1、江苏省常州市 2015 届高三第一学期期末调研测试数学试卷一、填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 1 设集合 ， ，则 = ,0A,23BAB2 设复数 （ ，i 为虚数单位） ，若 ，则 的值为 3i1mzzm3 已知双曲线 的离心率为 ，则实数 a 的值为 24axy34 函数 的定义域为 2()log6f5 函数 的最小正周期为 ()csin3cos2xxf6 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 a7 现有 5 道试题，其中甲类试题 2 道，乙类试题 3 道，现从中随机取
2、 2 道试题，则至少有 1 道试题是乙类试题的概率为 8 若实数 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 ,xy,1,xy 2zxy9 曲线 在点 处的切线方程为 cosyx2p，10已知函数 ，则函数 的值域为 ()xf1,(1)yfx11已知向量 ， ，设向量 满足 ，则 的最大值为 1,a,bc230acbc 12设等比数列 的公比为 （ ） ，前 n 项和为 ，若 ，且 与naq01nS134a6a的等差中项为 ，则 4356S13若不等式 对任意满足 的实数 恒成立，则实数 的最大2()cxy 0xy,xyc值为 （第 6 题）开 始a 1a 2a +1a 64输 出 a结 束 YN1
3、4在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 均与 轴相切且圆心 ， 与原点 共xOy12Ox1O2线， ， 两点的横坐标之积为 6，设圆 与圆 相交于 ， 两点，直线 ：12 12PQl，则点 与直线 上任意一点 之间的距离的最小值为 80xyPlM二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c已知 ， 23bcACp（1）求 的值；（2）求 的值；（3）若 ，求ABC 的面积cossin16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 的底面 ABCD
4、是平行四边形，平面PABCDPBD平面 ABCD， PB=PD， ， ， ，PACDPO分别是 ， 的中点，连结 求证：MOM（1） 平面 ；OPA（2） 平面 CD17 （本小题满分 14 分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为 （m） ，三块种植植物的矩形区域的总面积为 （m 2） x S（1）求 关于 的函数关系式；
5、Sx（2）求 的最大值MOA DB CP（第 16 题）18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，直线xOyC21(0)xyab12e过椭圆 的右焦点 ，且交椭圆 于 ， 两点:10()lxmyRFCAB（1）求椭圆 的标准方程； C（2）已知点 ，连结 ，过点 作垂直于 轴的直线 ，设直线 与直线5(,)2DBAy1l1l交于点 ，试探索当 变化时，是否存在一条定直线 ，使得点 恒在直线BPm2lP上？若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 2l 2l19 （本小题满分 16 分）已知数列 （ ， ）满足 ， 其中na*N146n 1a1,15,
6、630,4,ndna ， 0d*（1）当 时，求 关于 的表达式，并求 的取值范围；a46d46a（2）设集合 |,116ijkMbaijijkN 若 ， ，求证： ；13a4d2M是否存在实数 ， ，使 ， ， 都属于 ？若存在，请求出 实数 ， ；若185340ad不存在，请说明理由x113(17)第 题3 120 （本小题满分 16 分）已知 为实数，函数 ，函数 ab， 1()fxba()lngx（1）当 时，令 ，求函数 的极值；0()FfF（2）当 时，令 ，是否存在实数 ，使得对于函数1a()Gxfgx b()yGx定义域中的任意实数 ，均存在实数 ，有 成立，若存在，121,)
7、12()0Gx求出实数 的取值集合；若不存在，请说明理由b数学（附加题） 2015 年 2 月21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲已知 AB 是圆 O 的直径， P 是上半圆上的任意一 点，PC 是 的平分线， 是下半圆的中点.ABE求证：直线 PC 经过点 .B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 满足： ，其中 是互不相等的实常数，0abMiil(1,2)il(1,2)i是非零的平面列向量， ， ，求矩阵 .1l21MC选修 44：坐标系与参数方程（
8、第 21-A 题）ABPOEC已知两个动点 ， 分别在两条直线 和 上运动，且它们的横坐标分别PQ1:lyx2:lyx为角 的正弦，余弦， .记 ，求动点 的轨迹的普通方程.q0,qOMPQMD选修 45：不等式选讲已知 ，证明： .0,ab222()(1)9ababa【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 五种商,ABCDE品有购买意向.已知该网民购买 两种商品的概率均为 ，购买 两种商品的概,AB34,率均为
