1、第 1 讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的” 找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级第 1 讲 循环小数与分数1计算：7147826358【分析与解】原式=2317441832计算：【分析与
2、解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有 于是，我们想到改变运算519顺序，如果分子与分母在 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为5191；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为 19950.5具体过程如下：原式=591(3.2)1930.460()7596=9.()51904132= = =.()5.13计算： 1987【分析与解】原式= = =16198374计算：已知= ，则 x 等于多少?18+2x4【分析与解】方法一： 1118x64271+22
3、xx4交叉相乘有 88x+66=96x+56，x=125方法二：有 ，所以 ；所以 ，那么1382x41823x413x421.25x5求 这 10 个数的和944,3,.3个【分析与解】方法一：944+33个= 104(1)()(.)个= =1044个 1099)个= 10(10)()().(.)9个= .914.=43827159个方法二：先计算这 10 个数的个位数字和为 ；39+4=1再计算这 10 个数的十位数字和为 49=36，加上个位的进位的 3，为 ；639再计算这 10 个数的百位数字和为 48=32，加上十位的进位的 3，为 ； 25再计算这 10 个数的千位数字和为 47
4、=28，加上百位的进位的 3，为 ；81再计算这 10 个数的万位数字和为 46=24，加上千位的进位的 3，为 ；47再计算这 10 个数的十万位数字和为 45=20，加上万位的进位的 2，为 ；02再计算这 10 个数的百万位数字和为 44=16，加上十万位的进位的 2，为 ；168再计算这 10 个数的千万位数字和为 43=12，加上百万位的进位的 1，为 ；3再计算这 10 个数的亿位数字和为 42=8，加上千万位的进位的 1，为 ；9最后计算这 10 个数的十亿位数字和为 41=4，加上亿位上没有进位，即为 4所以，这 10 个数的和为 49382715916.如图 1-1，每一线段
5、的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中 6 条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这 6 条线段的长度之和为：1 73(0.6875)1+0.82.65=.14 407.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：352.9=2.93.5=3.5符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9请计算：215(0.6)(0.4)83A【分析与解】原式 150.627258431638规定（3）=234， （4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框内应填的数是多少?11(6)7()【分析与解】 = .
6、1(7)(6761815759从和式 中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于 1?11246802【分析与解】 因为 ，所以 , , , 的和为 l，因此应去掉 与 .416218010如图 1-2 排列在一个圆圈上 10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 1.892915929那么在所有这种数中。最大的一个是多少?【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有 92918较大，于是最大的为9.2185A11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”.【分析与解】 有 ， ， 14605161354
7、0评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?注意到 ，当 时，有 caabbcbca1abc当 a、b、c 两两互质时，显然满足题意显然当 a、b、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为 2，不妨设 a 为 2，那么有 ，显然 b、c 为一对孪生质数即可得出一般公式： ，c 与 c+2 均为质数即可.112(2)）12计算： 11(.()230） （ ）【分析与解】原式= ()(.=134567891234.0= .91= = .02113已知 .问 a 的整数部分是多少？16271368491570a=56【分析与解】16271368491570a=
8、56= ()()()4(81)56910（ ）= 1 062136759（ ）= .0 15+486因为 1 2134510+65（ ）所以 .a0316同时 2451057689 10213459（ ）所以 a .09综上有 a 所以 a 的整数部分为 101316514问 与 相比，哪个更大，为什么?13579.246810【分析与解】方法一：令 ， ，3579.246810A 246810.3579B有 .AB 而 B 中分数对应的都比 A 中的分数大，则它们的乘积也是 BA，有 AA4B ，所以有 AA ，那么 A 10（ ） 01 1010即 与 相比， 更大13579.2468方法
9、二：设 ，79.8A则 25610= ，13. 1490显然 、 、 、 、 都是小于 1 的，所以有 A2 ，于是 A .278 101015下面是两个 1989 位整数相乘： 问：乘积的各位数字之和是多少?198198个 个【分析与解】在算式中乘以 9，再除以 9，则结果不变因为 能被 9 整除，所以将一个198.个乘以 9，另一个除以 9，使原算式变成：198.个 1982345670.234567个 共 位 数= 19808. .9个 共 位 数（ ）= 190198. 0.234567共 位 数 个 共 位 数= 198 0234567234567765498321共 位 数 共 位
