1、2.2.3向量数乘运算 及其几何意义,1.向量加法三角形法则:,特点:首尾相接,特点:共起点,2.向量加法平行四边形法则:,3.向量减法三角形法则:,特点：共起点，连终点，方向指向被减量,思考题1:已知向量 如何作出 和,记:,即:,同理可得:,思考题2: 向量 与向量 有什么关系? 向量 与向量 有什么关系?,(1)向量 的方向与 的方向相同, 向量 的长度是 的3倍,即,(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 的长度是 的3倍,即,探究一：向量的数乘运算及其几何意义,思考3： 一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，该向量的长度与方向与向量a有什么关
2、系？,（1）|a|=|a|；,（2）0时,a与a方向相同；0时,a与a方向相反；=0时,a =0.,探究二:向量的数乘运算性质,思考1：你认为2（5a），2a2b， a可分别转化为什么运算？,思考2：一般地，设，为实数，则(a)，() a，(ab)分别等于什么？,实数与向量的积的结合律：,实数与向量的积的第一分配律：,实数与向量的积的第二分配律：,总结：实数与向量的积的运算律：,2) 可以是零向量吗?,思考:1) 为什么要是非零向量?,共线向量基本定理：,向量 与非零向量 共线当且仅当 有唯一一个实数 ，使得,思考6：若存在实数，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？,思考8：向量的加、减、数
3、乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、x、y，(xayb）可转化为什么运算？,(xayb）=xayb.,例5 计算,(1) (-3) 4a(2) 3(a+b)-2(a-b)-a(3) (2a+3b-c)-(3a-2b+c),=(-34)a=-12a,=3a+3b-2a+2b-2a=5b,=2a+3b-c-3a+2b-c =-a+5b-2c,化简,=3a-2b,=2ya,A,所以,A、B、C三点共线,例7 如图, 的两条对角线相交于点M, 且,A,D,C,B,a,b,M,解：在,平行四边形的两条对角线互相平分,定理的应用:,(3)证明两直线平行的问题:,(2)证明三点共线
4、的问题:,(1)有关向量共线问题:,解：, 与 共线,例1:如图：已知 试判断 与 是否共线,A,B,C,D,E,例2：设a，b是两个不共线的向量，求证：A，B，D三点共线.,证明：,又它们有公共点B,A,B,D三点共线,解：,例3:在四边形ABCD中，求证：四边形ABCD为梯形,所以四边形ABCD为梯形,练习,小结作业,1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.,2.若a=0，则可能有=0，也可能有a=0.,3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.,作业： P90练习：3，4，5，6.,
