1、第5章 层次分析法（AHP）, 曲阜师范大学经济学院,第5章 层次分析法（AHP）,5.1 AHP概述 5.2 AHP的基本原理 5.3 AHP的步骤 5.4 AHP的应用案例分析,5.1 AHP概述,层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP方法)是由美国运筹学家萨蒂（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出，是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的多目 标属性决策方法。AHP的特点是： 分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化； 分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确； 适用于多准则、多目标问题的
2、决策分析，广泛用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析、企业人员素质测评、环境整治与污染控制、能源政策和分配、军事指挥、运输、农业、教育、医疗等社会、经济以及科学管理领域的较为复杂、较为模糊的问题分析中。在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便。,层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。,系统,要素,层次,矩阵,权重,5.2 基本
3、原理先分解后综合的系统思想,AHP决策分析方法的基本原理，可以用以下的简单事例分析来说明。 假设有n个物体A1，A2，An，它们的重量分别记为W1，W2，Wn。现将每个物体的重量两两进行比较如下：,若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，,若取重量向量W W1，W2， ， WnT ，则有： AWnW W是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。根据线性代数知识可以证明，n是矩阵A的唯一非零的，也是最大的特征值。,A称为判断矩阵。,上述事实告诉我们，如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每一对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解
4、判断矩阵的最大特征值max和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对重量。,5.3 层次分析法的步骤,0 明确问题 1 建立层次结构模型 2 构造（两两比较的）判断矩阵 3 层次单排序及其一致性检验（单一准则下的排序） 4 层次综合排序及其一致性检验,5.3 层次分析法的步骤,0 明确问题在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。,1 建立层次结构模型 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层目标层：决策的目
5、的、要解决的问题。 中间层准则层：考虑的因素、决策的准则。 最低层方案层或措施层：决策时的备选方案。,5.3 层次分析法的步骤,目标层,准则1,准则6,方案层,准则层,5.3 层次分析法的步骤,以选拔干部为例,目标层,方案层,准则层,常见的多级递阶结构： 完全相关性结构：上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关 完全独立性结构：上一层要素都各自有独立的、完全不同的下层要素。 混合性结构：是上述两种结构的结合，是一个既非完全相关又非完全独立的结构。,完全相关性结构,特点：上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关,购一台满意的设备,功能强,价格低,容易维修,A,B,C,eg,特点：上一
6、层要素都各自有独立的、完全不同的下层要素。,减少交通事故损失,防止事故发生,减少事故损失,促进恢复,提高司机的安全责任感,完全独立性结构,提高车辆的操作技 能,改善道路设施,提高车辆安全保障功能,加强十字路口交通管理,充实急救医疗体制,健全医疗体制,充实残疾人治疗培训体制,混合结构,特点：是上述两种结构的结合，是一个既非完全相关又非完全独立的结构。,引进技术的综合效益,提高技术水平,提高经济效益,提高装备水平,提高企业素质,国产化水平,研究开发能力,节汇创汇水平,产品竞争能力,国内经济效益,人的技术素质,经营管理水平,5.3 层次分析法的步骤,2 建立（两两比较的）判断矩阵 判断矩阵表示针对上
7、一层次某元素，本层次与它有关元素之间相对重要性的比较。 判断矩阵A具有如下特征：aij 0; aii = 1（对角线上的元素）；aji = 1/ aij（以对角线对称的元素互为倒数）；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n)。满足前三个条件的矩阵为正互反矩阵。,判断矩阵A中的元素aij表示依据评价准则C,要素ai对aj的相对重要性。 aij的值是根据资料数据、专家意见和评价主体的经验，经过反复研究后确定的。,5.3 层次分析法的步骤,为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析
8、法采用1-9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。,品 才 资 岁 群,品 才 资 岁 群,aij 0; aii = 1（对角线上的元素）；aji = 1/ aij（以对角线对称的元素互为倒数）；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n)。,设第 i个因素的重要性指标为 , 则有,aij = aik/ ajk,判断矩阵1：相对于目标层，准则层间的对比矩阵,(行比列),例：干部选拔,相对于准则层，候选人之间的对比矩阵,成对比较三个候选人的品德，得成对比较矩阵B1,成对比较三个候选人的才能，得成对比较矩阵B2,成对比较三个候选人的资历，得成对比较矩阵B3,成对比较三个候选人的年龄