10、 数得到的结果中有 19809=220 个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为： 098320（ ） （ ）+ 2345677654179（ ） （ ）评注：1111111119=12345679；M 的数字和为 9k(其中 M )可以利用上面性质较快的获得结果k9.个 k9.个第 2 讲 计算综合（二）本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3；2从 1 开始连续 n 个自然数的平方和的计算公 a 式：2213216n
11、n3平方差公式：a 2-b2=(a+b)(a-b)1 已知 a= 试比较 a、b 的大小.11, ,22339910bAA【分析与解】 1, ,122339898abABA其中 A=99,B=99+ 因为 A98+ ，1.0119797,696,8897788ABAB所以有 a b1122,33449898ABA2.试求 的和？11234341205205AA【分析与解】 记 则题目所要求的等式可写为：1,34205xA而1,2x11.2xx所以原式的和为 1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求 1+2+3+4+4+100 的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项
12、+末项)项数2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是 101，并且有 100 组，所以两倍原式的和为 101100，那么原式的和为10l100 2=5050方法三：整数裂项(重点)，原式=(12+22+32+42+1002)2= 12(31)(42)(53)10(9)2A=( 410)2= 0=5050.3 试求 l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+991003
13、)3=123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3(1234123452345635674910980 A)3.方程二：利用平方差公式 12+22+32+42+n2= (1)2).6nn原式：1 2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99= 90906=328350+4950=3333005计算下列式子的值：0.10.3+0.2 0.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.8 10.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把
14、它们变成整数，然后再进行计算即先计算 13+2 4+35+4 6+97 99+98100。再除以 100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差 2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.2 0.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.8 10.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=( 9899100+ 9899)1001312=3234+48.51=3282.51
15、方法二：可以使用平方差公式进行计算0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=( 99100199-99)1006=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项12+23+34+(n-1)n= 123+233+343+(n-1)n313= 12
16、3+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)= 1231243245()()(1)3nn A=6.计算下列式子的值： 2222111124()( )3500AA【分析与解】 虽然很容易看出 可是再仔细一看，并没有什么效果，,345因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)，于是我们又有1622216.3(1)2nnA减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对一个”呢?222214()( )235010AA= 1 1635= ()421
17、4( )2462A= 1 12()(35601 A= 4()620A= 11623= ()= 017计算下列式子的值：2 2 22 2111111( )( )()2345980345980345980)()(6980AAAA【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然 12+1=2;22221()()4;1()6;333111()()8;444234所以原式=1980122=396024习题计算 1718+1819+1920+2930 的值提示：可有两种方法，整数裂项，利用 1 到 n 的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=
18、7358.第 3 讲 多位数的运算多位数的运算，涉及利用 10 k-1，提出公因数，递推等方法求解问题9k个一、 10 k-1 的运用9k个在多位数运算中，我们往往运用 10 k-1 来转化问题；9k个如： 590492043个我们把 转化为 3，个 2049个于是原式为 59049=（ 3）59049= 59049=（ -1）2043个 2049个 2049个 2041个19683=19683 -196831个而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；+1204968 个如： ，于是为 1913682067 个个个 19682037个简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数原式= 2332
