1、13.4 课题学习 最短路径问题,黄冈中学惠州学校 2015年12月20日,课件说明,本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题,课件说明,学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂
2、线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题 下面我们就“将军饮马问题”和造桥选址问题一起 来看看吧！,引言：,问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,将军饮马问题,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,想一想,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,想
3、一想,你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点,（3）设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）,想一想,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,想一想，做一做,证明：如图，在直线
4、l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB，AC+BC= AC+BC,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即 AC +BC 最短,想一想，做一做,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,想一想，做一做,如图所示，要在街
5、道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,试一试,居民B . 居民A .,街道,A,M,N,B ,A,B,C,D,试一试,L,如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。,作法：1.作点A关于直线 MN 的 对称点A ,2. 作点B关于直线L的对称点点B ,3.连接A B 分别交直线MN、 L于点C、D，则A-C-D-B最短,A,B,M,N,E,.,.,.,.,作法：1.将点B沿垂直与河岸 的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸 与点M,则点M为建桥的位置， MN为所建的桥。,P86 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,造桥选址问题,你能证明AM+ME最小吗？,问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？,作 业,小 结,1.教科书复习题13,
