1、 江苏省 常州市 20172018 学年第一学期月考高三理科数学试卷 2017.9.27一、填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 70 分 ， 请 将 答 案 填 写 在 答 题 卡相 应 的 位 置 上 ）1已知集合 ， ，则 MN lgMxy21Nxy0,12命题“ ”的否定是 012,a2,xx3已知复数 满足 ，则复数 = z（ 1-i)=2+iz13+2i4函数 单调增区间是 ,sincoxxy(0,),5.已知 ，则 = 3si625isin63xx236已知函数 ，若 , 则实数 的最小值为 ()2sin()0fx()0,()ff 37.在
2、ABC 中，已知 BC1， B ，ABC 的面积为 ，则 AC 的长为_3 3 138设函数 在 处取极值，则 = xxfsin)(0)2cos1)(020xx29.已知 ，则不等式 的解集为 . 231,()fx2()5f1,10若 )(f是 上的增函数，且 )(,4)(ff，设 3)(|txfP，R4|Q，若“ P”是“ Qx的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_ _ 3,11.定义在 上的函数 ()fx满足: ，当 时，21ff2,0x，则 = 2logfx01712.设 )(是定义在 R 上的可导函数，且满足 ，则不等式()fxf的解集为 21(fxfxA 12，13. 若函数 有唯
3、一零点，则 的取值范围是 .2)ln)fmm102m或14设点 为函数 与 图象的公共点，以Paxxf2)(2()3lngaxb)0(为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为 l 324e【答案解析】 解析 ：解 ： 设 点 坐标为 ，则有 ，324eP0,xy20013lnyxab因为以 为切点可作直线 与两曲线都相切，所以 ，即Pl 00()kfg2003,ax或 由 ，故 ，此时 ；所以点 坐标为0,0x)0(a0xa205ayP，代入 整理得： ，25,a2()3lngb23ln4，令 ，即 ，得 ，可ll2baa0l0a13ae判断当 时有极大值也是最大值， ，13ae 2
4、21133235ln44ebe故答案为： .324二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分 14 分）设函数 . 图像的一条对称轴是直线 )0( )2sin()xf ()yfx8x（1）求函数 的解析式；（2）若 ，试求 的值.3(),(,)5f5()8f解：（1） 是函数 的图象的对称轴，8xyx ， ，2 分1)2sin(Zk,24 ， ， 4 分043故 6 分()sin2)fx（2）因为 ，3,(,5所以 ， 8 分sin()44cos)5故 33in(cos()sin4 11 分232()510而 53sin()sin
5、(2)cos2884f .221i10所以， . 14 分5()8f16（本题满分 14 分）已知 分别在射线 （不含端点 ）上运动， ，在AB、CMN、C23MCN中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 Cabc 若 、 、 依次成等差数列，且公差为 2求 的值；abc 若 ， ，试用 表示 的周长，并求周长的最大值3AB16（本题满分 14 分）解：（1） 、 、 成等差，且公差为 2，abc、 .2 分4ac2b又 ， ， ，4 分3MCNcos221ab， 恒等变形得 ，2241c2940c解得 或 .6 分7又 ， . 7 分4cAB CMN（2）在 中， ，ABCsinsisinB
6、CAB，32sinii， . 9 分2siACsin3B的周长 fACB2sini3，11 分132sincosi又 ， ， 12 分0,3当 即 14 分sin(),123,2f17（本题满分 14 分）已知 ，其中 是自然常数，l,0,fxaxe .aR(1)当 时，求 的单调性和极值；1()f(2)若 恒成立，求 的取值范围.()3fa解：(1) 2 分 1ln()xxfx当 时， ，此时 为单调递减；010ff当 时， ，此时 为单调递增. 4 分e当 的极小值为 ， 无极大值6()fx1f()fx分（2）法一： ，ln,0fxae 在 上恒成立，ln3ax0,e即 在 上恒成立，8
7、分,x令 ， ，l()gx0,e 10 分 2231nlx令 ，则 ，()0gx2e当 时， ，此时 为单调递增，210xe0fxfx当 时， ，此时 为单调递减， 12 分 ，22max1()()3gee . 14 分2法二：由条件： 在 上恒成立ln30ax,xe令 ， ， ， 8 分()lgx,e 1()axg时， 恒成立， 在 上递减，1ae()0gx0,e ；min()4gxa由条件知 与 矛盾. 10 分0ee1a时，令 ，12a ()gxx当 时， ，此时 为单调递增，0x0ff当 时， ，此时 为单调递减，1eaxx，mx()()ln2ga 12 分ln20,即 . 14 分a
8、e18（本题满分 16 分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水器（如图），其中直四棱柱的高，两底面 是高为 ，面积为 的等腰梯形，且10Am1,ABCD2m210，若储水窖顶盖每平方米的造价为 100 元，侧面每平方米()2DC的造价为 400 元，底部每平方米的造价为 500 元 (1)试将储水窖的造价 表示为 的函数；y(2)该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元?（取 ）。3=17（1）过 作 ，垂足为 ，则 ， ，令 ，从而，故 ，解得 ， 4 分所以7 分（2） ，10 分令 ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增。所以
9、当 时，。答：当 时，等价最低，最低造价为 51840 元。 15 分19.（本题满分 16 分）已知函数 ，在闭区间 上有最大值 4，最小)1,0(12)( baxaxg 3,2值 1，设 。f)(（1）求 的值；b,（2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。02)(xxkf 1,k（3）方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范31xxf围。解：（1） ， 0,ba 21)(,2)( xfg。5 分（2） k。10 分（3）令 01tx记： )21()32()(kt则： 或0)1(k()0231k0k。16 分20已知函数 2()lnfxmx（ 0，实数 m， n为常数）（1）若 2
10、30n（ ），且函数 ()f在 1,)x上的最小值为 0，求 m的值；（2）若对于任意的实数 1,2a， ba，函数 (f在区间 (,)ab上总是减函数，对每个给定的 n，求 m的最大值 h(n)20解：（1）当 230时， 22()3lnfxmx则2233()()mxxmfx令 0，得 （舍）， 3 分当 1 时，x1 (1,)m (,)m()f- 0 + 23lnm当 xm时, 23ln()inxf令 23l0，得 e 5 分当 01 时， ()fx0 在 1,)上恒成立，()fx在 ,上为增函数，当 x时, min()1fx令 m，得 （舍）综上所述，所求 为 7 分23e(2) 对于任意的实数 1,a， 1ba， ()fx在区间 (,)ab上总是减函数，则对于 x(1,3)，2()2nmnfxx0， ()0f在区间1,3 上恒成立 9 分设 g(x)= 2mn， 0，g(x) 在区间1,3上恒成立由 g(x)二次项系数为正，得1(3) 0,即 2318n , 0 亦即 12 分 2n(6)= 4(6)3n， 当 n 6 时，m 3n，当 n6 时，m 2， 14分 当 n 6 时，h(n)= 6，当 n6 时，h( n)= ， 即 6.,()3216 分
