1、无锡市普通高中 2017 年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 _【答案】3【解析】 ,故 2. 若复数 （ ，为虚数单位）是纯虚数，则实数 _【答案】6【解析】 为纯虚数，故 3. 某高中共有学生 2800 人，其中高一年级 960 人，高三年级 900 人，现采用分层抽样的方法，抽取 140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为_【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为 ，采用分层抽样的方法 ，则抽取高二的人数为 .4. 已知 ，直线 ， ，则直线 的
2、概率为_【答案】【解析】由已知 ，若直线 与直线 垂直，则 ，使直线 的，故直线 的概率 5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为 3 时，最后输出的 的值为_【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算： ， ; 是， , ， ; 是， , ， ; 是， , ， ; 否，输出 。6. 直三棱柱 中，已知 ， ， ， ，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】是直三棱柱， ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 是球的直径，； ， ， ；故该球的表面积为7. 已知变量 满足 ，目标函数 的最小值为 5，则的值为_【答案】5【解析】如图 为满足条件的可行域，由 得 ，当直
3、线 过点 时有最小值 5，此时 ，解得 坐标为 ，代入 得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数 的图像向右平移 个单位后， 与函数 的图像重合，则_【答案】【解析】平移后的函数的解析式为 ，此时图像与函数 的图像重合，故 , 即.9. 已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列 ，则 的最大值为_【答案】1024【解析】由已知得 ； 当 或 时得最大值 .【点睛
4、】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视 的取值是整数，而误取 .10. 过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 和 ，且 ，则四边形 的面积为_【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接 ，过 作 ， ， 为 的中点， 为 的中点，又， ，四边形 为正方形，由圆的方程得到圆心 ，半径 ， 【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形 ；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数， 设 分别为双曲线的左，右焦点， 为右支上任意一点， 则 的最小值
5、为_【答案】8【解析】由已知 ， ， ； 又双曲线 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的定义有 ， ，故 的最小值为 .【点睛】解答本题有 3 个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义 求出 ；3、将 代入 整理后再利用基本不等式求出最小值 .12. 在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平面 内一点，若，则 _【答案】6【解析】13. 已知函数 ， .若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】当 时， 在 恒成立 在为减函数 ，当 时 ；当 时， .综上 ，欲使 成立需： .【点睛
6、】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数 ，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数 在区间 上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由已知可得 ，当 时， 要使得原命题成立需：；当 时， 要使得原命题成立需： .综上.二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图， 是菱形， 平面 ， ， .（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.试题解析：（1）证明：因为 平面 ，所以 .因为 是菱形，所以 ，因为所以 平面 .（2）证明：设 ，取 中点 ，连结 ，
7、所以， 且 .因为 ， ，所以 且 ，从而四边形 是平行四边形， .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，即 平面 .16. 在 中，角 的对边分别为 ， ， .（1）求 的值；（2）若 ，求 的周长.【答案】 （1） .（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出 即可求出 . （2）根据正弦定理 结合 ，即可求出 的值，再利用余弦定理 ，求出 的值.试题解析：（1）因为 ，所以.在 中，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .（2）根据正弦定理 ，所以 ，又 ，所以 ， .， .所以 的周长为 15.17. 如图，点 为某沿海城市的高速公路
8、出入口， 直线 为海岸线， ， ， 是以 为圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线 ，其中 为 上异于 的一点，与 平行，设 .（1）证明：观光专线 的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当取何值时，观光专线 的修建总成本最低？请说明理由.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出 ，利用直角三角形边角关系求出 ，则总长为 ，求出 为减函数，命题得证.（2）设单位成本为 ，则总成本为 ， ，求出 ， 求出 ，分两区间 讨论 的单调性， 以证明 为极小值点.试题解析：（1）由题意， ，
9、所以 ，又 ，所以观光专线的总长度， ，因为当 时， ，所以 在 上单调递减，即观光专线 的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为 ，则总成本 ， ，令 ，得 ，因为 ，所以 ，当 时， ，当 时， .所以，当 时 ， 最小.答：当 时，观光专线 的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低” 、 “用料最省” 、 “面积最大” 、 “效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为左，右焦点， 分别为左
10、，右顶点， 原点 到直线 的距离为 .设点 在第一象限 ，且 轴， 连接 交椭圆于点 .（1）求椭圆 的方程 ；（2）若三角形 的面积等于四边形 的面积， 求直线 的方程；（3）求过点 的圆方程（结果用表示）.【答案】 （1） .（2） .（3） .【解析】试题分析：（1）由离心率为 ，得 ， ，利用 两点坐标可得 的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得 ，则 .（2）设 ， ，由 两点的坐标可得直线 的方程，与椭圆的方程联立可得 的坐标（ 的横、纵坐标分别是 的高） ，代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入 PA 方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为 的垂直
