1、中考数学总复习 一 . 数学思想方法的三个层次 : 数学思想和方法 数学一般方法 逻辑学中的方法 (或思维方法 ) 数学思想方法 配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等 分析法、综合法、归纳法、反证法等 函数和方程思想、 分类讨论思想 、数形结合思想、化归思想等 分类讨论思想 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。 分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。 分类讨论思想
2、 分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。 分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。 一 .与概念有关的分类 1. 一次函数 y=kx+b的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式 。 31 31-5=-3k+b -2=6k+b -5=6k+b -2=
3、-3k+b 解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3 2. 函数 y=ax2-ax+3x+1与 x轴只有一个交点，求 a的值与交点坐标。 当 a=0时 ,为一次函数 y=3x+1,交点为（ - ， 0）； 当 a不为 0时 ,为二次函数 y=ax2+(3-a)x+1, =a2 -10a+9=0. 解得 a=1或 a=9,交点为（ -1， 0）或（ ， 0） 3131二 .图形位置的分类 如图，线段 OD的一个端点 O在直线 a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个 ? 150 a 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成 等
4、腰三角形 ！ B A C 50 110 20 1、对 A进行讨论 2、对 B进行讨论 3、对 C进行讨论 C A B A C B 20 20 20 20 C A B 50 50 C A B 80 80 20 C A B 65 65 50 C A B 35 35 110 （分类讨论） B A C 50 110 20 3. 如图，直线 AB经过圆 O的圆心，与圆 O交于 A、 B两点，点 C在 O上，且 AOC=300，点 P是直线 AB上的一个动点（与点 O不重合），直线 PC与圆 O相交于点 Q，问点 P在直线 AB的什么位置时， QP=QO？这样的点 P有几个？并相应地求出 OCP的度数。
5、A B C P O Q 解： OQ=OC， OQ=QP OQC= OCQ， QOP= QPO 设 OCP=x0 , 则有： （ 2）如果点 P在线段 OB上，显然有 PQ OQ，所以点 P不可能在线段 OB上。 （ 1）如上图， 当点 P在线段 OA上时， OQC= OCP=x, QPO= （ 1800 OQP） = （ 1800 x) 又 QPO= OCP+ COP， (1800 x)=x+300, 解得 x=400, 即 OCP=400 21 2121O Q C P B A Q P O C B A （ 3）如图，当点在的延长线上时， OQC= OCQ=1800， OPQ= （ 1800 x
6、)= x. 又 QCO= CPO+ COP， 1800 x=x+300 解得 x=1000 即 OCP=1000 21 21（ 4）如图当在的延长线上时， OQC= OCQ=x, OQC= QPO+ QOP, QPO= OQC= x, 又 COA= OCP+ CPO, 解方程 30=x+ x, 得到 x=200 即 OCP=200 2121 21C B A 4在半径为 1的圆 O中，弦 AB、 AC的长分别是 、 ， 则 BAC的度数是 。 3 25 ABC是半径为 2cm的圆的内接三角形， 若 BC=2 cm,则角 A的度数是 。 3C A B C C B A 6在 ABC中， C=900，
7、 AC=3， BC=4。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则 R的值为多少？ A C B B A C C B A 7.半径为 R的两个等圆外切，则半径为 2R且和这两个圆都相切的圆有几个？ 8、 在一张长为 9厘米，宽为 8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？ 22521 AFAES AEF435 2222 BEEFBF1021 BFAES A E F345 2222 DEEFDF解：分三种情况计算： 当 AE=AF=5厘米时（图一） 当 AE=EF=5厘米时（
8、图 2） 当 AE=EF=5厘米时（图 3） 21521 DFAES A E F三 .与相似三角形有关的分类 9.在矩形 ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 P沿 AB边从点 A出发向 B以 2cm秒的速度移动 ;点 Q沿 DA边从点 D开始向 A以 1cm/秒的速度移动。如果 P、 Q同时出发，用 t秒表示移动的时间（ 0 x 6）那么： （ 1）当 t为何值时， QAP为等腰直角三角形？ （ 2）求四边形 QAPC的面积； 提出一个与计算结果有关的结论； （ 3）当 t为何值时，以点 Q、 A、 P为顶点的三角形与 ABC相似？ Q P A D C B 解：对于任何时刻 t，
9、 AP=2t,DQ=t, QA=6，当 =AP时， QAP为等腰直 角三角形，即 6 t=2t,解得 t=2（秒） （ 3）根据题意，可分为两种情况来研究 在矩形 ABCD中：当 = 时， QAP ABC，则 = ， 解得 t= =1.2秒。所以当 t=1.2秒时， QAP ABC。 当 = 时， PAQ ABC，则 = ， 解得 t=3（秒）。所以当 t=3秒时， PAQ ABC。 ABQA BCAPBCQA ABAP126t 62t5666t 122t（ 2）在 QAC中， S= QADC= （ 6 t)12=36 在 APC中， S= APBC= QAPC的面积 S=（ 6t)+6t=3
10、6(cm2) 由计算结果发现：在 P、 Q两点移动的过程中， 四边形 QAPC的面积始终保持不变。 21 2121 21Q P A D C B 10。已知二次函数 的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点 ,直线（ ）与轴交于点。 （）求、三点的坐标； （）在直线（ ）上有一点（点在第一象限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。 解 （ 1） A（ 1， 0）， B（ 1， 0）， C（， 2） 当 PDB COB时， 有 P（ m, 2m 2）； 2m 21(2) 当 PDB BOC时， = 有（， ） BOPD COBD P C BC DC90 16 12
11、， ， ，BQP11. 如图所示，在直角梯形 ABCD中， AD/BC， AD=21。动点 P从点 D出发，沿射线 DA的方向以每秒 2个单位长的速度运动，动点 Q从点 C出发，在线段 CB上以每秒 1个单位长的速度向点 B运动，点 P， Q分别从点 D， C同时出发，当点 Q运动到点 B时，点 P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （ 1）设 BPQ的面积为 S，求 S与 t之间的函数关系式； （ 2）当线段 PQ与线段 AB相交于点 O，且 BO=2AO时，求 （ 3）当 t为何值时，以 B、 P、 Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 的正切值； (4)是否存在时刻 t，使得 PQ BD
12、？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。 PM BC PM DCQB tS t t121611212 16 96 6( )解：（ 1）如图 1所示，过点 P作 ， 垂足为 M，则四边形 PDCM为矩形。 558,16)212(216212ttttBQtAP ， O AP O BQAPBQAOOB 12（ 2）如图 2所示，由 得： 2930t a n,293012t a n,2B Q PQ P EB Q PtPEQEQ P EP E QRttPEtQCEDtPDEADQEQ中，在，垂足为作过点图 图 三角形是等腰三角形。三点为顶点的、秒时，以秒或当综合上面的讨论可知：不符合题意，舍去）解得，整理得：得：，由若。无实数根，即得：（由）（中，。在若解得得：由中，。在若可分为三种情况；等腰三角形，三点为顶点的三角形是、若可知：）由图（QPBttttttttPQPBPQPBBQPBttttttBQBPtBPP M BRtBQBPtttBQPQtPQP M QRtBQPQQPBtCQtPDCM31627(16,316,0256643,12)216(120144323,0704,0144323,)16(12)21612216.27,)16(12.12,213212222222222222222222222222图 1
