1、2019届初中数学总复习微专题构造母子型相似解决阿氏圆题型何求 2019.6.10阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热,出题频率越来越高,成为近几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型,很多同学感觉困难,但是掌握了特点和方法,困难就能迎刃而解!一、阿氏圆题型：例、在 RtABC 中,AOB=90,AO=3,BO=4，O 的半径为 2，P 为O 上一动点,则 的最小值为 . 12PAB二、阿氏圆题型特点：动点 P在圆 (圆弧)上运动且圆心 O到动点 P的距离 OP与圆心 O到定点 B的距离 OB的比值为定值 k,求 PA+kPB (k1)最小值的题型.三、阿氏圆解题方法：初中数学解决阿氏圆
2、问题,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆题型的核心武器!步骤如下：（口诀：找母作子定最值）1.找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段 OP）与定线段(圆心到定点的线段 OB)及其夹角(BOP)的三角形；2.作子三角形：利用标出两边的夹角,构造一条线段,使其长度与半径比为 K,构造出子三角形,由于共角,那么母子三角形相似;3. 得到去除系数 k的线段,结合两点之间线段最短进行求解. 例 1、在 RtAOB 中,AOB=90,AO=3,BO=4，O 的半径OABP为 2，P 为O 上一动点,则 的最小值为 . 12PAB基本
3、思路：构造母子型三角形相似，将(1/2)PB 转化成(PE/PB)=(1/2),只需求 PA+PE最小，结合两点之间线段最短进行求解.解：在 OB上截取 OE=(1/2)OP,连接 PE.(OP/OB)=(OE/OP)=(1/2),POB=EOPPOBEOPPE=(1/2)PB=1PA+(1/2)PB=PA+PE当点 E、P、A 三点共线时，PA+PE 最小，即 PA+(1/2)PB的最小值为(12)+(32)=(10) 练习 1、已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B的半径为 2点 P是圆 B上的个动点,求 PD+PC的最小值 .练习 2、在正方形 ABCD中,G 为正方形内一点,AD=4
4、,P为 BC中点,且 BG=BP,则 的最小值是 .12DGC例 2、在平面直角坐标系中,A（2,0）,B(0，2),C（4,0）,D(3，2),P 是AOB 外部的第一象限内一动点,且BPA=135,则 2PD+PC的最小值是 .CDBAPPCDABGy xCABDOPOABPE练习 3、如图,已知菱形 ABCD的边长为 4,B=60,点 E、F 分别是 AB、BC的中点，点 P在菱形内部，且EPF=150，则 的最小值为 .12PDC练习 4、练习 4、如图,菱形 ABCD的边长为 2，ABC 为 60,A 与 BC相切于点 E,在A 上任取一点 P,则 PB+ PD的最小值为 .3拓展题
5、：拓展 1、如图,点 A、B 在A 上，且 OA=OB=12，OAOB，点 C是 OA的中点,点 D在 OB上，OD=10，动点 P在O 上,则 的最小值为 12PCDEFAB CDPBADCPCOBADP拓展 2、如图,抛物线 与 x轴交于点 A(4,0),与 y032axaxy轴交于点 B.在 x轴上有一动点 E(m,0)(0m4),过点 E作 x轴的垂线交直线 AB于点 N,交抛物线于点 P,过点 P作 PMAB 于点 M.(1)求 a的值和直线 AB的函数表达式；(2)设PMN 的周长为 ,AEN 的周长为 ,若 ,求 m的值;1C2C1265(3)如图 2.在(2)的条件下,将线段
6、0E绕点 0逆时针旋转得到 OF,旋转角为 a(0a90),连接 FA、FB.求 的最小值.3FAByxNMPABOE y xFNMPABOE附：阿氏圆定理: （定理内容较为抽象，了解即可.）一动点 P到两定点 A、B 的距离之比等于定比 m:n,则 P点的轨迹,是以定比m:n内分和外分定线段 AB的两个分点的连线为直径的圆.(这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.)最值二1、已知,RtABC 中,ACB=90BC=1,AC= ,点 P是 AC上的个动点,2则 3BP+AP的最小值 .A CBP2、如图,已知 RtABC 中,ACB=90,BAC=30,延长 BC至 D使 CD=BC,连接 AD.(1)求证:ABD 是等边三角形;(2)若 E为线段 CD的中点,且 AD=4,点 P为线段 AC上一动点,连接 EP,BP.求 EP+0.5AP的最小值;求 2BP+AP的最小值. ECDABP
