1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,总纲目录,教材研读,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,考点突破,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,3.有关公式的逆用、变形,考点二 公式的逆用及变形应用,考点一 公式的直接应用,考点三 角的变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()= sin cos cos sin , cos()= cos cos sin sin , tan()= .,教材研读,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2= 2sin cos ,cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2 , tan 2= .,3.有关公式的逆
2、用、变形 (1)tan tan =tan() (1tan tan ) ; (2)cos2= ,sin2= ; (3)1+sin 2=(sin +cos )2,1-sin 2=(sin -cos )2.,1.sin 20cos 10-cos 160sin 10= ( ) A.- B. C.- D.,D,2.化简cos 18cos 42-cos 72sin 42的值为 ( ) A. B. C.- D.-,B,3.已知 ,cos = ,则cos = ( ) A. - B.1- C.- + D.-1+,A,4.已知sin(-k)= (kZ),则cos 2的值为 ( ) A. B.- C. D.-,A,
3、5.若tan = ,则tan = .,6. = .,典例1 (1)已知sin =cos ,则tan = ( ) A.-1 B.0 C. D.1 (2)(2017课标全国,15,5分)已知 ,tan =2,则cos = . (3)设sin 2=-sin , ,则tan 2的值是 .,考点一 公式的直接应用,考点突破,答案 (1)A (2) (3),解析 (1)sin =cos , cos - sin = cos - sin . cos = sin ,tan = =-1.故选A. (2)因为 ,且tan = =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所 以sin = ,cos =
4、,则cos =cos cos +sin sin = + = . (3)由sin 2=-sin ,得sin 2+sin =0, 2sin cos +sin =0sin (2cos +1)=0., ,sin 0, 2cos +1=0cos =- ,sin = , tan =- ,tan 2= = = , 故应填 .,1-1 已知 ,sin = . (1)求sin 的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为 ,sin = , 所以cos =- =- . 故sin =sin cos +cos sin = + =- . (2)由(1)知sin 2=2sin cos =2 =- ,cos 2=1-2
5、sin2=1-2 = , 所以cos =cos cos 2+sin sin 2 = + =- .,典例2 (1)计算 的值为 ( ) A.- B. C. D.- (2)在ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为 ( ) A.- B. C. D.-,考点二 公式的逆用及变形应用,答案 (1)B (2)B,解析 (1) = = = = . (2)由tan Atan B=tan A+tan B+1, 可得 =-1, 即tan(A+B)=-1, 又A+B(0,),所以A+B= , 则C= ,cos C= .,方法技巧 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找
6、出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)三者中可以 知二求一.应注重公式的逆用和变形使用. 提醒(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)注意特殊角的应用,当出现 ,1, , 等这些数值时,考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.,2-1 已知cos +sin = ,则sin 的值是 ( ) A.- B. C. D.-,答案 D 由cos +sin = , 可得 cos + sin +sin = , 即 sin + cos = , sin = , 即sin = ,
7、sin =-sin =- .,D,2-2 已知 ,且sin -cos =- ,则 = ( ) A. B. C. D.,D,答案 D 由sin -cos =- 得sin = , ,0 - ,cos = . = = = =2cos = .,典例3 (1)已知tan(+)=1,tan = ,则tan 的值为 ( ) A. B. C. D. (2)(2018河南郑州质检)若,都是锐角,且cos = ,sin(-)= ,则cos = ( ) A. B. C. 或- D. 或,考点三 角的变换,答案 (1)B (2)A,解析 (1)tan(+)=1,tan = ,tan =tan = = = . (2)因
8、为,都是锐角,且cos = ,sin(-)= , 所以sin = ,cos(-)= , 从而cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)= .故选A.,方法技巧 三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 (1)角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角 与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:2= (+)+(-),=(+)-=(-)+,40=60-20, + = , =2 等. (2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、 诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.,3-1 若sin = ,则cos = ( ) A.- B.- C. D.,A,答案 A sin = , cos =cos =-cos =- =- =- ,故选A.,3-2 已知cos +sin = ,则sin 的值是 .,答案 -,解析 因为cos +sin = cos + sin +sin = , 即 cos + sin = , 所以 sin + cos =sin = , 所以sin =-sin =- .,请认真完成作业,第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,