9、，得成对比较矩阵B4,成对比较三个候选人的群众关系，得成对比较矩阵B5,其中 ，则 叫各因素对于目标Z的权重, 叫权向量.,5.3 层次分析法的步骤,3 层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序。 层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征向量：先求出最大特征根，然后再计算最大特征向量。最常用的方法是求和法、迭代法、方根法和特征根法。 Amax，其中的分量（， ，n）就是对应于n个要素的相对重要度，即权重系数。,在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, , xn的线性组合:,求和法步骤 每一列归一化： 对按列归一化的判断矩阵，再按行求和：将向量 归一
10、化：,5.3 层次分析法的步骤,5.3 层次分析法的步骤,方根法 计算判断矩阵每一行元素的乘积,计算 的n次方根 ：,计算最大特征根,5.3 层次分析法的步骤,一致性检验 判断矩阵中的aij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的aij满足三条关系式（aii = 1；aji = 1/ aij；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,.n) ）时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各因素对上一层因素Z的权向量,各分量即为各因素对
11、于Z的权重,5.3 层次分析法的步骤,判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index)： 一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般情况下，若C.I. 0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值是可以接受的。 引入平均随机一致性指标 R.I.(Random Index),随机构造500个成对比较矩阵： ，可得一致性指标 下表给出了1-16阶正互反矩阵计算500次得到的平均随机一致性指标 。,平均随机一致性指标,5.3 层次分析法的步骤,当 n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。但随着n的增加判
12、断误差就会增加，因此对于多阶判断矩阵，判断一致性时应考虑到n的影响，使用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，即使用判断矩阵一致性指标 C.I. 与同阶平均随机一致性指标R.I. 之比来确定A的不一致性的容许范围。 当 C.R. 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性，此时可用A的特征向量作为权向量。 当C.R. 0.10 时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R. 0.10 ，从而具有满意的一致性。,以干部选拔为例，计算各元素相对于目标层的权重,使用mmult函数计算两个矩阵的乘积,0.46,0.26,0.05,0.10,0.13,单位化后的各因素所占比重的权向量为
13、,验证一致性,结论：A虽不是一致阵，但它具有满意的一致性，A的不一致程度是可以接受的。,查表,最大特征向量V=（20,11.5,2.2,4.5,5.5),最大特征值 =3.002； 最大特征向量V=（0.113，0.325，0.939）,同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重,0.46,0.26,0.05,0.10,0.13,0.082,0.236,0.682,计算,B1具有较满意的一致性,权重向量,先成对比较三个候选人的品德，得成对比较矩阵B1,=0.001,计算 =0.001/0.580.1,同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重,最大特征值 =3.006； 最大特征向量V=（0.89
14、，0.413，0.192）,计算 =0.003,计算 =0.003/0.580.1,B2具有较满意的一致性,权重向量,成对比较三个候选人的才能，得成对比较矩阵B2,同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重,最大特征值 =3； 最大特征向量V=（0.688，0.688，0.229）,B3为一致阵,权重向量,成对比较三个候选人的资历，得成对比较矩阵B3,同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重,最大特征值 =3.009； 最大特征向量V=（0.926，0.28，0.255）,计算 =0.0045,计算 =0.0045/0.580.1,权重向量,成对比较三个候选人的年龄，得成对比较矩阵B4,B4具有
15、较满意的一致性,同理，计算候选人相对于准则层各元素的权重,最大特征值 =3； 最大特征向量V=（0.236，0.236，0.943）,权重向量,成对比较三个候选人的群众关系，得成对比较矩阵B5,B5为一致阵,5.3 层次分析法的步骤,4 层次综合排序及其一致性检验 利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序（确定最低层方案层中每一元素（方案）在总目标（最高层）中的权重），就是层次总排序的任务。 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层而言，其层次单排序的结果也就是总排序的结果。,对总目标Z的排序为：,的层次单排序为：,5.3 层次分析法的步骤,4 层次综合排序及其一致性
16、检验,即 层第 个因素对总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,CI为层次总排序的一致性指标； CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；,为了评价层次总排序结果的一致性，类似于层次单排序，也需要进行一致性检验。为此，需要分别计算下列指标：,5.3 层次分析法的步骤,RI为层次总排序的随机一致性指标； RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标； CR为层次总排序的随机一致性比例。,当CR0.10时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，直至层次总排序的一致性检验达到要求为止。也有研究表明，在AHP中不必检验层次总排序