19、043个 2083个= 23个 9个= （ -1）203198个 2081个= -个 9个 2039 个= ,于是为 .2039208920392032039203171817 个 个个 个 个个 个 203920378 个 个2计算 =AA，求 A1204个 210个【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有 ，从而找出突破口.1n个 = 204个 102个 102个 0个 102个= （ -1）个 个= （ ）102个 9102个= （ 33）=A 2个 个所以，A .3102个3计算 25 的乘积数字和是多少?6204个 6203个【分析与解】我们还是利用 = 来简便计算，但是不同于上式的
20、是不易得出凑成9k个 10k个，于是我们就创造条件使用：9k个 25= （ ） （ ）+1256204个 67203个 22049个 232049个= （ ） （ ）+1251204个 31204个= 2 -22（ ）+1253204个 204个= 4 -2 -22591408个 1204个= - 10948个 950249个=100 -500个 101个= (求差过程详见评注)48245 个 个= 10 20个 个所以原式的乘积为 12045 24个 个那么原式乘积的数字和为 12004+52004=12024评注：对于 的计算，我们再详细的说一说40812045 个 个408125 个 个
21、= 2503102045 个 个 个 个= 0412259 个 个 个 个= 203104 个 个 个= 04125 个 个4计算 的积?19821982 个 个【分析与解】 我们先还是同上例来凑成 ；k9个19821982 个 个 1982198 个个 198219802 个个 19841980 个个 198419841980 个 个 个 (求差过程详见评注)1974197536 个 个我们知道 能被 9 整除，商为：049382716个又知 1997 个 4，9 个数一组，共 221 组，还剩下 8 个 4，则这样数字和为 84=32,加上后面的3，则数字和为 35，于是再加上 2 个 5
22、，数字和为 45，可以被 9 整除能被 9 整除，商为 04938271595；85 个 4我们知道 能被 9 整除，商为：061728395；9个 5这样 9 个数一组，共 221 组，剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、6，数字和 36，可以被 9 整除能被 9 整除，商为 06172846个 5于是，最终的商为：204938716 210678395438710493827150617284 个 个评注：对于 - 计算，我们再详细的说一说19841 个 个 个-0 个 个 984个 +1-19741983 个 个 1个 +15 个 个 .197419
23、76 个 个 5二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等5.计算：（1998+19981998+199819981998+ ）198个（1999+19991999+199919991999 ）1999198个【分析与解】 1998198个 1980个原式1998（1+10001+100010001+ ）1999（1+10001+100010001+个） 19991998199919991998.1980个6试求 1993123999999 乘积的数字和为多少?【分析与解】 我们可以先求出 1993123 的乘积，再计算与(100
24、00001)的乘积，但是1993123 还是有点繁琐设 1993123=M，则(1000123)123000M(2000123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不是 0；令 M abcdef则 M999999M（1000000-1）1000000M-M -0fcef +119abcdeabdf +199f cef 1ce 那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9f+1)=96=54所以原式的计算结果的数字和为 54评注：M 的数字和为 9k(其中 M 的位数为 x，且 xk)k9个7试求 999999999999
25、999 乘积的数字和为多少?9256个 9512个 91024个【分析与解】 通过上题的计算，由 上题评注 ：设 999999999999999 M， 9256个 9512个 91024个于是 M 类似 的情况，于是，确定好 M 的位数即可；91024个注意到 999999999999999 M，9256个 9512个则 M10100100013100000000 0个 0个 01k个其中 k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023；即 M ，即 M 最多为 1023 位数，所以满足 的使用条件，那么 M 与 乘积0123个 91024个的数字和为 10249=102401024=
26、9216原式的乘积数字和为 9216三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法8我们定义完全平方数 A2=AA，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：123456765432149 是一个完全平方数，求它是谁的平方?【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：12111 2；12321111 2；12343211111 2于是，我们归纳为 1234n4321=（ ） 21n个所以，1234567654321：1111111 2；则，123456765432149=1111111 2
27、72=77777772所以，题中原式乘积为 7777777 的平方评注：以上归纳的公式 1234n4321（ ） 2，只有在 n10 时成立n个 19. =A2，求 A 为多少?20420389 个 个求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？【分析与解】 方法一：问题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有 可以看成 ，其中 n2004；20420389 个 个 489 n个 -1个寻找规律：当 n=1 时，有 49=72；当 n=2 时，有 4489=672；当 n=3 时，有 444889=6672； 于是，类推有 =204203
