1、1江苏省常州市 2018 届高三第一学期期末检测数学试题一、填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 1若集合 ，则集合 22,0|1ABxAB2命题“ ,1x ”是 命题（选填“真”或“假” ） 3若复数 z满足 2i(i)z其 中 为 虚 数 单 位 ，则 z 4若一组样本数据 2015，2017，x，2018，2016 的平均数为 2017，则该组样本数据的方差为 5右图是一个算法的流程图，则输出的 n的值是 6函数 1()lnfx的定义域记作集合 D随机地投掷一枚质地均匀的正方
2、体骰子（骰子的每个面上分别标有点数 ） ，记骰子1,26向上的点数为 ，则事件“ ”的概率为 tt7已知圆锥的高为 6，体积为 8用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为 8各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值为 na234234aa39在平面直角坐标系 中，设直线 与双曲线 的两条xOy:10lxy2:1(0,)xyCab渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 的取值范围是 e10已知实数 满足 则 的取值范围是 ,xy0,24,xy xy11已知函数 ，其中 若过原点且斜率为()lnfbxbRk的直线与曲线 相切，则 的值为 yk12
3、如图，在平面直角坐标系 中，函数xOysin()0,)yx的图象与 轴的交点 满足 ，则 x,ABC2B13在 中， ， 为 内一点（含边界） ，若满足ABC3,7,5PA（第 5 题）结束开始输出 nY2,1An2017ANn1-1（第 12 题）2，则 的取值范围为 14BPAC()RBPA14已知 中， ， 所在平面内存在点 使得 ，3BCP223BCPA则 面积的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知 中， 分别为三个内角 的对边， ABCabc, ABC, 3sinc
4、osbCB（1）求角 ；（2）若 ，求 的值2bac1tnta16 （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， ， ，点PABCDPCABD平 面 P是棱 上异于 P，C 的一点Q（1）求证： ；（2）过点 和 的平面截四棱锥得到截面 （点ADADQF在棱 上） ，求证： FPBQFBC（第 16 题）317 （本小题满分 14 分）已知小明（如图中 AB 所示）身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A，O 点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB（1）小明沿着圆心为 O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求
5、 扫过的图形面积；（2）若 米，小明从 A 出发，以 1 米/秒的速度沿线段 走到 ， ，且3 1A31O米 秒时，小明在地面上的影子长度记为 （单位：米） ，求 的表达式与10At )(tf )(tf最小值18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，点 是xOy)0(1:2bayxCFA椭圆的左顶点，过原点的直线 与椭圆交于 两点（ 在第三象限） ，与椭圆的右准MNN,M线交于 点已知 ，且 PA243Ab（1）求椭圆 的离心率 ；Ce（2）若 ，求椭圆 的标准方程103AMNPOFSaC（第 17 题）xy（第 18 题）419 （本小题满分 16 分）已
6、知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且满足 （其中 为常数） ，nanS1a数列 满足 1()(1)nnS*Nnb21n(*)N（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；nana（2）若无穷等比数列 满足：对任意的 ，数列 中总存在两个不同的项 ，c*nbsb（ ） ，使得 ，求 的公比 tb*,sNsntb ncq20 （本小题满分 16 分）已知函数 ，其中 为常数2ln()xfa（1）若 ，求函数 的极值；0(f（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；()fx)， a（3）若 ，设函数 在 上的极值点为 ，求证： 1a(fx01)， 0x0()2fx5数学（附加题）
7、21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲在 中，N 是边 AC 上一点，且 ，AB 与B2CNA的外接圆相切，求 的值CBB选修 42：矩阵与变换已知矩阵 不存在逆矩阵，求：1aA（1）实数 a 的值；（2）矩阵 的特征向量AC选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 CxOyx的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的极坐标方程为 ，直线2cos1,in sin()24l 与曲线 C 交于
8、M，N 两点，求 MN 的长D选修 45：不等式选讲已知 ，求证： 0,ab32ab（选修 41）6【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）已知正四棱锥 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，ABCDP按下列方式定义随机变量 的值：若这两条棱所在的直线相交，则 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ；若这两条棱所在的直线平行，则 ；0若这两条棱所在的直线异面，则 的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制） （1）求 的值；)0(P（2）求随机
9、变量 的分布列及数学期望 )(E23 （本小题满分 10 分）记 （ 且 ）的展开式中含 项的系数为 ，含 项1()()2xxn 2 *nNxnS2x的系数为 nT（1）求 ；S（2）若 ，对 成立，求实数 的值；2nTabc2,34nabc,（3）对（2）中的实数 ，用数学归纳法证明：对任意 且 ，, 2n *N都成立nTabcS7数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 2真 314257 6 738 9 10 11 12 13 14(,)4,81e452,8316二、解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 解 答
