1、1圆锥曲线习题 双曲线1. 如果双曲线 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离24yx是（ ）(A) (B) (C) (D)363662322. 已知双曲线 C 0,b0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的21(xya圆的半径是（A）a (B)b (C) (D)ab2ba3. 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）2196xyA B202106xyC D1xy 94. 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ）2 2430xy2430xy 555. 若双曲线 （ a0, b0）上横坐标为 的点到右焦点的距离
2、大于它到左准21xyab2a线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )6. 若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2 那么则双曲线的离心12byax率是（ ）（A）3 （B）5 （C） （D）357. 过双曲线21(0,)xyab的右顶点 A作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,若 2BC，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2A 2 B 3 C 5 D 108. 已知双曲线 )0(12byx的左、右焦点分别是 1F、 2，其一条渐近线方程为y，点 ),3(0P
3、在双曲线上.则 （ ）12PA. -12 B. -2 C. 0 D. 4二、填空题9. 过双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的2196xy直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_10. 已知双曲线21(0,)xyab的左、右焦点分别为 12(,0)(,c，若双曲线上存在一点 P使 12sinFc，则该双曲线的离心率的取值范围是 11. 过双曲线 的左焦点且垂直于 轴的直线与双曲线相交于2(0,)xyabx两点，以 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_,MN12. 已知点 在双曲线 上，并且 到这条双曲线的右准线的距离恰是 到双P2169x
4、yPP曲线两个焦点的距离的等差中项，那么 点的横坐标是_13. 已知 是双曲线 的两个焦点， 是过点 的弦，且 的倾斜角12,F2169xyQ1FQ为 ，那么 的值是_22|PQFP14. 已知 是 的两个顶点，内角 满足(,0)(,BCAB,ABC，则顶点 的轨迹方程是_1sinisin215. 过双曲线 的右焦点 F 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 PQ 两点，则4yx 015|FP|FQ|的值为 _.316. 已知 是双曲线 上除顶点外任意一点， 为左右焦点， 为半焦距，P21xyab12,FC内切圆与 切于点 ，则 的值为_12FA12M12|三、解答题17. 如图，在以点 为圆心，
5、为直径的半圆 中， ， 是半圆弧O|4ABADBOAP上一点， ，曲线 是满足 为定值的动点 的轨迹，且30PC|M曲线 过点 .C（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程；（）设过点 的直线 l 与曲线 相交于不同的两点 、DE.F若 的面积不小于 ，求直线 斜率的取值范围.OE2l18. 双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂Ox12l， F直于 的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与1l12l， AB， OAB、 、 B同向FA（）求双曲线的离心率；（）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程B419. 已知双曲线 的左、右焦点分别为
6、 ， ，过点 的动直线与双曲线相交2xy1F22于 两点AB，（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABO M（II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存xCC在，请说明理由20. 已知双曲线 C 的方程为21(0,)yxab，离心率 52e，顶点到渐近线的距离为 25。（1）求双曲线 C 的方程；（2）如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 1,23P，求 AOB面积的取值范围5双曲线习题解答题详细答案选择题：1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D7
7、. C 8. C 填空题：9. 10. 11. 23215(1,2)12. 13. 16 6414. 21(3)97xyx15. 8|FPQ16. 212|Mb17. 如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆O|4AB中， ， 是半圆弧上一点，ADBAP，曲线 是满足 为定值的动30POC|M点 的轨迹，且曲线 过点 .M（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程；C（）设过点 的直线 l 与曲线 相交于不同的两点 、 .DEF若 的面积不小于 ，求直线 斜率的取值范围.OEF2l解：（）以 O 为原点，AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0） ，B（2，
8、0） ，D(0,2),P（ ） ，依题意得1,3MA-MB=PA-PB AB4.2132)2( ）（ 曲线 C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.6设实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c2，2a2 ，a 2=2,b2=c2-a2=2.曲线 C 的方程为 .1yx解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB = PA -PBAB4.曲线 C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为 0，b0）.ayx(12则由 解得 a2=b2=2,432ba）（曲线 C 的方程为 .12yx()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，
9、代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K2） x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， 0)1(64)(0122kk 13kk（- ,-1）（-1，1）（1， ）.3设 E（x ，y） ，F( x2,y2)，则由式得 x1+x2= ,于是kxk16,42EF 111 )()(7 .1324)(1 221212 kxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d ，2kS DEF= .13213121 222 kkEFd 若OEF 面积不小于 2 ,即 SOEF ，则有 解 得 .2,0213242 kkk综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 - ，-1(1-,1) (
10、1, ).解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2 ，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， 2210(4)6(1)0kk 13k.k（- ，-1）（-1，1）（1， ）.3设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x 1-x2= .1324) 221kkx当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示） ，SOEF ;2221xODxODSEOD 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）.SODE =OD .)(12121综上得 SOEF 于是,221x8由OD2 及式，得 SOEF = .132
11、2k若OEF 面积不小于 2 则 有即 ,OEF.2,0132242 kkk解 得综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为- ，-1 （-1，1）（1， ）.218. （）设 ， ，OAmdBOmd由勾股定理可得： 22()()得： ， ，14dtanbF4tanta3ABAFO由倍角公式 ，解得 ,则离心率 2431ba1252e（）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立F()yxcb21xyab将 ， 代入，化简有2ab5c215804212114()4axxxb将数值代入，有 ,解得2235843b故所求的双曲线方程为 。21369xy19. 解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)F， 2(
12、)， 1()Axy， 2()Bxy，（I）解法一：（I）设 ，则 则 ， ，Mxy， F， 11()FAy，9，由 得1221()(0)FBxyFO， ， ， 11MFABO即126y， 214xy，于是 的中点坐标为 AB，当 不与 轴垂直时， ，即 x1248yyx1212()8yx又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得AB， 21y2xy，即 1212122()()xxy212()4()y将 代入上式，化简得 8y 6xy当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，所以点 的轨迹方程是 M(6)4y解法二：同解法一的（I）有 12x，当 不与 轴垂直时，设
13、直线 的方程是 ABxAB(2)1ykx代入 有 2y222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实根，所以 12x， 214kx 21212 24()kykx由得 24k21yk当 时， ，由得， ，将其代入 有0y4xky10整理得 224(4)()1xyxy2(6)4xy当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(0)，当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M，故点 的轨迹方程是 (6)4y（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数xCm， AB当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 AB(2)1ykx代入 有 2xy222(1)4()0kx则 是上述方程的两个实
14、根，所以 ， ，12， 214kx214kx于是 21212()()CABxmk221()(4kkxm2224)1k2 22 2()4(1)1mk因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = CAB 0m1CAB1当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， (2)， (2)，此时 (12)1， ，故在 轴上存在定点 ，使 为常数x0C，20.（）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 250axby的 距 离 为 ，所以 25ab所以 25bc11由 2251abcabc得所以曲线 C的方程是2y41x（）设直线 AB 的方程为 ,km由题意知 2,0k由 2,),yxmAk得 点 的 坐 标 为 （由 ,),2kmByx得 点 的 坐 标 为 （ 121, (,()2APkk得 点 的 坐 标 为 （ur将 P 点的坐标代入 2xy4得 4)设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m）AOBS= BOQS211()24()12ABxxxmkkgg
