1、1专题：数列与解析几何综合 点列问1 如图，直线 与 相交于点 P.直线 l1 与 x 轴交于点)21,0(1:1 kkxyl :l21xyP1，过点 P1 作 x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q1，过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 l1 于点 P2，过点 P2 作 x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q2，这样一直作下去，可得到一系列点 P1、Q 1、P 2、Q 2，点 Pn（n=1，2，）的横坐标构成数列 .n（）证明 ； *),(1Nnxk（）求数列 的通项公式；n（）比较 的大小. 5|4|2212P与【解析】 （）证明：设点 Pn的坐标是 ，),(nyx由已知条件得点 Qn、 Pn+1
2、的坐标分别是： ).21,(21nx由 Pn+1在直线 l1 上，得 .211knn所以 即 ),()(21nxk .*),1(Nxxn（）解：由题设知 又由（）知 ，,01k )1(21nnxkx所以数列 是首项为 公比为 的等比数列.nx,x2从而 .*,)()2(11 Nnkkn即（）解：由 得点 P 的坐标为（1，1）.,xy所以 ,)21()(8)(2)1(|22 nnnnn kkP.9451045|41kk（i）当 时， 1+9=10.2,2| 或即 |2Pk而此时 .5|.8|0 212PkPk nn故所 以（ii）当 时， 1+9=10.11|,(,0)(,即 5|412k而此
3、时 .|4|.0|2| 2122 kk nn故所 以EX：已知点 都在直线 上， 为直线 与 轴的交点，数列 成等差数列，公nbaP,:xyl1Plxna差为 1. （ ）N2(1)求数列 ， 的通项公式；nab(2)求数列 的前 项和 .12nT(3)求证： + ( 2, )21P231521PnN【解析】(1) 4 分,01 nban（2）令 = =14 则它的前 项的和 =13 ，c2ns207c= 4 分nT7843)(2(3) 2 分0,1,P)1(51Pn )(n222123121 3Pn )1(55 n4 分5)1(2n2、 如图，曲线 上的点 与 x 轴的正半轴上的点 及原点
4、构成一系列正三角形2(0)yxiPiQO设正三角形 的边长为 ,nN (记 为 ), .121,.nOPQPQ 1nna0,0nS(1) 求 的值;a(2) 求数列 的通项公式 ;nna(3) 求证:当 时, .22222113nnnnaaa【解析】（1）由条件可得 ,代入曲线 得 ;113,2Pa2(0)yx211132,0,43aa(2) 点 代入曲线 并整理得12nnS 111(,)nnSa2()yx,于是当 时,1134nna*2,N2211133( )44nnnnnSaa即 111()()()2nnnaP1 P2 P3Q1 Q2O3*1120,(,)3nnaanN又当 ,故2124,
5、(4S时 舍 去 ） 213a*12()3naN所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列, ;na3n(3) 由（2）得 ，当 时，2n22211nnnaaa222994(1)4 222(1)4914()()()nn 11( ()nnn，99)428(欲证 ，只需证 ，即证 ，9(1)382n3nn24730n设 ，()47f当 时，f（n）递增.而当 时,有 成立.所以只需验证 n=2 时不等式成立.- 13 分83n()0f事实上, .91529616442综上,原不等式成立. -14 分3、 已知曲线 C： ， ： （ ） 。从 上的点 作 轴的垂线，xy1nnxy21NC),(nyxQ
6、交 于点 ，再从点 作 轴的垂线，交 于点 ，设nPnC),(11nyxQ。 111, nnybxa（I）求 的坐标；2Q（II）求数列 的通项公式；n（III）记数列 的前 项和为 ，求证：banS1n【解析】4（1）由题意得知 ， ，)1,(Q)32,(P),(Q（2） ， ，点 的坐标为,nyx,11nyxn),(1nyx在曲线 上， ，1,nCn1n又 在曲线 上， nPnnxy21x2na2（III） + 7)()(211nnxx 12)(x分= =21)()1(nn nn12)()()()( 111 nnnnn xyxba )21(1nnn11 分)2()2(nn，31nnba23
7、nnn baS 2312311 )21(31)(6nn6 （本小题满分 15 分，其中第一小问 4 分，第二小问 6 分，第三小问 5 分）过曲线 上的点 作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于 ，过点 P2 作曲线 C 的切3:xyC),(1yxP ),(2yxP线 l2 与曲线 C 交于点 ，依此类推，可得到点列： ，3 ,13 1(,)(,),(),nPxyxyx 即（1）求点 P2、P 3 的坐标.5（2）求数列 的通项公式.nx（3）记点 到直线 的距离为 ，P)(211nPl即 直 线 nd求证： .9412ndd【解析】（1） 4 分)6,()8,(32P（2）曲线 C 上点