10、 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15解：（1）由正弦定理得 ， 中， ，所以3sincosinBCCABsin0C，所以 ， ， ，所以 ；3sinco1B1()25663（2）因为 ，由正弦定理得 ，2basiisAsconcoin()si()sintatiniisA BCCCAC所以， 21123ttasiiB16 （1）证明： ， ，所以PACD平 面 ABD平 面，记 交于点 ，平行四边形对角线互相平BDC， O分，则 为 的中点，又 中， ，所以OBP，又 ， ，所以 ，=PPA， 平 面 PAC平 面又 ，所以 ；A平 面 DC（2）四边形
11、 是平行四边形，所以 ，又BCB， ，所以 ，D平 面 B平 面 平 面又 ， ，所以 ，QF平 面 APQF平 面 平 面 ADF又 ，所以 A17解：（1）由题意 ， ， ，所以 ，BOM1.83623O6B小明在地面上的身影 扫过的图形是圆环，其面积为 ；A 227()平 方 米（2）经过 秒，小明走到了 处，身影为 ，由（1）知 ，所以t00AB01AM，200 0() cosftBOO化简得 ， ，当 时， 的最小值为2()39,10fttt 237()4ft32t()ft，328答： ，当 （秒）时， 的最小值为 （米） 2()39,01fttt 32t()ft3218解：（1）由
12、题意 ，消去 y 得 ，解得222()()xyab220cxab，22abxc， 所以 ， ， ，所以 ；(,0)M2243MAabOxcca32e（2）由（1） ，右准线方程为 ，2(,)3bx直线 的方程为 ，所以 ，Nyx436(,)Pb， ，21346=2POFPSb 2243AMNOMSAybb所以 ， ，所以 ，210+a03b2,ba椭圆 的标准方程为 C82yx19解：（1）方法一：因为 ，1()(1)nnS所以 ，2()()2nS由-得， ，11()()2()nnnS即 ，又 ，2(1)()n S 10则 ，即 nSS21na在 中令 得， ，即 1()()n21a21a综上
13、，对任意 ，都有 ，*N1n故数列 是以 2 为公差的等差数列na又 ，则 1a方法二：因为 ，所以 ，又 ，则数列1()(1)nnS1nS1Sa是以 为首项， 为公差的等差数列，na因此 ，即 12(1)nSan当 时， ，又 也符合上式，2n 1n1a故 ，a(*)N9故对任意 ，都有 ，即数列 是以 2 为公差的等差数列*nN12nana（2）令 ，则数列 是递减数列，所以 1nee21nea考察函数 ，因为 ，所以 在 上递yx()210xyyx(,)增因此 ，从而 1422()nea 4,2)nnbea(因为对任意的 ，总存在数列 中的两个不同项 ， ，使得 ，所*Nstbsntcb
14、 以对任意的 都有 ，明显 42,)nca(0q若 ，当 时，有 ，不1qlog1()q 11422)nnca(符合题意，舍去；若 ，当 时，有 ，02lqan 11)nncqq( 不符合题意，舍去；故 120解：（1）当 时， ，定义域为 0a2ln()xf (0)，令 ，得 32ln()xffe(0e)， (e)，()fx 0 极大值 12e当 时， 的极大值为 ，无极小值ex()fx（2） ，由题意 对 恒成立312ln()afx ()0fx ()a， ， ，0， 3(a 对 恒成立12lnax )x， 对 恒成立 (0，令 ， ，则 ，()lg)a， ()2ln1gx若 ，即 ，则 对
15、 恒成立，120ea 12e - 0()xa， 在 上单调递减，()lnxx(0)，10则 ， ， 与 矛盾，舍去；2()ln()aa - ln()a0 1 12ea -若 ，即 ，令 ，得 ，1e12e20gxx当 时， ， 单调递减，20x()ln0gx()ln当 时， ， 单调递增，1ea21x2gxx当 时， ，2x112min()(e)ln(e)egxA 综上 1ea 12a（3）当 时， ， l()fx3l()(1)xxf令 ， ，()12lnhx01)，则 ，令 ，得 ()lxx()0hx2e当 时， ， 单调递减， ，12e (0h 1lnx12()0ehx， 恒成立， 单调递
16、减，且 ，3ln()()xxf 2()fx()ff当 时， ， 单调递增，120e ()0h ()1lnhx其中 ，4()lnleh又 ，2225e1el()10存在唯一 ，使得 ， ，0(,xhx0()fx当 时， ， 单调递增，)f2ln()1f当 时， ， 单调递减，且 ，120ex ()0fx2ln()1xf12()e)fxf由和可知， 在 单调递增，在 上单调递减，2ln(1)f0， 0(1，当 时， 取极大值0x2ln()1xf ， ，0()1lh0l2x ，0200ln1()()()xf x11又 ， ， 01()2x， 201()(0)x， 021()fx12数学（附加题）参考
17、答案21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分A选修 41：几何证明选讲解：记 外接圆为圆 O， AB、AC 分别是圆 O 的切线和割线，所以 ，N 2ABNC又 ，所以 与 相似，所以 ，所以NBCABN， 23BCACB选修 42：矩阵与变换（2） ，即 ，所以 ，解得=01(4)10250120,5时， ， ，属于 的一个特征向量为 ；102xy2x1 时， ， ，属于 的一个特征向量为 2504y1021C选修 44：坐标系与参数方程解：曲线 ，直线 ，圆心 到直线 的距离为2:(1)xy:2lx(,0)Cl，所以弦长 20d 14MN
18、rdD选修 45：不等式选讲证明： ，不妨设 ，则 ， ，由排序不等式得0,ab0ab52ab 12，所以 5151222 1522ab【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分22解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到， 为等腰直角三角形 的可能取值为： ，共 种情况，其PACBD0,3228C中：时，有 2 种； 时，有 种； 时，有 种；034+2=+4=6（1） ；148)(P（2） ， 75263 143286)(P再根据（1）的结论，随机变量 的分布列如下表：0 3213P1475143根据上表， 84293750)( E23解：（1） 12!(1)!nnS（2） ， ， ，2=3T647=T则 解得 41=93672abcabc， ， 11426abc， ，（3）当 时，由（2）知等式成立；n假设 时，等式成立，即 ；*(N,)kk且 2146kTkS当 时，由1nk21()()()11)()()!kfxxxkSxTx知 ，21 11()()!46kkTSk所以 ，2 212()3(35)()!1(1)12!k kkkkS 又 ，等式也成立；211(35)()()462kkk综上可得，对任意 且 ，都有 成立n *N2nTabcS
