1、第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解11利用定积分的定义计算下列积分： （ ） ；baxd【解】第一步：分割在区间 中插入 个等分点： ， （ ） ，将区,ab1nkbaxn1,2kn间 分为 个等长的小区间 ， （ ） ，每个小区,abn(),ba间的长度均为 ，k取每个小区间的右端点 ， （ ） ，kxakn1,2n第二步：求和对于函数 ，构造和式()f1nkSfx1nkx1()nkbakn1()nkba1()nk1()nkn(2ban)(2ba 1()ban()n第三步：取极限令 求极限n1limli()nnkSfx1lim()2nban，()0)2ba()2即
2、得 。baxd 。10xe【解】第一步：分割第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解2在区间 中插入 个等分点： ， （ ） ，将区间0,1nkxn1,2n分为 个等长的小区间 ， （ ） ，每个小区间的长度均为0,1n,k1,2，k取每个小区间的右端点 ， （ ） ，kxn,n第二步：求和对于函数 ，构造和式()xfe1nkSf1knx1kne1kne由于数列 为等比数列，其首项为 ，公比为 ，可知其前 项ne1nx1nq和为 ，于是1()knnne1()ne1()nkSfx1kne1()ne1()ne第三步：取极限令 求极限n1limli()nnkSfx1lim()n
3、e x0(1)limxxe 洛 必 达 法 则 0()lixe0=()lixe，=(1)1e即得 。0xd2利用定积分的几何意义，证明下列等式： ；10x第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解3【证明】定积分 的几何意义是由直线 ， 及 轴围成的三角形的面积，102xd2yx1x如图可见 即知， 。证毕。102OABxdS21 ；104【证明】定积分 的几何意义是由圆弧 与 轴及 轴所围成的四分120x 21yxy之一圆形的面积，如图可见 。证毕。122201()144xdSOA半 圆 ；sin【证明】定积分 的几何意义是由正弦曲线 在 上的一段与 轴six sinyx
4、,x所围成的图形的面积，如图可见 图形由两块全等图形组成， ，12sinxdS其中 位于 轴下方， 位于 轴上方，显见 ，1Sx2S从而 ，证毕。sin0d 。220cocoxx【证明】定积分 的几何意义是由余弦曲线 在 上的一段与2sd cosyx,2第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解4轴所围成的图形的面积，如左图所示，为 ,x 2cosxd12S而定积分 的几何意义是由余弦曲线 在 上的一段与 轴20cosxd cosyx0,2x所围成的图形的面积，如右图所示，为 ,20cosxd2S由于曲线 关于 轴对称，可知 ，亦即 ，cosyxy112S即知 。证毕。22
5、0dd3已知 ，试用矩形法公式（5.3） ，求出 的近似值（取 ，计算10lnxln210n时取 4 位小数） 。【解】矩形法公式（5.3）为 ，其中 （011()()b naafdxyyn ()iiyfx） ，而 （ ）为区间 的 个等分点。0,1in ix1, ,b于是，在区间 插入 个等分点 ， （ ） ，0,ix,i对于 ，求出 ， （ ） ，()1fx()1iifni0,1n于是，当 时，0n1l2dx001( )1234567189 0.90.8.920.43.66585023。.718.4证明定积分性质：第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解5 ；()()
6、bbaakfxdfxd【证明】在区间 中插入 个等分点： ， （ ） ，每个小区间的长度,1nkx1,2n均为 ，k对于函数 ，有：()Fxkf- bakfdba()Fxkf- 定积分 的定义1lim()nkx()baFxd- 1li()nkkf()kf- 加法结合律1li()nkfx()abk- 极限运算法则1lim()nkkflim()li()cfxfx- 定积分 的定义bafxd bafd 。1bbaadx【证明】在区间 中插入 个等分点： ， （ ） ，每个,1nkxkn1,2n小区间的长度均为 ，ka对于函数 ，构造和式()fx，1nkf1nk1nba1nkba即由定积分定义得 。b
