高三理科数学培优专题——三角函数.doc

1、36o1x1y三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos 2xsin 2x。（2）角的配凑。 （ ） ， 2等。（3）升幂与降幂：主要用 2 倍角的余弦公式。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asin bcos 2basin( )，这里辅助角 所在象限由 a、 b 的符号确定， 角的值由tan ab确定。2.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、例题集锦：考点一

2、：三角函数的概念1.（2011 年东城区示范校考试 15）设 A是单位圆和 x轴正半轴的交点， QP、 是单位圆上的两点， O是坐标原点， 6AOP， ,0,Q（1）若 34(,)5，求 6cos的值； （2）设函数 fO，求 f的值域考点二：三角函数的图象和性质2.（2014 年课标 I，7）在函数 ， ， ， 中，最cos2yxcosyxcos(2)6yxtan24yx小正周期为 的所有函数为 （ ）A. B. C. D. 3.（2012 年课标全国，9）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ 0()sin)4fx(,)2）A. B. C. D.15,2413,2410,20,4

3、.（2011 年课标全国，11）设函数 的最小正周期为 ，且()sin)cos(),)2fxx，则（ ）()fxfA. 在 单调递减 B. 在 单调递减0,2()f3,4C. 在 单调递增 D. 在 单调递增()fx, fx,5将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数 的图象关于原点对称，sin22fx6gx则函数 在 的最小值为f0,A B C D121232326.（2011 年东城区期末 15）函数 部分图象如图所示 （）求()sin()0,|)2fxAx的最小正周期及解析式；（）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小()fx cos2gf(gx0,2值考点三、四、五：同角三角函数

4、的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数 （ ） ，相邻两条对称轴之间的距离等于 2()2sincosfxx0xR， 2（）求 的值； （）当 时，求函数 的最大值和最小值及相应的 x 值.4f0， )(f8.已知向量 向量(cos,in)ax(cos,in),(bxfxab（1）求函数 的最小正周期和对称轴方程；)2gf（2）若 是第一象限角且 ，求 的值.x3()()xfta()4x考点六：解三角形9 中，角 成等差数列是 成立的 （ ）ABC,sin(3cosin)cosCABA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件10已知函数 , 分别为 的内角 所对

5、的边，且 ，则下列不cosfxabB,C223abc4a等式一定成立的是 A B C DsinffsincosfAfsinsifAfBcos11.（2014 年课标 I，16）已知 分别为 三个内角 的对边， ，且,abcC,AB2a，则 面积的最大值为 . (2)sin)(sinbABAB12.（2014 年河南焦作联考）在 中，已知 ，若sincosinscosincosCBCA分别是角 所对的边，则 的最大值为 .,abc,ABC2abc13.（2015 河北秦皇岛一模，17，12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，满足ABC， ， ,abc22.bc（1）求角 的大小； （2）求 的最

6、大值，并求取得最大值时角 的大小.A243cosin()3 ,BC14 （2009 全国 II， 17，10 分） 设 的内角 的对边分别为 ， ，ABC， ， ,abc3os()cs2ACB-.求 的大小.2bacB14.（2015 课标 II，17，12 分） 中， 是 上的点， 平分 ， 的面积是 面积ABCDADBCADC的 2 倍. （1）求 ；（2）若 ，求 和 的长.sin21,15、 （2011 东城一模 15）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满足 ABCCabc2cosbBaA（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值A25aAB36o1xyY XAO QP

7、例题集锦答案：1.（2011 年东城区示范校考试理 15）如图，设 A是单位圆和 x轴正半轴的交点， QP、 是单位圆上的两点， O是坐标原点， 6P， ,0,OQ（1）若 34(,)5Q，求 cos的值；（2）设函数 f，求 f的值域单位圆中的三角函数定义解：（）由已知可得 54sin,3c2 分 6io6cos 3 分1043254 分（） fOPQ cos,incos,in66 分sin21co37 分sin8 分0,)4,)39 分3sin1212 分f的值域是 3,213 分2 （2011 年西城期末理 15）已知函数 .（）若点2()3sinifxx(1,3)P在角 的终边上，求

