1、2013 年 全国高 中数 学联合 竞赛一试 试题 一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共64 分 1. 设集合 2, 0, 1, 3 A ，集 合 2 | ,2 B x xA x A 则 集合 B 中所有元 素的和为 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 在抛物线 2 4 yx 上， 满足 4 OA OB ， F 是抛物线的焦点. 则 OFA OFB SS 3. 在 ABC 中，已知 sin 10sin sin , A BC cos 10cos cos , A BC 则 tan A 的值 为 4. 已知正三棱锥 P ABC 底面边长为 1，高 为 2 ，则 其内切球半径
2、为 5. 设 , ab 为实数， 函数 () f x ax b 满足： 对任意 0, 1 x ， 有 () 1 fx . 则 ab 的最大值为 6. 从1, 2, , 20 中 任取 5 个 不同的数，其中至少有两个是相邻数 的 概率 为 7. 若实数 , xy 满足 42 x y xy ，则 x 的 取值范围 是 8. 已知数列 n a 共有 9 项，其中 19 1 aa ，且 对每个 1, 2, , 8 i ， 均 有 1 1 2, 1, 2 i i a a ，则这样的数列的个数为 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分 解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 9. （本题满分 1
3、6 分）给定正 数数列 n x 满足 1 2 , 2, 3, nn S Sn = ， 这里 1 nn Sx x =+ 证明：存在常数 0 C ，使得 2 , 1, 2, n n xC n = 10. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆的方程为 22 22 1( 0) xy ab ab ， 1 A 、 2 A 分别为椭圆的左、 右顶点， 1 F 、 2 F 分别为椭圆的左、 右焦点， P 为椭圆上不同于 1 A 和 2 A 的任意一点若平面中两个点 Q 、 R 满足 11 QA PA ， 22 QA PA ， 11 RF PF ， 22 RF PF ， 试确定线段 QR
4、 的长度与 b 的大小 关系，并给出证明 11. （本题满分 20 分） 设函数 2 () f x ax b ，求所有的正实数对 (, ) ab ，使 得对任意实数 , xy ，有 ( ) ( ) () () fx y fx y fxfy 2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题 一 、 （本题 满分 40 分） 如图，AB 是圆 的一条弦，P 为弧 AB 内一点，E 、 F 为线段 AB 上两点， 满足 AE EF FB = = 连接 PE、PF 并延 长， 与圆 分别相 交于点 C 、D 求证： EF CD AC BD = （ 解题 时 请将 图画 在答卷 纸上 ） 二、 （ 本题 满分
5、40 分） 给定正整数 u，v数 列 n a 定义如下： 1 a uv = + ， 对整数 1 m ， 2 21 , . mm mm a au a av + = + = + 记 ( ) 12 1, 2, mm S a a am =+ = 证 明 ： 数列 n S 中有无穷多项是完全平方数 三、 （ 本题 满分50 分） 一次考试共有 m 道试题， n 个学生参加， 其中 ,2 mn 为给定的整数 每道题的得分规则是： 若该题恰有 x 个学生没有答对， 则每个答 对该题的学生得 x 分， 未答对的学生得零分 每个学生的总分为其 m 道题的得分 总和将 所有学生总分从高到低排列为 12 n pp p ，求 1 n pp 的最大可能值 四 、 （本题 满分 50 分） 设 , nk 为大于 1 的整数， 2 k n 证 明 ：存 在 2 k 个 不被 n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被 n 整除 P F E D C B A
