1、【导语】 【正文】 5.3 定积分的基 本性质 （1 ） 一 、定 积分的 方向 性 ( )d ( )d ba ab fx x fx x = Remark ( )d ( )d ( )d b bb a aa fx x ft t fu u = = ，即定 积分 的值 与积分 变量 的记 号无 关 二 、定 积分的 线性 运算性 质 定理 5 若函数 () fx ， () gx 都在区间, ab 上可积，则对任意的实数 , ，函数 () () f x gx + 也在区 间, ab 上也可 积， 且 () () d () d () d b bb a aa f x gx x f x x gx x +=+
2、 证明对于 , b a 的 任意 划分 b x x x x x a n n = = 1 2 1 0 ， 及在每 个小 区间 上任 取的 一点 1 , k kk xx ， 作和 1 11 () () () () n nn k k k kk kk k kk f g x f x gx = = = + = + 因为 () fx ， () gx 都在 区间, ab 上可 积， 所以 0 1 lim ( ) ( )d n b kk a k f x fx x = = ， 0 1 lim ( ) ( )d n b kk a k g x gx x = = 所以 0 00 1 11 l i m () () l i
3、 m () l i m () n nn k k k kk kk k kk f g x f x gx = = = + = + ( )d ( )d bb aa f xx g xx = + 故函数 () () f x gx + 也在 区间, ab 上也 可积 ，且 () () d () d () d b bb a aa f x gx x f x x gx x +=+ Remark 两个可积函 数经 过加法 运算 和数 乘运 算后 ，得到 的函 数仍 然可 积 事实上 ， 两 个可 积函 数经 过乘法 运算 后得 到的 函数 也是可 积的 ， 但 两个 可积 函数经 过除 法运算 后得 到的 函数 不
4、见 得可积 三 、定 积分的 区间 可加性 定理 6 若函 数 () fx 在 区间, ab 上可 积， acb ，则 () fx 在区间, ac 与, cb 上均可 积，且 ( )d ( )d ( )d bcb a ac fx x fx x fx x = + 若 acb ，且 函数 () fx 在 区间, ac 与, cb 上均 可积， 则 () fx 在区间, ab 上可 积， 且 ( )d ( )d ( )d bcb a ac fx x fx x fx x = + Remark ( )d b a fx x ， ( )d b a fx x 四 、特 殊函数 定积 分的性 质（ 奇偶性 、周
5、 期性） 定理7 设函 数 () fx 在 , aa 上可积 若 () fx 是奇 函数 ，则 ( )d 0 a a fx x = ；若 () fx 是偶 函数， 则 0 ( )d 2 ( )d aa a fx x fx x = 证明取区间 , aa 关于原 点对 称 的划分 1 01 0 nn n ax x x x x a + = = ，其中 kk xx = 并取 1 , ( 1, 2, , ) k kk x xk n = ， 1 , k k kk xx + = c b a O y x 因为函 数 () fx 在 , aa 上可 积， 所以 00 1 0 ( )d lim ( ) lim (
6、 ) ( ) nn a ii i i i a in i i fx x f x f f x = = = = + 当 () fx 是奇 函数 时， 因为 () ( ) 0 ii ff += ， 所以 ( )d 0 a a fx x = 当 () fx 是偶 函数 时， 因为 () ( ) 2() iii ff f += ， 所以 0 0 1 ( )d 2 lim ( ) 2 ( )d n aa ii a i fx x f x fx x = = = 定理8 若函 数 () fx 可积 且以 0 T 为周期 ，则 对任 意的 实数 a ，都有 0 ( )d ( )d aT T a fx x fx x
7、+ = 简证因为 0 0 ( )d ( )d ( )d ( )d aT T aT aa T fx x fx x fx x fx x + =+ ，且 0 ( )d ( )d aT a T fx x fx x + = ，即 0 ( )d ( )d 0 aT aT fx x fx x + += ， 所以 0 ( )d ( )d aT T a fx x fx x + = 例 1 计 算定 积分 1 | 1 ed x x 解因为 11 | 10 e d 2 ed xx xx = ，且 1 0 ed e 1 x x = ， 所以 1 | 1 e d 2(e 1) x x = 例 2 计算 定 积分 1 2 1 (1 cos ) 1 d x x xx + 解因为 1 11 22 2 1 11 ( 1 c o s ) 1d 1d c o s 1d x x xx xx x x xx + =+ ，且 1 2 1 1d 2 xx = ， 1 2 1 cos 1 d 0 x x xx = ， 所以 1 2 1 (1+ cos ) 1 d 2 x x xx = 【本讲总结与下讲预 告】