8、 处的切线 的斜率为 ，nyxnl 23nxnykn故得到的方程为 6 分)(2x联立方程 消去 y 得：323()nnyx 0233nnx化简得： 所以： 8 分0)()(2nnxx nnx或由 得到点 Pn 的坐标 由 就得到点 的坐标 所以：,y21P)2(,3nx故数列 为首项为 1，公比为2 的等比数 列所以： nnx1 x 1)2(n10 分（3）由（2）知： ),8(,),8(, 1121 nnnnnP所以直线 的方程为：nl 2)(1nxy化简得： 12 分0)8(243nx 32112211 .938749)(|)| nnnnnnnd所以 3)91n 15 分)21(821
9、nndd 4()97. 已知曲线 C:y=x2(x0),过 C 上的点 A1（1，1）作曲线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 B1，再过点 B1 作 y轴的平行线交曲线 C 于点 A2，再过点 A2 作曲线 C 的切线 l2 交 x 轴于点 B2，再过点 B2 作 y 轴的平行线交曲线 C 于交 A3，依次作下去，记点 An 的横坐标为 an(nN *).（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列an的前 n 项和为 Sn，求证：anSn1;6（3）求证： 1niiaS41.3n【解析】(1)曲线 C 在点 An(an,a 2)nn处 的 切 线 l的 斜 率 是 2a,切线 ln 的方程是
10、 y-a ().ax由于点 Bn 的横坐标等于点 An+1 的横坐标 an+1，所以，令 y=0，得 an+1 an。12数列a n是首项为 1，公比为 的等比数列.a n=21.2（2）S n= =2(1- ),a nSn=4 (1- ).211n令 t= ，则 0t ，a nSn=4t(1-t)=-4(t- )2+1.2n2当 t= ，即 n=1 时，-4(t- )2+1 有最大值 1，即 anSn1.11（3）S kak,kN *，a kSka 2,ka即 2.k数列 是首项为 1，公比为 4 的等比数列.2k =1niiaS1ni2i 1.3n8、 （06 山东卷）已知 a1=2，点(
11、a n,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，(1)证明数列lg(1+an)是等比数列；(2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列a n的通项；(3)记 bn= ，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1.na 31nT【解析】（）由已知 ，21nna21()nna，两边取对数得1a，即lg()2lg()nn 1lg()2na7是公比为 2 的等比数列.lg(1)na（）由（）知 （*）11lg()lg()naa1122lg3nn 123na=12nT+0-2n-1+-由（*）式得13n（） 210nna1()na1()2n
12、naa12nn又 2nba1()nnba12Sn+1231( )na+12()na13,3n naa2nnS又 .21nT1nST9 （本题满分 16 分）由原点 O 向曲线 引切线，切于不同于 O 的32()(0)fxax点 P1（ x1，y 1） ，再由点 P1 引此曲线的切线，切于不同于 P1 的点 P2（x 2，y 2） ，如此继续下去，得到点列Pn(xn，y n) .（I）求 ；1（）求证：数列 为等比数列；nxa（）令 ， 为数列 的前 项的和，若 对 恒成立，求 的取值|nbnTnb2nT*Na范围.【解析】() -1 分 2361fxax过切点 P1（x 1，y 1）的切线方程
13、为 2111(36)(yxax由于切线过原点 O，因此 310()0)xa解得 -4 分132xa8() 过切点 Pn+1（x n+1，y n+1）的切线方程为 21111(36)(nnnnyxax由于切线过点 Pn（x n，y n） ，因此 - -6 分21()nx化简得 ， -8 分123a)a即 ，1nx数列 是以 为首项，公比为 的等比数列。 -9 分na12ax12() 由()得 =n1()n-11 分2nba231()2n nT 令 ，由错位相减可求得23n nS -13 分1nn = ，由单调性得 nT12()na124n142n12n要使 对 恒成立， 故TN4a 的取值范围是 。-16 分 a(,4)(,)