17、的一致性，故在实际操作中，总排序一致性检验常常可省略。,干部选拔：层次综合排序及其一致性检验,综合排序： y1得分=0.460.082+0.26 0.595+005 0.429+0.10 0.634+0.13 0.167=0.3 同理可得： y2得分=0.245； y3得分=0.456 故选y3为第1干部人选 一致性检验,总排序通过一致性检验，选择y3。,1.建立层次结构模型：包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下：,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵：从第二层开始用比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指
18、标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,4.计算总排序权向量并做一致性检验：计算最下层对最上层总排序的权向量。利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。,5.3 层次分析法的步骤,优点：思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚，实用。,对层次分析法的简单评价,缺点：存在着较大的主观性
19、，粗略，不适用于精度较高的问题譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。,一 般 的 思 维 过 程,例2:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据（准则）有:景色,费用,饮食,居住和旅途.,5.3 层次分析法的应用案例分析,5.3 层次分析法的应用案例分析,苏杭 北戴河 桂林,某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的 比较矩阵如下:,得到:,A=(xij),
20、 xij0,xji=1/xij,其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要.其他类同.,5.3 层次分析法的应用案例分析,5.3 层次分析法的应用案例分析,用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:,5.3 层次分析法的应用案例分析,成对比较矩阵 的最大特征值,表明 通过了一致性验证。,故,则,该特征值对应的归一化特征向量,对成对比较矩阵 可以求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：,计算 可知 通过一致性检验。,5.3 层次分析法的应用案例分析,对总目标的权值为：,又,决策层对总目标
21、的权向量为：,同理得， 对总目标的权值分别为：,故，层次总排序通过一致性检验。,可作为最后的决策依据。,故最后的决策应为去桂林。,又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，,即各方案的权重排序为,CI(3)=0.00176, RI(3)=0.58, CR(3)=0.003 已有CR(2)=0.016 于是CR*=0.019 通过一致性检验!,例3：某公司有一笔资金可用于4种方案 ：投资房地产，购买股票，投资工业和高技术产业。评价和选择投资方案的标准是：收益大，风险低和周转快。试对4种投资方案做出分析和评价。,5.3 层次分析法的应用案例分析,最好的投资方案,风险低,房地产,收益大,周转快,股市,工业,高
22、科技,G,C1,C2,C3,p1,p2,p3,p4,建立判断矩阵，计算各级要素的相对重要度，并进行一致性检验。,1,3,1/3,1,3,1,5,1/5,0.636,G,C1,C1,C2,C2,C3,C3,1/3,Wi0,C.I.,0.258,0.106,0.0270.10,p1,C2,p2,p3,p3,1/3,Wi2,C.I.,0.569,0.266,0.0730.10,p1,p2,p4,p4,1,5,3,7,1/5,1,1/5,1/2,5,1,3,1/7,2,1/3,1,0.067,0.099,p1,C3,p2,p3,p3,1/3,Wi3,C.I.,0.25,0.075,0.010.10,p
23、1,p2,p4,p4,1,1/2,3,2,2,1,7,5,1/7,1,1/2,1/2,1/5,2,1,0.549,0.127,由以上计算可知，一致性指标都在允许误差范围内，故所有相对重要度都是可以接受的。计算综合重要度：,p1,Ci,p2,p3,Wi,p4,计算综合重要度,pj,C2,C1,C3,0.258,0.636,0.106,0.2580.584,=0.151,0.44,0.252,0.194,0.11,结论：由以上所示各方案的相对重要性大小可知,选择投资房地产是最好的方案,而投资股市次之，投资工业第三，投资高技术产业最差。当然，如果构造的判断矩阵不同，回得出相异的结论。,例4：某单位拟
24、从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。,5.3 层次分析法的应用案例分析,选一领导干部,建立层次结构模型,目标层,准则层,方案层,A的最大特征值,相应的特征向量为：,构造成对比较矩阵及层次单排序,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.24 (查表),一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1,通过一致性检验,假设3人关于6个标准的判断矩阵为：,健康情况,业务知识,写作能力,口才,政策水平,工作作风,由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。,各属性的最大特征值,均通过一致性检验,从而有,即在3人中应选择A担任领导职务。,层次总排序及一致性检验,5.3 层次分析法的应用案例分析,城市水资源安全评价指标体系,图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。,朝向C4,ANP网络层次分析法，软件：Super Decisions,Thanks!,
