1、1正弦定理和余弦定理（1.1 正弦定理和余弦定理）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形； 熟记正弦、余弦定理及其变形形式； 通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。重点难点： 重点：正、余弦定理的推导及应用。 难点：正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。学习策略： 从特殊到一般：从熟悉的直角三角形的边角关系出发，概括出直角三角形中的正、余弦定理，再推广到一般，探究任意三角形中的边角关系。二、学习与应用（一）三角形 中ABC（1）一般约定：
2、中角 A、B、C 所对的边分别为 ；（2） ；AB（3）大边对 ，大角对 ，即 ；等边对 ，等角对 ，即 ；bcBCbc（4）两边之和 第三边，两边之差 第三边，即 ， ab.c（二） 中 ,RtC09“凡事预则立，不预则废”。科学地 预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听 讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。2（1） ；（2）BA2ab（3） ， ， ； ， ， 。sinsisinCcosAcsBcosC知识点一：正弦定理正弦定理： 即： （一）直角三角形中的正弦定理的推导证明：（二）斜三角形中正弦定理的推导法一：构造直角三角形（1）当 为锐角三角形时AB
3、C如图，作 边上的高线 交 于 ，则DAB在 中, ，即 ，RtCBsinasinCa在 中, ,即 ,Abb ，即 .sinsinAB同理可证 icBC snsinab（2）当 为钝角三角形时A3法二：圆转化法（1）当 为锐角三角形时ABC如图，圆 O 是 的外接圆，直径为 ，ABC2ADR则 ， ，Dsinc （ 为 的外接圆半径）2icR同理, ，snaA2sibB故 icRC（2）当 为钝角三角形时法三：面积法（详细内容请参考知识导学，ID：#tbjx9#208608 ）法四：向量法（1）当 为锐角三角形时ABC4过 作单位向量 垂直于 ，AjAC则 + = CB两边同乘以单位向量 ，
4、j得 ( + )= ，即jAjB 0|cos9|cos(90)AjC，)jB ， ， ， ，|1|a|，()in(in ， ，AcCassiisc同理：若过 作 垂直于 得： jBibC ，sinsibc（2）当 为钝角三角形时AC说明：（1）正弦定理适合于 三角形；（2）设 为 的外接圆半径，可以证明：RABC_sinsiabc（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （三）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（1） （2） 知识点二：余弦定理余弦定理： 5即：（一）余弦定理的推导已知： 中， ， 及角 ，求角 的对应边 .ABCabCc方法一：几何法（1）当 为锐角三角形时如图，作
5、边上的高BCAD根据勾股定理有：， ，22A2B 中， ，Rtcos ()22(cos)()CBDA22csbCab= 即： .2os（2）当 为钝角三角形且 C为钝角时AB（3）当 为直角三角形且 C为直角时AB方法二：向量法（1）当 为锐角三角形时（如图），ABC6 ，ACB ()ACB222|cos()|22ba即： (*) cb同理可得： ,sB2cosabA（2）当 为钝角三角形且 C为钝角时（如图）AB注意：（1）推导（*）中， 与 的夹角应 通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此ACB与 的夹角 应为 ，而不是 .（2）对于直角三角形中 时， ,则 ，恰好满足勾股定理。2cos
6、02ab方法三：解析几何方法利用两点间距离公式（详细内容请参考知识导学，ID：#tbjx12#208608 ）（二）余弦定理的变形公式：7cos_csABC（三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（1） （2） 知识点三：解三角形一般地， 叫作解三角形。类型一：正弦定理的应用例 1已知在 中， ， ， ，解三角形.ABC10c4530C解：总结升华： 举一反三：【变式 1】在 中，已知 ， ， ，解三角形。ABC032.081.B42.9acm【变式 2】在 中，已知 ， ， ，求 、 .ABC075065caA8【变式 3】在 中，已知 ，求 。ABCsin:si1:23BC:abc
7、例 2在 ，求： 和 ， 3,60,1ABCbc中 ， aAC解：总结升华： 举一反三：【变式 1】在 中， ， ， ，求 和 ABC6c2a45Ab,BC【变式 2】在 中 , , , 求 和 ；ABC20a1b45ABc【变式 3】在 中， ， , , 求 .ABC6014a76bA9类型二：余弦定理的应用例 3已知 中， 、 、 ，求 中的最大角。ABC374ACB解：总结升华： 举一反三：【变式 1】已知 中 , , , 求角 .ABC3a5b7cC【变式 2】在 中，角 所对的三边长分别为 ，若ABC, ,abc:，求 的各角的大小6:231（ ）【变式 3】在 中，若 ，求角 .A
8、BC2abcA类型三：正、余弦定理的综合应用例 4在 中，已知 ， ， ，求 及 .ABC23a62c045BbA解：总结升华： 10举一反三：【变式 1】在 中，已知 , , .求 和 .ABC3b4c0135ABC【变式 2】在 中，已知角 所对的三边长分别为 ，若 ， ，, ,abc2，求角 和6cAsinC三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！ 课后复习是学习不可或缺的 环节，它可以帮助我 们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。（一）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1） （2） （二）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1） （2） （三）
9、解斜三角形的基本三角问题：已知条件 解法 解的情况一边和两角(例如 a,B,C)11两边和夹角(例如 a,b,C)三边(例如 a,b,c)两边及其中一边的对角(例如a,b,A)特别说明：（详细内容请参考知识导学，ID：#tbjx19#208608 ）（四）判断三角形形状判断三角形形状的常用方法：（1） （2） （3） 知识点：正弦定理和余弦定理我的收获习题整理题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题12好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。网 校 重 要 资 源知识导学：正弦定理和余弦定理（#208608）视听课堂：正弦定理和余弦定理（#214034）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。对本知识的学案导学的使用率： 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到 80%以上） 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在 50%-80%左右） 弱（仅作一般参考，使用率在 50%以下）学生：_ 家长：_ 指导教师：_13
