1、一、选择题(每小题 5分，共 30分)1对于每个自然数 n，抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1与 x轴交于 An， Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则| A1B1|+|A2B2|+| A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D) 19911992 19921993 19911993 19931992(A)是等腰三角形 ， 但不是直角三角形 ( B)是直角三角形 ， 但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 ( D)不是等腰三角形 ， 也不是直角三角形5设复数 z1， z2在复平面上对应的点分别为 A， B，且| z1|=4， 4z122z1z2+z22=
2、0， O为坐标原点，则 OAB的面积为( )(A)8 (B)4 (C)6 (D)12 来源:学科网3 3 3 36设 f(x)是定义在实数集 R上的函数，且满足下列关系 f(10+x)=f(10x)， f(20x)=f(20+x)，则 f(x)是(A)偶函数，又是周期函数 ( B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数 ( D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题 5分共 30分)1设 x， y， z是实数，3 x， 4y， 5z成等比数列，且 ， 成等差数列，则 + 的值是1x1y 1z xzzx_来源:学科网2在区间0 ， 中，三角方程 cos7x=cos5x的解的个数是_3
3、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k条，使得其中任 意两条线段所在的 直线都是异面直线，则 k的最大值是_4设 z1， z2都是复数，且| z1|=3， |z2|=5|z1+z2|=7，则 arg( )3的值是_z2z15设数列 a1， a2， ， an， 满足 a1=a2=1， a3=2，且对任何自然数 n， 都有anan+1an+21，又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则 a1+a2+ a100的值是_6函数 f(x)= 的最大值是_x4 3x2 6x+13 x4 x2+1三、(20 分)求证：161)2.用数学归纳法证明：fn(x)=yn C1n
4、1yn 2+( 1)iCin i yn 2i+( 1)n2 ， (i=1， 2， ， f(n,2)， n为 偶 数 )yn C1n 1yn 2+( 1)iCin i+( 1)n 12 Cn 12 n+12 y， (i=1， 2， ， f(n 1,2)， n为 奇 数 )KPQR lmlDEFABC2若 m为奇数，则 m+1为偶数，由归纳假设知，对于 n=m及 n=m1，有fm(x)=ym1 C ym2 +( 1)iC ym2 i+(1) C y 1m 2 im i m 12 m 12 m 12 fm1 (x)=ym1 C ym3 +(1) i1 C ym+12 i+(1) C 1m 2 i 1
5、m i m 12 m 12 m 12用 y乘减去，同上合并，并注意最后一项常数项为(1) C =(1) C =(1) m 12m 12m 12m 12m+12m+12m+12于是得到 yfm(x) fm1 (x)=ym+1 Cm1ym1 +(1) ，即仍有对于 n=m+1，命题m+12成立综上所述，知对于一切正整数 n，命题成立第二试一、(35 分) 设 A1A2A3A4为 O的内接四边形， H1、 H2、 H3、 H4依次为 A2A3A4、 A3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的垂心求证： H1、 H2、 H3、 H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 显然， A2A3A4、 A
6、3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的外心都是点 O，而它们的重心依次是( (cos +cos +cos )， (sin +sin +sin )、( (cos +cos +cos )，13 13 13(sin +sin +sin )、13( (cos +cos +cos )， (sin +sin +sin )、( (cos +cos +cos )，13 13 13(sin +sin +sin )13从而， A2A3A4、 A3A4A1、 A4A1A2、 A1A2A3的垂心依次是H1(cos +cos +cos ， sin +sin +sin )、 H2 (cos +cos +cos ，s
7、in +sin +sin )、H3 (cos +cos +cos ，sin +sin +sin )、 H4 (cos +cos +cos ，sin +sin +sin )来源:Zxxk.Com而 H1、 H2、 H3、 H4点与点 O1(cos +cos +cos +cos ，sin +sin +sin +sin )的距离都等于 1，即 H1、 H2、 H3、 H4四点在以 O1为圆心，1 为半径的圆上证毕二、(35 分)设集合 Sn=1,2, ,n若 X是 Sn的子集，把 X中所有数的和称为 X的“容量”(规定空集的容量为 0)，若 X的容量为奇(偶)数，则称 X为的奇(偶)子集1求证 Sn的奇子集与偶子集个数相等2求证：当 n3 时， Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和三、(35 分) 在平面直角坐标系中，任取 6个格点 Pi(xi， yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足： |xi|2，| yi|2( i=1，2，3，4，5，6)； 任何三点不在一条直线上试证明：在以 Pi(i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形的面积不大于 2