28、89 个 个 220367个方法二：下面给出严格计算：= + +1；2042038 个 个 4 20个 0个 2048个则 + +1 （4 +8）+1 个 4个 个 81个 0124个 4（ +1）+8+1120个 9204个 4（ ）+12+14个 1个（ ） 236+12 +10个 1204个（ ） 262+2（6 ）+14个 1个 1（ ） 267203个由知 ，于是数字和为(4n+8n 一 8+9)=12n+1=2005；489 n个 -1个 267n-1个于是，n=167，所以 = ，所以存在，并且为 .48 67个 个 6个 489 167个 个10计算 9 的乘积是多少?208个
29、 63208个【分析与解】采用递推的方法 693=162；66933=19602；6669333=1996002； 于是，猜想 9 =6n个 3n个 196n 个 0n-1个 29 =208个 6208个 3207个 207个评注：我们与题 l 对比，发现题 1 为 93 使用递推的方法就有障碍,8个 634个=10kl 这种方法适用面要广泛一点9k个练习 1设 N= 9 ，则 N 的各位数字之和为多少?620个 720个练习 2乘积 的积是多少?各位数字之和又是多少?91个 91个练习 3试求 的各位数字之和是多少?208个 208个第 4 讲 比例和百分数成本、利润、价格等基本经济术语，以
30、及它们之间的关系各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算1迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的 56，如果再生产 5040 台，总产量就超过计划产量的 16那么，原计划生产插秧机多少台?【分析与解】 : 5040(1+16-56)=8400(台)2圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 715 元问圆珠笔的单价是每支多少元?【分析与解】:设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为204+213=143，则单位“1”的价格为 71.5143：0.5 元所以
31、圆珠笔的单价是 O.54=2(元)3李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内已知东院养鸡 40 只；现在把西院养鸡总数的 卖14给商店， 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数1的 50.原来东、西两院一共养鸡多少只?【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡 只，那么西院养鸡 只x40x依题意： ,解出 .11404032x80即原来东、西两院一共养鸡 280 只方法二：50即 ，东、西两院剩下的鸡等于东院的 加上西院的 ，即 20+ 西院原养鸡数121212有东院剩下 40 只鸡，西院剩下原 的鸡15432所以有西院原养鸡(4020) =240 只，即
32、原来东、西两院一共养鸡 40+240=280 只4用一批纸装订一种练习本如果已装订 120 本，剩下的纸是这批纸的 40；如果装订了 185本，则还剩下 1350 张纸这批纸一共有多少张?【分析与解】 方法一：装订 120 本，剩下 40的纸，即用了 60的纸那么装订 185 本，需用 185(60120)=925的纸，即剩下 1-925=75的纸，为1350 张所以这批纸共有 135075=18000 张方法二：120 本对应(1-40=)60的总量，那么总量为 12060=200 本当装订了 185 本时，还剩下 200-185：15 本未装订，对应为 1350 张，所以每本需纸张：135
33、015=90 张，那么 200 本需 20090=18000 张即这批纸共有 18000 张5有男女同学 325 人，新学年男生增加 25 人，女生减少 5，总人数增加 16 人那么现有男同学多少人?【分析与解】男生增加 25 人，女生减少 5，而总人数增加了 16 人，说明女生减少了 25-16=9人，那么女生原来有 95=180 人，则男生有 325-180=145 人增加 25 人后为 145+25=170 人，所以现有男同学 170 人6有一堆糖果，其中奶糖占 45，再放人 16 块水果糖后，奶糖就只占 25那么，这堆糖果中有奶糖多少块? 【分析与解】方法一：原来奶糖占 ，后来占 ，因
34、此后来的糖果数是奶糖的 4 倍，4591025104也比原来糖果多 16 粒，从而原来的糖果是 16+( 1)=20 块.其中奶糖有 20 =9 块920方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是 45：(1-45)=9：11,设奶糖有 9 份，其他糖(包含水果糖)有 11 份现在奶糖与其他糖之比是 25：(1-25)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了 27-11=16 份，而其他糖也恰好增加了 16 块，所以，l 份即 1 块奶糖占 9 份，就是 9 块奶糖7甲乙两包糖的重量比是 4：l，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7：5那么两包糖重量的总
35、和是多少克?【分析与解】两包糖数量的总数是克.471321004658有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中自子都占 28小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占 32那么，共有棋子多少堆?【分析与解】 方法一：设有 堆棋子，每堆有棋子“1” 根据拿走黑子白子总数不变x列方程得 32，化简得 28 =32( - )，两边同除以 4，128x x12得 7 =8( - )，解得 =4x即共有棋子 4 堆方法二：注意到所有棋子中的白子个数前后不变，所以设白子数为“1” 那么有： 黑子变化了 ，对应为 堆；所以 对应 l 堆1872561258而开始共有棋子
36、 l+ ，所以共有 堆479幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生已知大班中男生数与女生数的比为 5：3，中班中男生数与女生数的比为 2：1，那么大班有女生多少名?【分析与解】设大班女生有 名，则中班女生有(18- )名根据男生数可列出xx方程： +(18- ) =32，解得 =12x53x21x所以大班有女生 12 名10某校四年级原有 2 个班，现在要重新编为 3 个班，将原一班的号与原二班的丢组成新一班，将原一班的与原二班的吉组成新二班，余下的 30 人组成新三班如果新一班的人数比新二班的人数多10，那么原一班有多少人?【分析与解】有新三班的为原一、二班总人数的 1- ，为 3
