1、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课,1.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)c，则f(x)_. (2)若f(x)xn，则f(x)_. (3)若f(x)sin x，则f(x)_. (4)若f(x)cos x，则f(x)_. (5)若f(x)ax，则f(x)_. (6)若f(x)ex，则f(x)_. (7)若f(x)logax则f(x)_. (8)若f(x)ln x，则f(x)_.,A0 B1 C2 D3 解析：yln2为常数，所以y0，错；均正确，直接利用公式即可验证 答案：D,2曲线yxn在x2处的导数为12，则n等于( ) A1 B2 C3 D4 解析：y|x2n2n112，解
2、得n3. 答案：C,3若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则 ( ) Af(x0)0 Bf(x0)0 Cf(x0)0 Df(x0)不存在 答案：B,5已知f(x)x2axb，g(x)x2cxd，又f(2x1)4g(x)，且f(x)g(x)，f(5)30，求g(4) 解：由f(2x1)4g(x)，得 4x22(a2)x(ab1)4x24cx4d，由f(x)g(x)，得2xa2xc， ac. 由f(5)30，得255ab30. 由可得ac2.,1.对基本初等函数的导数公式的理解： (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求
3、掌握(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错点,2对导数的运算法则的理解：(1)两个函数和(或差)的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) (2)两个函数积的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数,推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数即cf(x)cf(x) (3)两个函数商的函数的求导法则,例1 求下列函数的导数
4、(1)ytanx； (2)y3x2xcosx；,分析 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再求导两种方法，要注意正确区分,点拨 理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式,(3)y(3x42x35)12x36x2. (4)y(sinxtanx),例2 已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1对一切xR恒成立，求f(x)的解析式 分析 根据f(x)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，然后利用对一切xR方程恒成立，转化为关于a，b，c
5、的方程组，即可求出f(x)的解析式,解 由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb， 把f(x)，f(x)代入方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10，,点拨 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数,练 2 求满足下列条件的函数f(x) (1)f(x)是二次函数，且f(0)4，f(0)1，f(1)7； (2)f(x)是二次函数，(x21)f(x)(3x1)f(x)5. 解 (1)设f
6、(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb. 由f(0)4，得c4.由f(0)1，得b1.由f(1)7，得2ab7，得a4，所以f(x)4x2x4.,(2)由f(x)为二次函数可知f(x)为三次函数，设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc. 把f(x)、f(x)代入方程得(x21)(3ax22bxc)(3x1)(ax3bx2cxd)5，即(ab)x3(3ab2c)x2(2bc3d)xcd50.,例3 已知曲线C：y3x42x39x24. (1)求曲线C在点(1，4)的切线方程； (2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由
7、 分析 (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则，求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程(2)将切线方程与曲线C的方程联立，看是否还有其他解即可,解 (1)y12x36x218x，y|x112， 所以曲线过点(1，4)的切线斜率为12， 所以所求切线方程为y412(x1)，即y12x8.整理得3x42x39x212x40. x3(3x2)(3x2)20，(3x2)(x33x2)0， 即(x2)(3x2)(x1)20.,点拨 (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于对式子的恒等变形,练 3 在曲线yx33x26x10的切线中，求斜率最小的切
8、线方程 解 y3x26x63(x1)23，当x1时，切线的斜率最小，最小斜率为3，此时，y(1)33(1)26(1)1014，切点为(1，14)切线方程为y143(x1)，即3xy110.,1.函数y(3x4)2的导数是 ( ) A4(3x2) B6x C6x(3x4) D6(3x4) 解析：y(3x4)22(3x4)36(3x4) 答案：D,2函数y2sin3x的导数是 ( ) A2cos3x B2cos3x C6sin3x D6cos3x 解析：y(2sin3x)2cos3x(3x)6cos3x. 答案：D,答案：D,求复合函数导数特别注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基
9、本函数复合而成，适当选择中间变量 (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数如(sin2x)2cos2x，而(sin2x)cos2x.,例1 说出下列函数分别由哪几个函数复合而成,分析 解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次,例2 求yln(2x3)的导数 分析 复合函数求导三步曲： 第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量) 第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导) 第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量),点拨 (1)复合函数求导三步曲形象直观，请同学们认真理解，在应用中首先应准确分层，然后能够正确地层层求导，最后作积还原时不要忘了将中间变量还原为原来的自变量,