8、的值； （）若 ，求 的值域.()f ,6()f三角函数一般定义解：（）因为点 在角 的终边上， (1,3)P所以 ， ， 2 分sin2cos所以 4 分2 2()3iin3sicosinf . 5 分212()()（） 6 分2()3sinifxx3sinco1x， 8 分2()16因为 ，所以 ， 10 分,3x652x所以 ， 11 分1sin()2所以 的值域是 . 13 分()fx,3.（2011 年东城区期末理 15）函数 部分图象如图所示 （）求()sin()0,|)2fxAx的最小正周期及解析式；（）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小()fx cos2gf(gx0,2值解

9、：（）由图可得 ， ，1A236T所以 2 分T所以 2当 时， ，可得 ，6x()1fxsin(2)16因为 ，所以 5 分|2所以 的解析式为 6 分()fx()sin2)6fx（） coicosgf xin2cos2sinco266xx 10 分31sin2sxin(2)6x因为 ，所以 05当 ，即 时， 有最大值，最大值为 ；26x3x()gx1当 ，即 时， 有最小值，最小值为 13 分26x0x()gx12相邻平衡点（最值点）横坐标的差等； ； ;-代点法T|TmaxinyA4 （2010 年海淀期中文 16）已知函数 xf 2cos)62sin().（1）若 1)(f，求 co

10、sin的值；（2）求函数 )(xf的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1） 2s1sico6s2inx .3 分（只写对一个公式给 2 分）1i3 5 分由 )(f，可得 32sin 7 分所以 i1cosi 8 分 63 .9 分（2）当 Zkxk,22，换元法 11 即 x,4,时， )(xf单调递增.所以，函数 )(f的单调增区间是 Zkk,4, . 13 分5.（2011 年丰台区期末理 15）已知函数 2()2sincosfxx（ ） ，相邻两条对称轴之间的距离等于 （）求 的值；（）当0xR， ()4f时，求函数 的最大值和最小值及相应的 x 值2， )(xf解：

11、（） 意义 4 分()sin2cos12sin()14f 因为 ，所以 ， 6 分T所以 所以 7 分()si()4fxx()0f（） 2n1当 时， ， 无范围讨论扣分0,x3244x所以 当 ，即 时， ， 10 分28max()21f当 ，即 时， 13 分24x0xmin()2fx6、 （2011 朝阳二模理 15）已知函数 .2si()sin1x()xR（）求函数 的最小正周期及函数 的单调递增区间；()fx()fx（）若 ， ， 求 的值.023f0(, 40cos2解: 1 分2()sincosin1fxx2 分2. 和差角公式逆用 3 分si()4x（）函数 的最小正周期 .

12、5 分)f2T令 ， 6 分24kxk ()Z所以 . 即 .32 388kxk 所以，函数 的单调递增区间为 . 8 分()fx, ()Z（）解法一：由已知得 ， 9 分0002()sinco23xfx两边平方，得 同角关系式 所以 11 分01sin907sin9x因为 ，所以 .0(, )4x02(, )x所以 . 13 分2074cos21()9解法二：因为 ，所以 . 9 分0(, )x0(,)2x又因为 ，000()2sin()sin()443f得 . 10 分01sin43x所以 . 11 分20co()()3所以， 00000s2in()sin()2sin()cos()44xx

13、x. 诱导公式的运用124397、 （2011 东城二模理 15） （本小题共 13 分）已知 ， 72sin()410A(,)4A（）求 的值； （）求函数 的值域cosA5()co2isnfxx解：（）因为 ，且 ，427sin410A所以 ， 32co()角的变换因为 cos()4Ascosin()si44AA 所以 6 分2723105 3co5（）由（）可得 sinA所以 此结构转化为二次函数值域问题 ()co2isnfxx， 1sii213(i)xR因为 ，所以，当 时， 取最大值 ；sin,xsnxf当 时， 取最小值 i1()x3所以函数 的值域为 ()fx3,28 （2011

