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高代 线性变换练习题 2-李可峰.doc

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1、线性变换练习题一、 (浙江大学 2006)设矩阵 , , ,求 的特征值32A01P1*2BPAEB与特征向量.二、 (东南大学 2002)设线性变换 在线性空间 的基 下矩阵为V123,102,31、求值域 ,核 的基。 2、问 吗?为什么?VA1(0) 1(0)A三、 (复旦大学 1998)设矩阵 , 为实数, .求 .20abAc2310A四、 (华东师大 2007)设 是复矩阵. 1、求出 的一切可能的 Jordan标准形;2、21abcA给出 可对角化的一个充要条件.A五、 (苏州大学 2006)设 是数域 上全体次数5 的多项式及零多项式构成的线性空间,5VxF,定义映射 ,其中

2、, =0或()fx()(fr2()1)()fxqxr(x.deg2r1、证明映射 是 的一个线性变换; 2、求 在基 下的矩阵。V234,x六、1、 (清华大学 2001)设方阵 满足 (幂等方阵),则存在可逆方阵 使AP;0REPA2、 (清华大学 2001)设方阵 满足 (对合方阵),则可取可逆方阵 使 为何种最简2E1A形式?证明之;3、 (清华大学 2001)设方阵 满足 (幂零方阵) ,则可取可逆方阵 使 为何种最简形A20P1式?证明之。4、 (苏州大学 2006)设 为 阶矩阵,且存在正整数 ,使 ,又 的秩为 ,分别求 与4k0kA3A的若当( 标准形。2AJordan)七、

3、(浙江大学 2000)证明: 阶幂零指数 的矩阵都相似(若 ,称 的幂1n120nn而零指数为 ) 。1八、 (浙江大学 2006)设 阶矩阵 具有相同的特征多项式,证明其中必有两个矩阵相似。3,ABCD九、 (复旦大学 2000)设 为一个 阶方阵且 的秩等于 的秩,证明 的秩等于 的秩。AnA2A3十、 (苏州大学 2006) (1)设 是有理数域 上的线性空间, 是 的恒等变换。又设 是 的一VQVV个线性变换,证明:如果 ,则 没有特征值。325十一、 (苏州大学 2006)设 阶矩阵 ,且 。证明:若 都相似于对角矩阵,则n,ABA,B也相似于对角矩阵。AB十二、 (浙江大学 200

4、0)设 维线性空间 的线性变换 有 个互异的特征值,线性变换 与 可VnA交换的充要条件为 是 的线性组合,其中 为恒等变换。21,n 十四、 (华东师大 1998)设 为数域 上多项式,且有 , ,()fxF12()()fxfx12(),fx又设 为 上维线性空间, 为的一个线性变换, 为 的核, 为 的核, 为VFAWAW的核,证明: .2()fA12W十五、 (华东师大 2008)设 是两个特征值都是正数的 阶实矩阵,且 ,则 。,Bn2BA十六(华东师大 2011)设 是数域 上有限维线性空间 的线性变换, 是 的 不变子空间.FVV(1)在 上定义一个二元关系 ,证明: 是一个等价关系;V:uv(2)设 是由(1)中的等价关系所确定的所有的等价类组成的集合,在此集合上/uV定义加法和乘法运算如下: ,vukukVF证明: 按照这样定义的运算构成数域上 的线性空间(称为由确定的的商空间)./WF(3)证明: ;dim/idiVW(4)定义 上的变换 ,证明: 是商空间 上的线性变换;:,VA/W(5)证明: ,其中 表示线性变换 的特征多项式,而 表示WAAA在 上的限制变换.

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