1、例1 已知f x ax5 bx3 c在x 1处的极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 分析 本题的关键是理解 f x 在x 1处的极大值为4 极小值为0 的含义 即x 1是方程f x 0的两个根且在根x 1处f x 取值左右异号 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 当a 0时 点评 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译 转化是解决这类问题的关键 例2 求函数f x x3 3x2 2在 a 1 a 1 内的极值 a 0 解析 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令
2、f x 0得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 点评 判断函数极值点的注意事项 1 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间 a
3、b 上的单调函数没有极值 2 在讨论可导函数f x 在定义域内的极值时 若方程f x 0的实数根较多时 应注意使用表格 使极值点的确定一目了然 3 极值情况较复杂时 注意分类讨论 因此 函数在 1 内的单调区间以及是否有极值均与a有关系 要视x 与1的大小关系而定 1 当cos 0时 判断函数f x 是否有极值 2 要使函数f x 的极小值大于零 求参数 的取值范围 3 若对 2 中所求的取值范围内的任意参数 函数f x 在区间 2a 1 a 内都是增函数 求实数a的取值范围 分析 f x 是否有极值 需研究是否存在x0点 使f x0 0且在x0左 右f x 的符号相反 求参变量范围注意其他条件 当x变化时 f x 的符号及f x 的变化情况如下表 c 1 c 1