9、 ，购买 种商品的概率为 .假设该网民是否购买这五种商品相互独立.23E12（1）求该网民至少购买 4 种商品的概率；（2）用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望.hh23 （本小题满分 10 分）设 个正数 满足 （ 且 ） n12,na 12na *N3n（1）当 时，证明： ；3312312a（2）当 时，不等式 也成立，请你将其推4n234112343412aaa广到 （ 且 ）个正数 的情形，归纳出一般性的结论并用数*Nn ,n学归纳法证明常州市教育学会学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 2 38
10、 4 5 6127 7 0, ,6,2p91081 9 10 11 12 13 140xyp,2342456二、解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15解：（1）因为 ， ，ABCp3A所以 2 分2B又由正弦定理，得 ， ， ，sinibcsinbBC23sincoC化简得， 5 分3coC（2）因为 ，所以 0,p216si1cos3所以 8 分6sini2inc3BC（3）因为 ，2BC所以 10 分21coscos3因为 ，Ap所以 2sini()sincosin316()39
11、BCBC12 分因为 ， ，所以 23bc92c所以ABC 的面积 14 分1692sin324SbA16证明：（1）连结 AC，因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 的中点 2 分C在 中，因为 ， 分别是 ， 的中点，PACMAP所以 4 分O因为 平面 ， 平面 ，DPD所以 平面 6 分A（2）连结 因为 是 的中点，BPB=PD，所以 POBD 又因为平面 PBD平面 ABCD，平面 PBD平 面 = ， 平面ABCDPOBD所以 平面 从而 8 分又因为 ， , 平面 ， 平面 ，PPCAPOAC所以 平面 CDA因为 平面 ，所以 10 分OMDOM因为 ， ，所以 12
12、分PPP又因为 平面 ， 平面 ， ,CC所以 平面 14 分17解：（1）由题设，得MOA CB DP， 6 分907208916Sxx8,450x（2）因为 ，所以 ， 8 分4572当且仅当 时等号成立 10 分60x从而 12 分7S答：当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为m2 14 分618 解：（1）由题设，得 解得 从而 ，1,2ca， ,ca， 223bac所以椭圆 的标准方程为 4 分C43xy（2）令 ，则 ， 或者 ， 0m3(1)2A， ()B， (1)2A， 3()B，当 ， 时， ；当 ， 时， ，()， ， 2P， ， 1
13、， 3(4)2P，所以，满足题意的定直线 只能是 6 分l4x下面证明点 恒在直线 上Px设 ， ，由于 垂直于 轴，所以点 的纵坐标为 ，从而只要1()Axy， 2()By， PAyP1y证明 在直线 上 8 分4， D由 得 ，21043xmy， 2(43)690my，21()0D， 10 分122643ym122943y212212133()055DBP ymykx ， 13 分1212+3ymy式代入上式，得 ， 所以 15 分0DBPk=DBPk点 恒在直线 上，从而直线 、直线 与直线 三线恒过同一点1(4)Py， BD1lBD2:4lx， 所以存在一条定直线 ： 使得点 恒在直线
14、 上 16 分2l4xPl19解：（1）当 时，1a， ， 2 分65ad365d4615()ad因为 ， ，或 ，02 21所以 4 分46(,146,)a（2）由题意 ， ， 6 分3n16n 34ijkb令 ，得 124ijk7ijk因为 ， ，,ijN116ij 所以令 ，则 8 分 ,2ijkM不存在实数 ， ，使 ， ， 同时属于 9 分ad815340假设存在实数 ， ，使 ， ， 同时属于 ， ，(1)nad3(3)baijkd从而 11 分|,42,MbmZ 因为 ， ， 同时属于 ，所以存在三个不同的整数 （ ） ，815340M,xyz,3,42使得 从而 ,35,40a
15、xdyz7(),86,5yxdz则 13 分8x因为 与 互质，且 与 为整数，35yxz所以 ，但 ，矛盾 |,|48yxz |39所以不存在实数 ， ，使 ， ， 都属于 16 分ad150M20解：（1） ，1()lnFx，令 ，得 1 分2() 01x列表：x (,)1(1,)()F0 + 极小值 所以 的极小值为 ，无极大值 4 分()x(1)（2）当 时，假设存在实数 满足条件，则 在1ab 11()lnGxbx上恒成立 (0,),)x5 分1）当 时， 可化为 ，(,)x1()ln1Gxbx (1)ln10bxx令 ，问题转化为： 对任意 恒成1ln,(0HbH (,)立；（*）则 ， ， ()01()lbxx(1)0令 ，则 lnQxb2()xQ 时，因为 ， 12 1() 102x故 ，所以函数 在 时单调递减， ，()0x(y(0,)x()10Qx即 ，从而函数 在 时单调递增，故 ，所以H)H,1()H（*）成立，满足题意； 7 分当 时， ，12b221()(1)bxbxQ因为 ，所以 ，记 ，则当 时， ，0,I（ ， ） （ ） xI1()0b故 ，所以函数 在 时单调递增， ，()0x()yx()Q即 ，从而函数 在 时单调递减，所以 ，此时HHI (1)0Hx