37、0 人7512所以原来两班总人数是：30 =72(人)则新一班与新二班人数总和是 72-30=42(人)现在再把新二班人数算作 1 份新一班人数=42 =22(人)，新二班人数=42-22=20(人)0(原一班人数)-(原二班人数)=(22-20) =212=24(人)134原一班人数=(72+24)2=48(人)11有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒数是第二包糖的；在第一包糖中，奶糖占 25，在第二包糖中，水果糖占 50；巧克力糖在第一包糖中所占23的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍当两包糖合在一起时，巧克力糖占 28，那么水果糖所占百分比等于多少?【分析与
38、解】表述 1：设第一包有 2 粒糖，则第二包有 3 粒糖，设第二包有 3 粒巧克力糖，aab则第一包有 4 粒巧克力糖 b28，所以 28=20432ba57ba于是第一包中，巧克力糖占 =40，水果糖占 1-40-25=3542在两包糖总粒数中，水果糖占 44350a表述 2：设第一包糖总数为“2” ，那么第二包糖总数为“3” ，并设第一包糖含有巧克力糖 2c，第二包糖含有巧克力糖 c那么有 22c+3c=28(2+3)，有 7c=140，所以 c=20，那么有如下所示的每种糖所占的百分数所以水果糖占总数的(352+503)(2+3)=4412某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一
39、等奖的人数相等：甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少?【分析与解】 表述 1：不妨设甲校有 60 人获奖，由、，乙校有 50 人获奖由知两校获二等奖的共有(60+50)20=22 人；由知甲校获二等奖的有 22(4.5+1)4.5=18 人；由知甲校获一等奖的有 60-6050-18=12 人，从而所求百分数等于 1250100=24表述 2：(这有一个
40、“5”)1.25100=24，即乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的 2413某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?【分析与解】表述 1：由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1知，四至九班的男生总数比七、八、九班总人数少 1因此，一至九班的男生总数是二、三、七、八、九共五个班的人数，则女生总数等于四个班的人数所以，男、女生之比是 5：4表述 2： 有“一、二、三班男生”加上“四、五、六、七、八、九班男生”即为一至九班全体男生数，恰
41、为“二、三班总人数”加上“四、五、六班总人数” ，即为五个班总人数，则女生总数等于四个班的人数所以，男、女生之比是 5：414某商品按原定价出售，每件利润为成本的 25；后来按原定价的 90出售，结果每天售出的件数比降价前增加了 15 倍问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?【分析与解】设这种商品的成本为“1” ，共卖出商品“1” ，则利润为 25，总利润为 025，定价为125那么按原定价的 90出售，即以 1.25 90=1.125 的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1.5 倍，利润为 0.125(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为 O.25，现在增加了 0.
42、3125 一O.25=0.0625，0.06250.25：25所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了 2515赢利百分数= 10卖 出 价 买 入 价买 入 价某电子产品去年按定价的 80出售，能获得 20的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的75出售，却能获得 25的赢利那么 是多少?今 年 买 入 价去 年 买 入 价【分析与解】 根据题中给出的公式知：赢利百分数买入价=卖出价一买入价则买入价(赢利百分数+1)=卖出价，那么买入价= 卖 出 价赢 利 百 分 数 +1 今 年 买 入 价去 年 买 入 价 今 年 卖 出 价 25去 年 卖 入 价 751280定 价定 价 9
43、0第 5 讲 比和比例两个数相除又叫做两个数的比一、比和比例的性质性质 1：若 a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质 2：若 a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质 3：若 a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x 为常数)性质 4：若 a: b=c：d，则 ad = bc；(即外项积等于内项积)正比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成正比；反比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成反比二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有速度= ，所以：路 程时
44、 间当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比1A 和 B 两个数的比是 8：5，每一数都减少 34 后，A 是 B 的 2 倍，试求这两个数【分析与解】方法一：设 A 为 8x，则 B 为 5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以 A 为 136，B 为 85方法二：因为减少的数相同，所以前后 A 、B 的差不变，开始时差占 3 份，后来差占 1 份且与 B一样多，也就是说减少的 34，占开始的 3-1=2 份，所以开始的 1 份为 342=17，所以 A 为178=136，B 为
