1、122.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一 向量数乘的定义思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案 向量思考 2 向量 3a，3 a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3 a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同3 a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反思考 3 a 的几何意义是什么？答案 a 的几何意义就是
2、将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩当| |1 时，表示 a 的有向线段在原方向( 0)或反方向( 0)上伸长为原来的| |倍梳理 向量数乘运算实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定如下：(1)| a| |a|.(2) a (a0)的方向Error!特别地，当 0 或 a0 时，0 a0 或 00.知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案 结合律，分配律梳理 向量数乘运算律(1) ( a)( )a；(2)( )a a a；(3) (a b) a b.2知识点三 向量共线定理思考 1 若 b2 a， b 与 a
3、共线吗？答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知， b 与 a 共线如果有一个实数 ，使 b a(a0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使得 b a.思考 2 若 b 与非零向量 a 共线，是否存在 满足 b a？若 b 与向量 a 共线呢？答案 若 b 与非零向量 a 共线，存在 满足 b a；若 b 与向量 a 共线，当 a0， b0时，不存在 满足 b a.梳理 (1)向量共线定理向量 a (a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a.(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量
4、 a， b，以及任意实数 ， 1， 2，恒有 ( 1a 2b) 1a 2b.1若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数 使 b a.( )提示 当 b0， a0 时，实数 不唯一2若 b a，则 a 与 b 共线( )提示 由向量共线定理可知其正确3若 a0，则 a0.( )提示 若 a0，则 a0 或 0.类型一 向量的线性运算例 1 (1)3(6 a b)9 _.(a13b)考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 9 a解析 3(6 a b)9 18 a3 b9 a3 b9 a.(a13b)(2)若 3(x a)2( x2 a)4( x a b)0，则 x_.考点 向量的线性
5、运算及应用3题点 向量的线性运算答案 4 b3 a解析 由已知得 3x3 a2 x4 a4 x4 a4 b0，所以 x3 a4 b0，所以 x4 b3 a.反思与感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项” 、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练 1 计算：( a b)3( a b)8 a.考点 向量
6、的线性运算及其应用题点 向量的线性运算解 ( a b)3( a b)8 a( a3 a)( b3 b)8 a2 a4 b8 a10 a4 b.类型二 向量共线的判定及应用命题角度 1 判定向量共线或三点共线例 2 已知非零向量 e1， e2不共线(1)若 a e1 e2， b3 e12 e2，判断向量 a， b 是否共线12 13考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理判定向量共线解 b6 a， a 与 b 共线(2)若 e1 e2， 2 e18 e2， 3( e1 e2)，求证： A， B， D 三点共线AB BC CD 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理判定三点共线证
7、明 e1 e2， 2 e18 e23 e13 e25( e1 e2)5 ，AB BD BC CD AB ， 共线，且有公共点 B，AB BD A， B， D 三点共线反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b a(a0)，还要说明向量4a， b 有公共点跟踪训练 2 已知非零向量 e1， e2不共线，如果 e12 e2， 5 e16 e2， 7 e12 e2，则共线的三个点是_AB BC CD 考点 向
8、量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理判定三点共线答案 A， B， D解析 e12 e2， AB BD BC CD 5 e16 e2 7e12 e22( e12 e2)2 ，AB ， 共线，且有公共点 B，AB BD A， B， D 三点共线命题角度 2 利用向量共线求参数值例 3 已知非零向量 e1， e2不共线，欲使 ke1 e2和 e1 ke2共线，试确定 k 的值考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数解 ke1 e2与 e1 ke2共线，存在实数 ，使 ke1 e2 (e1 ke2)，则( k )e1( k 1) e2，由于 e1与 e2不共线，只能有Error! k
