1、选修 45 不等式选讲第一节 绝对值不等式1绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab| a|b| ，当且仅当 ab0 时，等号成立(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，则|ac |ab| |bc|，当且仅当(ab)(bc )0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式| x|a 的解集：不等式 a0 a0 aa (，a)(a，) (，0)(0，) R(2)|ax b|c(c 0)和|ax b| c( c0)型不等式的解法：|ax b| cc ax bc；|ax b| cax bc 或 axbc.(3)|xa |xb|c(c 0)和|xa| xb|c (c
2、0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|ab| |a| b|，当且仅当a b0 时，等号成立，对|a| | b|ab| |a| b|，如果 a0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及 c 的符号判断，若 ck 的解集为 R，求实数 k 的取值范围解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，1,2 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于|PA| PB|k 恒成立|AB| 3，即|x1| | x
3、2| 3.故当 kk 恒成立，从图像中可以看出，只要 kaxa.2平方法：两边平方去掉绝对值符号3零点分区间法(或叫定义法 )：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组) 求解4几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解5数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解练一练1在实数范围内，解不等式|2x 1|2x1| 6.解：法一 分类讨论去绝对值号解不等式当 x 时，原不等式转化为 4x6x ；当 x 时，原不等式转化为 26，恒成立；12 32 12
4、 12当 x0.解：原不等式等价于|x 2|x1| ，则( x2) 2(x1) 2，解得 x1.类题通法利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏考点二 绝对值不等式的证明典例 (2014长春联考) 已知 f(x)|x1| |x1| ，不等式 f(x)1 时，由 2x4，得 1x2，M( 2,2)(2)证明：a，bM 即2 a2，2b2.4( ab) 2(4 ab) 24(a 22abb 2)(168aba 2b2)( a24)(4b 2)0，4(ab) 2(4ab) 2，2| a b|4ab|.本例中 f(x)若变为“f(x )| x 1|x1| a”且 f(x)0 对 x
5、R 恒成立，求 a 的取值范围.解：由 f(x)0 知 a|x 1|x1| ，又|x 1|x1|( x1)(x1)|2，a2.故 a 的取值范围为(2，)类题通法证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a| |b| |ab| a|b| 进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明针对训练(2014乌鲁木齐高三诊断性测验) 设函数 f(x)| x1| x2|.(1)求证：f(x) 1；(2)若 f(x) 成立，求 x 的取值范围a2 2a2 1解：(1)证明：f (x)|x 1| |x2|(x 1) (x2)|1.(2
6、) 2，a2 2a2 1 a2 1 1a2 1 a2 1 1a2 1要使 f(x) 成立，需且只需 |x1| x2|2，a2 2a2 1即Error!或Error!或Error!解得 x 或 x ，12 52故 x 的取值范围是 .( ，12 52， )考点三 绝对值不等式的综合应用典例 (2013全国卷) 已知函数 f(x)|2x1| |2xa| ， g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)g( x)的解集；(2)设 a1，且当 x 时，f(x)g( x)，求 a 的取值范围 a2，12)解 (1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1| |2x2|x30.设函数 y|2x1| |2x 2|x3，则yError!其图象如图所示从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0. 所以原不等式的解集是x|0x 2 (2)当 x 时，f( x)1a. a2，12)不等式 f(x)g(x)化为 1ax3.所以 xa2 对 xeq blcrc)(avs4alco1( f(a,2)，f(1,2) 都成立
