1、函数的奇偶性典型例题一、关于函数的奇偶性的定义.定义说明：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数；奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、
2、 相等，判断步骤如下：、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 、 、 、 、 、 、解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题1 函
3、数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间-1，1上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶
4、函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。
5、由函数奇偶性易证。命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于
6、奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数在轴右则时的图像如图（一）试画出函数轴右则的图像。2-111-2XY图（二）0121XY图（一）七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例1：已知且，那么2、利用奇偶性比较大小例2：已知偶函数在上为减函数，比较，的大小。3.利用奇偶性求解析式例3：已知为偶函数，求的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？ 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例5：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值 例6：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？7、利用图像解题例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式的解是 .8.利用定义解题例8.已知函数，若为奇函数，则_。 7