11、平分线的交点，利用 三点的坐标即可得 的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求. 试题解析：（1）因为椭圆 的，所以 ， ，所以直线 的方程为 ，又 到直线 的距离为 ，所以 ，所以 ， ，所以椭圆 的方程为 .（2）设 ， ，直线 的方程为 ，由 ，整理得 ，解得： ，则点 的坐标是 ，因为三角形 的面积等于四边形 的面积， 所以三角形 的面积等于三角形 的面积，则 ，解得 .所以直线 的方程为 .（3）因为 ， ， ，所以 的垂直平分线 ，的垂直平分线为 ，所以过 三点的圆的圆心为 ，则过 三点的圆方程为 ，即所求圆方程为 .19. 已知数列 满足
12、， ， 是数列 的前 项的和.（1）求数列 的通项公式；（2）若 ， ， 成等差数列， ，18， 成等比数列， 求正整数 的值；（3）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） .（2） ， .（3） 或 14.【解析】试题分析：（1）当 时， ， ，当 时，由 列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列 .（2）建立方程组 ，或 .当 ，当 无正整数解，综上 ， .（3）假设存在正整数 ，使得 ， ， 或 ， ， ， （舍去） 或 14.试题解析：（1）因为 ， ，所以当 时， ， ，当 时，由 和 ，两式相除可得， ，即所以，数
13、列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列.于是， .（2）因为 ，30， 成等差数列 ， ，18， 成等比数列，所以 ，于是 ，或 .当 时， ，解得 ，当 时， ，无正整数解 ，所以 ， .（3）假设存在满足条件的正整数 ，使得 ，则 ，平方并化简得， ，则 ，所以 ，或 ，或 ，解得： ， 或 ， ，或 ， （舍去） ，综上所述， 或 14.20. 已知函数 ， ，其中 .（1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；（2）若对任意 ，有 恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求的取值范围.【答案】 （1） ， .（2） .（3） .【解析】试题分析：（1）先设切点为 ，
14、切线斜率为 ，再建立切线方程为，将 代入方程可得 ，即 ，进而求得切线方程为： 或.（2）将问题转化为对任意 有 恒成立，当 时，利用导数工具求得 ，故此时 ；当 时，恒成立，故此时 ；当 时， ，利用导数工具求得 ，故此时 .综上： .（3）因为 ，由（2）知 ，当 ，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 ；当，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 .综上：.试题解析：（1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，因为切线过 ，所以 ，化简得 ，解得 .当 时， 切线方程为 ，当 时， 切线方程为 .（2）由题意，对任意 有 恒成立，当 时， ，令
15、，则 ，令 得 ，故此时 .当 时，恒成立，故此时 .当 时， ，令 ，故此时 .综上： .（3）因为 ，即 ，由（2）知 ，令 ，则当 ，存在唯一的整数 使得 ，等价于 存在唯一的整数 成立，因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，所以 .当 ，存在唯一的整数 使得 ，等价于 存在唯一的整数 成立，因为 最小，且 ， ，所以当 时， 至少有两个整数成立，所以当 时，没有整数成立， 所有 .综上： .数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，若矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，属于特征值 的一个特征向量为 .求矩阵
16、 .【答案】 .【解析】试题分析：先由 和 求得 和 求得 ，从而求得 ，可得 .试题解析：由矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 可得，即 ；得 ，由矩阵 属于特征值 的一个特征向量为 ，可得 ，即 ；得 ，解得 .即 ，22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线的参数方程是 （是参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆 的极坐标方程是 ，且直线与圆 相交，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由 ，得 的方程为 ，求出圆心 半径 ；由的参数方程得 ；与圆 相交,则圆心到直线的距离 ，即可得 .试题解析：由 ，得 ，所以 ，即圆 的方程为 ，又
17、由 ，消， 得 ，由直线与圆 相交 ，所以 ，即 .【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有 四辆汽车，其中 车的车牌尾号为 0， 两辆车的车牌尾号为 6， 车的车牌尾号为 5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知 两辆汽车每天出车的概率为 ， 两辆汽车每天出车的概率为 ，且四辆汽车是否出车是相互独立的 .该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有 2 辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】 （1）
18、 .（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 ，则 ：该公司在星期四最多有一辆汽车出车. .答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为 .（2）由题意，的可能值为 0，1，2，3，4；.答：的数学期望为 .【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥 中， 是等边三角形， 底面 是直角梯形， ， ， 是线段 的中点， 底面 ，已知 .（1）求二面角 的正弦值；（2）试在平面 上找一点 ，使得 平面 .【答案】 （1） .（2） .【解
19、析】试题分析：（1） 为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到 各点的坐标及平面的法向量为 ，并求得 ，进而求出平面 的法向量为 ，即可求出 ，最后求出 .（2）设 ，根据平面法向量定义得 ，即 ， ,再利用建立方程求得 ， ，进而求得 点的坐标.试题解析：（1）因为 底面 ，过 作 ，则 ，以 为坐标原点， 方向为 轴的正半轴，方向为 轴的正半轴， 方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ，又平面 的法向量为 ，所以 ，所以 .（2）设 点的坐标为 ，因为 平面 ，所以 ，即 ，也即 ， ，又 ， ， ，所以 ，所以得 ， ，即 ， ，所以 ，所以 点的坐标为 .