14、 年朝阳期末理 15）已知 中， .ABCsincosicosinBCB（）求角 的大小；（）设向量 ， ，求当 取最B(, 2)Am12(, )5m小值时， 值.)4tan(A解：（）因为 ， 和差角公式逆用2sicosincosinCB所以 . 3 分()()BA因为 ，所以 .所以 . 5 分0Apsi01cs2因为 ，所以 . 7 分3（）因为 ， 8 分12cos5Amn所以 . 10 分221234cos1(cos)55AAmn所以当 时， 取得最小值.3n此时 （ ） ，于是 . 同角关系或三角函数定义12 分4sin50p4ta3所以 . 13 分ta1ta()7A9 （201

15、1 年石景山期末理 15）已知函数 23cosinsi3)(2xxxf R（）求 的值；（）若 ，求 的最大值；（）在 中，若 ，)4(f 2,0f ABC，求 的值21)BfAfAC解：（） 4 分234cosin4si3)4(2f 1（） )c1xxfi1x 6 分2os3sin2)3in(， 0xx当 时，即 时， 的最大值为 8 分32125)(f1（） ，)sin()xf若 是三角形的内角，则 ， x03523x令 ，得 21)(f，此处两解5sin 233636xxx或解得 或 10 分4127由已知， 是 的内角， 且 ，BA,CBA21)(ff ， ， 11 分 6C20070

16、316又由正弦定理，得 13 分216sin4iCAB10、 （2011 东城一模理 15） （本小题共 13 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满足 Aabc2cosbBaA（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值25aABC解：（）因为 ，2cosbBA所以 ()由正弦定理，得 边化角(2sin)cosincosCAB整理得 icoAB所以 ssi()si在 中， 所以 ， BCn01co2A3（）由余弦定理 ， 22cosbaA5所以 均值定理在三角中的应用200bc所以 ，当且仅当 时取“=” 取等条件别忘cb所以三角形的面积 1sin532SA所以三角形面积的最

17、大值为 13 分11、(2011 丰台一模理 15). 在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 b2+c2-a2=bc（）求角 A 的大小；（）设函数 ，当 取最大值 时，判断 ABCcos2sin3)( xxf)(f3的形状解：（）在 ABC 中，因为 b2+c2-a2=bc，由 余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA= (余弦定理或公式必须有一个，否则扣 1 分) 3 分1 0A ， （或写成 A 是三角形内角） 4 分 5 分3（） 7 分2cos2sin)( xxf31sincos2x， 9 分1i)6 （没讨论，扣 1 分）10

18、 分3A2(0,)3B56B当 ，即 时， 有最大值是 11 分6()f23又 ， ABC 为等边三角形 13 分33C12、(2011 海淀一模理 15). （本小题共 13 分）在 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 ，已知 ， ，且 .C,abc1tan2Bta3C1c()求 ； ( )求 的 面 积 .tan解：（I）因为 ， , , 1 分12tan3ttt()1an代入得到， . 3 分2t()13BC因为 , 4 分 180A所以 . 角关系 5 分tant()tan()1B（II）因为 ，由（I）结论可得： . 7 分 35A因为 ，所 以 . 8 分1tata023C9

19、0CB所 以 . 9 分5sin,B1si由 得 ， 11 分siiacACa所 以 的 面 积 为 ： . 13 分B1sin2cB13、 （2011 石景山一模理 15） 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且 Aabc274sincos2ABC（）求角 的大小；C（）求 的最大值sinB解：（） 、 、 为三角形的内角， CBA ， 三角形中角的大小关系274sicos2A 2 分27cos42C 即 4 分)1(1 021coss2C 又 ， 7 分2cos03（）由（）得 角度变换 3BA )sin(sinABA10 分si2cos32ins )6i(3co2i ， 0A656A 当 ，即 时， 取得最大值为 13 分23Bsin3