1、1.3.2 奇偶性第一课时 函数奇偶性的定义与判定【选题明细表】知识点、方法 题号奇偶函数的图象特征 2,4,6,11奇偶性的概念与判定 1,3,10,11奇偶性的应用 5,7,8,9,121.函数 f(x)=x4+2x2是( B )(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数解析:因为 f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以函数 f(x)=x4+2x2是偶函数.故选 B.2.已知函数 f(x)=x3+ 的图象关于( A )1(A)原点对称 (B)y 轴对称(C)y=x 对称 (D)y=-x 对称解析:函数的定义域为(-,0)(0,+),因为
2、 f(-x)=(-x)3+ =-(x3+ )=-f(x),1 1所以函数为奇函数.所以函数 f(x)=x3+ 的图象关于原点对称,故选 A.13.如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B )(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)(C)y=x2+f(x)(D)y=x2f(x)解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x).对于 A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以 y=x+f(x)是奇函数.对于 B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以 y=xf(x)是偶函数.对于 C,g(-x)=(-x)2
3、+f(-x)=x2-f(x),所以 y=x2+f(x)为非奇非偶函数,对于 D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以 y=x2f(x)是奇函数.故选 B.4.下列结论中正确的是( B )(A)偶函数的图象一定与 y 轴相交(B)奇函数 y=f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0(C)奇函数 y=f(x)的图象一定过原点(D)图象过原点的奇函数必是单调函数解析:A 项中若定义域不含 0,则图象与 y 轴不相交,C 项中若定义域不含0,则图象不过原点,D 项中奇函数不一定单调,故选 B.5.已知 f(x)=ax3+bx+1(ab0),若 f(2 018)=k,
4、则 f(-2 018)等于( D )(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k解析:设 g(x)=ax3+bx,易知 g(x)为奇函数,则 f(x)=g(x)+1.因为f(2 018)=k,则 g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以 g(-2 018)=-g(2 018)=1-k.所以 f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选 D.6.如图,给出奇函数 y=f(x)的局部图象,则 f(-2)+f(-1)的值为( A )(A)-2 (B)2(C)1 (D)0解析:由图知 f(1)= ,f(2)= ,12 32又 f(x)为奇函数,所以 f(-2)+
5、f(-1)=-f(2)-f(1)=- - =-2.3212故选 A.7.若函数 f(x)=kx2+(k-1)x+3 是偶函数,则 k 等于 . 解析:由于函数 f(x)=kx2+(k-1)x+3 是偶函数,因此 k-1=0,k=1.答案:18.设 f(x)是(-,+)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),当 0x1 时,f(x)=x,则 f(7.5)= . 解析:由 f(x+2)=-f(x),得 f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:-0.59
6、.已知函数 f(x)=1- .2(1)若 g(x)=f(x)-a 为奇函数,求 a 的值;(2)试判断 f(x)在(0,+)内的单调性,并用定义证明.解:(1)由已知 g(x)=f(x)-a 得,g(x)=1-a- ,2因为 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),即 1-a- =-(1-a- ),解得 a=1.2 2(2)函数 f(x)在(0,+)内为增函数.证明:设 00,从而 0 时,y=x|x|=x 2,此时为增函数,当 x0 时,y=x|x|=-x 2,此时为增函数.综上在 R 上函数为增函数.故选 D.11.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x0 时,f(x)=x 2-2x.(1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式;(2)画出函数 f(x)的图象.解:(1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,则 f(0)=0;当 x0,因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,综上,f(x)= 22,(0),0,(=0),22,(0,14 782a2-2a+3=2(a- )2+ 0,12 52且 f(2a2+a+1)2a2-2a+3,即 3a-20,解得 a .23故 a 的取值范围为( ,+).23
