且对V中的两种运算封闭，因此它是,空间， 记为：,中任一子空间是否一定可由一组向量生成了？,对于有限维空间V，答案是肯定的。,线性空间,5 线性子空间,为V的一组基。,阶矩阵，而,的秩。,定理4 设W是数域P上n维线性空间V的m维子空间，,线性空间,5 线性子空间,例4 设V1，V2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明：在,例5 设V1，V2，Vs是
18、线性空间V的s个非平凡子空间，证,明：在V中至少有一个向量不属于这s个子空间中的任何一个。,例6 设V1，V2，Vs是线性空间V的s个非平凡子空间，证,间中。,线性空间,6 子空间的交与和,6 子空间的交与和,一、子空间的交与和的概念,定义8 设V1，V2是数域P上线性空间V的两个子空间，V1与V2,的交表示既属于V1，又属于V2的向量的全体，记为：V1V2，,记为：V1+V2，即,定理5 设V1, V2是数域P上线性空间V的两个子空间，则 V1V2，,V1+V2 都是V的子空间。,即,线性空间,6 子空间的交与和,两个子空间的交与和可以推广到有限多个子空间的情形：,子空间的交与和适合下列运算
19、规律：,(1),(2),(3),(4),线性空间,6 子空间的交与和,关于子空间的交与和有以下结论：,(1) 设V1，V2，W是V的子空间，若WV1，WV2，则,WV1V2; 若WV1，WV2，则WV1+V2。,(2) 对子空间V1，V2，以下三个结论是等价的：,例1 设V1，V2是线性空间V的子空间，如果V1V2也是V的子,空间，则V1V2或者V1V2。,(a),(b),(c),线性空间,6 子空间的交与和,二、子空间的交与和的维数,向量，则,定理7 设V1，V2是有限维线性空间V的两个子空间，则有,推论 如果n维线性空间V中的两个子空间V1，V2的维数之和,大于n，那么V1，V2必含有非零
20、的公共向量。,线性空间,6 子空间的交与和,两个向量组都是线性无关的，则空间,的维数等于齐次线性方程组,的解空间的维数。,例3 已知,线性空间,7 子空间的直和,7 子空间的直和,一、直和的定义,定义9 设V1，V2是数域P上线性空间V的两个子空间，如果,的分解式唯一，指的是：,若,则,线性空间,7 子空间的直和,二、直和的判定,定理8 设V1，V2是数域P上线性空间V的两个子空间，则下面,四个命题等价：,(2) 零向量的分解式唯一；,(3),(4),线性空间,7 子空间的直和,三、多个子空间的直和,定义10 设V1，V2，Vs都是线性空间V的子空间，如果和,V1+V2+Vs中的每个向量的分解
21、式,定理9 设V1，V2，,Vs是线性空间V的子空间，则下面四个,(2) 零向量的分解式唯一；,命题等价：,(3),(4),线性空间,7 子空间的直和,例1 设V1，V2分别是线性方程组,例2 设Rnn为实数域上的n阶矩阵空间，V1为R上全体n阶对称,矩阵构成的子空间，V2为全体n阶反对称矩阵构成的子空间，,例3 设ARmn，BR(n-m)n (nm)，V1和V2分别是齐次线性,与,线性空间,7 子空间的直和,证明： (1) V1，V2是V的子空间；,(2),线性空间,8 线性空间的同构,8 线性空间的同构,一、同构的定义,定义11 设V和W是数域P上的线性空间，如果存在V到W的一,定理10 数域P上任一n维线性空间V都与Pn同构。,(1),(2),映射，则称线性空间V与W同构，记为：,线性空间,8 线性空间的同构,二、同构的性质,定理11 数域P上的线性空间的同构关系满足：,(1) 反身性：,(2),(3),(4),线性空间,8 线性空间的同构,定理13 数域P上两个有限维线性空间V和W同构的充要条件,是它们有相同的维数。,(V1，V2是V的子空间)。证明：在V中存在子空间V1和V2使得,例2 线性空间Px与它的一个真子空间同构。,例1 设V与V都是数域P上的n维线性空间，而且,而且V1与V1同构，V2与V2同构。,
