1、1第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：_(0)abab，语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数_在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数 a，b 均为非负数这一条件推广： (00)abcabc， ， ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进)dd ，行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用（2）二次根式乘法法则的逆用(0)abab，语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积公式中的
2、 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0实际上，a0，b0 是限制公式右边的，对公式的左边，只要 ab0 即可二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用推广： (00)abcdcdabcd， ， ，运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式） ，则可以利用性质 及 将这些因数（式） “开方”出来，从()，2()a而将二次根式化简利用积的算术平方根的性质化简的步骤：2将被开方数进行因数分解或因式分解；应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来2二次根式的除法法则（1）一
3、般地，二次根式的除法法则是：(0_0)abb，语言叙述：二次根式相除，把被开方数_，根指数不变【注意】a0，b0 时，式子才成立，若 a，b 都是负数，虽然 有意义，但 在实0ab， ab，数范围内无意义；若 b=0， 则号无意义学- 科网a如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式（2）二次根式除法法则的逆用 (0)abb，语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根公式中的 a，b 表示的代数式必频满足 a0，b0，a0，b0 是限制公式右边的，对公式的左边，只要且 即可0利用这个公式，同样可以达到化
4、简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可3最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数不含_；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化3分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含
5、二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式） ，化去分母中的根号分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜K 知识参考答案：1 ，不变 2 ，相除 3分母abK重点 二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K难点 二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K易错 运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1法则中的 a，b 表示的代数式都必须是非负的2两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方【例 1】下列计算正确的是A2 3 =6 B3 3 =35 26C4 2 =8 D2 6 =123【答案】D【例 2】化简 得9164A144 B144 C12 D12【答案】A【解析】 = 故选 A
6、91649164=1244二、二次根式的除法1 ；(0)abcabcc， ，2 ，其中 ()()mn 0abn， ，【例 3】等式 成立的条件是abAa、b 同号 Ba0，b0 Ca0 ，b0 Da0，b0【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a0，b0，由于 b 是分母，故 b0故选 B【例 4】计算 的结果为263xA B C D2xx62x23x【答案】C【解析】原式=4x =4x = 3 =2 3 =6 ，故选 C643634x2x2x三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用二次根式乘除混
7、合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式【例 5】计算： 于1abA B C D21ba1abba5【答案】A【解析】 故选 A211aababb四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式） ，且被开方数中是否含有分母二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式三判断：得出结论【例 6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D0.2b12ab2xy25ab【答案】C【解析】因为：A
8、、 ；B 、 ；50.2b123abaD、 ，所以这三项都可化简，不是最简二次根式故选 C25|ab1下列二次根式中，最简二次根式是A B C D23a131531432如果 mn0， n0，n0，故不正确；根据二次根式的除法，可得 = =-m，故正1n确故选 C3【答案】D【解析】选项 A， = ，与 的被开方数不相同；选项 B， = ，与2abab1mn的被开方数不相同；选项 C，不能够化简，被开方数不相同；选项 D， = ，mn3289aba10= ， 和 化简后被开方数完全相同，故选 D3489ab2a3289b34a4【答案】B【解析】选项 A、C、D 正确；选项 B， = ，选项
9、B 错误，故选 B8245【答案】C【解析】根据题意得： ，解得： 故选 C03x03x6【答案】B【解析】原式= ，故选 B4183249【答案】712【解析】 故答案为： 0.960.9160.3473432171210【答案】【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得是二次根式，故答案为：11【答案】-5【解析】原式 故答案为： 48327163945512【答案】 +211【解析】原式2020 20(3)()(3)()3 20(1)3)故答案为： (32)13【解析】（1） 5142560
10、（2）13xyz zxy314【解析】（1） 1836（2） 2263xyx（3） 55411183243（4） 225000015【解析】（1）原式58335269420612（2）123(5)8()23541（3）原式24.ab2b4a（4）原式 13525616【答案】C【解析】x0， =|x| =-x ，故选 C3yy17【答案】A【解析】原式= ，故选 A9520418【答案】B【解析】原式 故选 B132(6)219【答案】A【解析】根据二次根式的乘法，可知 ，故正确；2253531根据二次根式的性质， = ，故不正确；2416-97根据二次根式的除法和分母有理化，可知 = ，故不
11、正确；2510513根据二次根式的性质，被开方数不能为负数，可知 ，故不正(4)164248确故选 A20【答案】1、2【解析】由题意，知 ，解得 ，因此 m 的值为 1，n 的值为 2故答案为：213mn12n1，221【答案】38c【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是 故答案182643123cm为 823cm24【答案】B【解析】A、 不是最简二次根式，错误； B、 是最简二次根式，正确；183213C、 不是最简二次根式，错误； D、 不是最简二次根式，错误，故选 B27 225【答案】6【解析】原式=2 =6故答案为： 6326【答案】214【解析】 = =2，故答案为：2 182