9、1.反思与感悟 利用向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线 b a，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练 3 设两个不共线的向量 e1， e2，若 a2 e13 e2， b2 e13 e2， c2 e19 e2，问是否存在实数 ， ，使 d a b 与 c 共线？考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数解 d (2e13 e2) (2e13 e2)(2 2 )e1(3 3 )e2，要使 d 与 c 共线，则存在实数 k，使得 d kc，即(2 2 )e1(3 3 )e22 ke19 ke2.因为 e1与 e2不共线，所以Error! 得 2 .故存在实
10、数 和 ，使得 d 与 c 共线，此时 2 .5类型三 用已知向量表示其他向量例 4 在 ABC 中，若点 D 满足 2 ，则 等于( )BD DC AD A. B. 13AC 23AB 53AB 23AC C. D. 23AC 13AB 23AC 13AB 考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得 AD AB BD AB 23BC ( ) .AB 23AC AB 13AB 23AC 跟踪训练 4 如图所示，四边形 OADB 是以向量 a， b 为邻边的平行四边形又 BMOA OB BC， CN CD，试用 a， b 表示 ， ， .13
11、13 OM ON MN 考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 因为 ( )BM 13BC 16BA 16OA OB (a b)，16所以 b a b a b.OM OB BM 16 16 16 56因为 ，CN 13CD 16OD 所以 ON OC CN 12OD 16OD 6 ( ) (a b)23OD 23OA OB 23 (a b) a b a b.MN ON OM 23 16 56 12 161下列各式计算正确的有( )(1)(7)6 a42 a；(2)7(a b)8 b7 a15 b；(3)a2 b a2 b 2a；(4)4(2a b)8 a 4b.A1 个 B2
12、 个 C3 个 D4 个考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7( a b)8 b 7a 7b 8b 7a b.2在 ABC 中， M 是 BC 的中点，则 等于( )AB AC A. B. C2 D.12AM AM AM MA 考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量答案 C解析 如图，作出平行四边形 ABEC，因为 M 是 BC 的中点，所以 M 也是 AE 的中点，由题意知， 2 ，故选 C.AB AC AE AM 3设 e1， e2是两个不共线的向量，若向量 m e1 ke2 (kR)与向量 n e22 e1共线，则
13、( )A k0 B k1C k2 D k12考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数7答案 D解析 当 k 时， m e1 e2， n2 e1 e2.12 12 n2 m，此时， m， n 共线4已知 P， A， B， C 是平面内四点，且 ，则下列向量一定共线的是( )PA PB PC AC A. 与 B. 与PC PB PA PB C. 与 D. 与PA PC PC AB 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理判定向量共线答案 B解析 因为 ，PA PB PC AC 所以 0，PA PB PC CA 即2 ，所以 与 共线PA PB PA PB 5.如图所示，已知
14、，用 ， 表示 .AP 43AB OA OB OP 考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 OP OA AP OA 43AB ( ) .OA 43OB OA 13OA 43OB 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a， a 是没有意义的2 a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的| |倍向量表示与向量 a 同向的单位向量a|a|3向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题4已知 O， A， B 是不共线的三点，且 m n (m， nR)，则 A， P， B 三点共线OP OA OB 8m n1
15、.一、选择题1下列说法中正确的是( )A a 与 a 的方向不是相同就是相反B若 a， b 共线，则 b aC若| b|2| a|，则 b2 aD若 b2 a，则| b|2| a|考点 向量数乘的定义及运算题点 向量数乘的定义及几何意义答案 D解析 显然当 b2 a 时，必有| b|2| a|.23(2 a4 b)等于( )A5 a7 b B5 a7 bC6 a12 b D6 a12 b考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得 3(2a4 b)6 a12 b，故选 D.3(2017安徽太和中学高一期中)已知 a， b 是不共线的向量， a 2b，
16、a( 1) b，且 A， B， C 三点共线，则实数 的值为( )AB AC A1 B2C2 或 1 D1 或 2考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 D解析 因为 A， B， C 三点共线，所以存在实数 k 使 k .AB AC 因为 a2 b， a( 1) b，AB AC 所以 a2 b ka( 1) b9因为 a 与 b 不共线，所以Error!解得 2 或 1.4(2017江西赣州高三二模)如图， ABC 中， a， b， 3 ， 2 ，则AB AC DC BD AE EC 等于( )DE A a b B. a b13 34 512 34C. a b D a b3