7、adx1limnkli()n再由上的结论 ，即得 。()()bbaakffx1bbaadxdx综上得： ，证毕。1dx5估计下列积分的值：第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解6 ；21()xd【解】函数 在区间 上，有 恒成立，2fx1,()20fx知 在区间 上单调减少，()于是有 ，亦即 ，2()fxf21x从而得 ，亦即 。21)()d 21()1xd ；524(1sin)xd【解】函数 ，2sifcos21x3cos2x由 得 ，而知 ，54x51从而 ，即知 ，1cos2 312cs22x亦即 ，inx从而得 ，52451()(1sin)()4xd亦即 。5
8、24(si)x ；31arctnxd【解】函数 在区间 上，有 恒成立，()arctfx1,3 2()arctn01xfx知 在区间 上单调增加，()arctnfxx1,3于是有 ，1()()3ff亦即 ，arctnarctn3arctnx第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解7整理得 arctn633x从而得 ，13 1()arctn(3)xd亦即 。312arctn9xd 。20xed【解】注意到 ，222000()xxxeded函数 在区间 上，有 ，得唯一驻点 ，2()f, 21()xfe12x无不可导点，对比 ， ， ，0()1fe11424()fe42()f
9、e知在区间 上有 ，,2214x于是有 ，20()()(20)eed亦即 。2124x6设 及 在闭区间 上连续，证明：()fxg,ab若在 上， ，且 ，则在 上 ；,ab()0f()0afxd,ab()0fx【证明】反证法：设有 ，使 不成立，,c则由题设在 上， ，不妨设 时 ，b()fx,xcd()fx于是，由于 在 上连续，知 在 上可积，()f,cdab,即由曲边梯形面积定义知， ，()0cfx但由于在 上， ，即知在 和 上，有 ，,ab()f,c,db()0fx于是由定积分性质 5.1.4 知，有 ， ，()cafxdf从而由已知 亦即 ，()0bafxd ()()bcxx第
10、5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解8得到 ，()()()0dcbcadfxfxfx这与上面的 相矛盾，从而假设不成立，0即使命题得证成立。若在 上， ，且 ，则 ；,ab()0fx()fx()0bafxd【证明】由定积分性质 5.1.5，若在 上， ，则 ，,()0bafxd因此，下面只须由 证明 ，()fx()bafx应用反证法，设 ，=0bad则由的已证命题，由在 上， ，且 ，则在 上,()0fx()=0bafxd,ab，()0fx这与已知 相矛盾，可知假设 不成立，从而命题得证。()0fx()bafx若在 上， ，且 ，则在 上 。,abg()bafdg,ab(
11、)fxg【证明】设 ，即由题设 得 ，()()Fxfx()x0Fx于是，待证命题转换成为：在 上， ，且 ，则在 上 ，,ab()0()=0bafd,ab()而这是已证命题，从而命题得证成立。7根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小： ， ；120xd130x【解】当 时，对不等式 两端同乘 ，得 ，亦即 ，1x20x32x23x即由定积分的性质（推论 5.1.1）得 。11d ， ；10xd10ln()xd【解】令 ，即有 ，f()1fxx易见当 时，成立 ，1x0知函数 在 上单调增加，()ln()fx,第 5 章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解9又因 ，(
12、0)ln(10)f知当 时，有 ，xln(1)0fxx亦即当 时，成立 ，即由定积分的性质（推论 5.1.1）得 。1100ln()xdxd ， ；10xed10()dx【解】令 ，即有 ，f()1xfe由于 是增函数，由 得 ，xye0x0亦即当 时， ，01()fe从而知函数 在 上单调增加，()xf,1而 ，0fe可知 在 上恒成立，()(1)0x,亦即当 时， ，0xe即由定积分的性质（推论 5.1.1）得 。1100()xedx ， 。02sinxd20six【解】由于 ，022 i(sin)xudu20sindu20sinxd而当 时， ，使得 ，0i20ix对比即得 。202sinsixdx