17、4 13 34 512考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量答案 D解析 DE DC CE 34BC ( 13AC ) ( ) 34AC AB 13AC 34AB 512AC a b，34 512故选 D.5.如图， AB 是 O 的直径，点 C， D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， a， b，则 等AB AC AD 于( )A a b12B. a b12C a b12D. a b12考点 向量的线性运算及应用10题点 用已知向量表示未知向量答案 D解析 连接 CD， OD，如图所示点 C， D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点， AC CD， CAD DAB 6030.1
18、2 OA OD， ADO DAO30.由此可得 CAD ADO30， AC DO.由 AC CD，得 CDA CAD30， CDA DAO， CD AO，四边形 ACDO 为平行四边形， a b.AD AO AC 12AB AC 126已知 m， n 是实数， a， b 是向量，则下列说法中正确的是( ) m(a b) ma mb； ( m n)a ma na；若 ma mb，则 a b； 若 ma na，则 m n.ABCD考点 向量数乘的定义及运算题点 向量的数乘运算及运算律答案 B解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若 m0，则不能推出 a b，错误；中，若 a0，则 m，
19、n 没有关系，错误7在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a， b，则 等于( )AC BD AF A. a b B. a b14 12 13 23C. a b D. a b12 14 23 13考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量答案 D11解析 DEF BEA， ， DF AB，DFAB DEEB 13 13 .AF AD DF AD 13AB a， b，AC AB AD BD AD AB 联立得 (a b)， (a b)，AB 12 AD 12 (a b) (a b) a b.AF
20、 12 16 23 13二、填空题8( a9 b2 c)( b2 c)_.考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 a10 b9设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _.考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 12解析 向量 a， b 不平行， a2 b0，又向量 a b 与 a2 b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a2 b)成立，即 a b a2 b，则Error! 解得 .1210已知在 ABC 中，点 M 满足 0，若存在实数 m 使得 m 成立，则MA MB MC AB AC AM m_.考点 向量共线定理及其应用题
21、点 利用向量共线定理求参数答案 3解析 0，MA MB MC 点 M 是 ABC 的重心 3 ，AB AC AM m3.1211若向量 a 与 b 的夹角为 45，则 2a 与3 b 的夹角是_考点 向量数乘的定义及运算题点 向量数乘的定义及几何意义答案 135解析 如图所示，可知 2a 与3 b 的夹角是 135.三、解答题12计算：(1)6(3a2 b)9(2 a b)；(2) ；12 3a 2b 23a b 7612a 37(b 76a)(3)6(a b c)4( a2 b c)2(2 a c)考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算解 (1)原式18 a12 b18 a9 b3
22、b.(2)原式 12(3a 23a 2b b) 76(12a 12a 37b) 12(73a b) 76(a 37b) a b a b0.76 12 76 12(3)原式6 a6 b6 c4 a8 b4 c4 a2 c(6 a4 a4 a)( 8b6 b)(6 c4 c2 c)6 a2 b.13在平行四边形 ABCD 中， M， N 分别是 DC， BC 的中点，已知 c， d，试用 c， d 表AM AN 示 和 .AB AD 考点 向量共线定理及应用题点 用已知向量表示未知向量解 如图，设 a， b.AB AD M， N 分别是 DC， BC 的中点，13 b， a.BN 12 DM 12
23、在 ADM 和 ABN 中，Error!即Error!2，得 b (2c d)，232，得 a (2d c)23 d c， c d.AB 43 23 AD 43 23四、探究与拓展14如图，在 ABC 中，延长 CB 到 D，使 BD BC，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 ，则 t 的最大值是_AE AB AC 考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析 设 k ，0 k1，则 k( 2 ) k 2( )2 k k ，AE AD AE AC CB AC AB AC AB AC ，且 与 不共线，AE AB AC AB AC Error! t 3 k.又 0 k1，当 k1 时， t 取最大值 3.故 t 的最大值为 3.15已知在四边形 ABCD 中， a2 b， 4 a b， 5 a3 b，求证：四边形 ABCDAB BC CD 为梯形考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示14 AD AB BC CD ( a2 b)(4 a b)(5 a3 b)8 a2 b2(4 a b)， 2 .AD BC 与 共线，且| |2| |.AD BC AD BC 又这两个向量所在的直线不重合， AD BC，且 AD2 BC.四边形 ABCD 是以 AD， BC 为两条底边的梯形15
