1、六年级奥数第六讲 不定方程1第六讲 不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。【例题精讲】例 1：求下列方程的整数解
2、（x0，y0） 。（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5 和 10 有公因数 5，而 14 没有公因数 5，所以原方程无整数解；y=29，11x2 能被 3 整除且 x9。31x模仿练习：（1）求满足方程 5x+3y=40 的自然数解。（2）设 A 和 B 都是自然数，且满足 + = ，求 A+B 的值。1A7B5例 2：某单位职工到郊外植树，其中 的职工各带了一个孩子参加，男职工每31人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵，每个孩子种 6 棵树，他们共种了 216 棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】设有女职工 x 人，男职工 y 人，那么有孩子 人，这个
3、条件说明3yx六年级奥数第六讲 不定方程23|x+y。模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍 12 间，能住 80 人。每间大宿舍能住 8人，每间中宿舍能住 7 人，每间小宿舍能住 5 人。问中、小宿舍共有多少间？例 3：有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400.A 除以 B 商 5 余 5；A 除以 C 商 6 余 6；A 除以 D 商 7 余 7，这四个自然数的和是多少？【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是 5,6,7 的公倍数。模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于 10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、
4、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是 13、15、23。问这三张牌的数字是多少？例 4：求解不定方程组 的正整数解。)2(3675319zyx【思路点拨】消元，使方程组变成一个不定方程。六年级奥数第六讲 不定方程3模仿练习：求下列不定方程组的自然数解： 28653zyx例 5：王虎用 100 元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共 100 包。油菜籽每包 3元，西红柿种子每包 4 元，胡萝卜籽 1 元钱 7 包，他每种各买了多少包？【思路点拨】设买油菜籽 x 包，西红柿种子 y 包， 则胡萝卜籽（100xy）包。 3x+4y+=100。7y10） （ 模仿练习：阳光小学在校园里新栽
5、了樟树、梨树和桃树，每种树的棵树都是质数。如果将三种树的总棵树加 4 后除以 10，则比樟树的 10 倍减去梨树的棵树后还少 4 棵。问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？【思路点拨】1：小明 2008 年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明 2008 年有多大？2：一次数学竞赛后用 31 只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖每人 6 只，二等奖每人 3 只，三等奖每人 2 只，则正好发完；如果一等奖每六年级奥数第六讲 不定方程4人 5 只，二等奖每人 4 只，三等奖每人 3 只，则差 6 支。那么获一、二、三等奖的学生各有多少人？3：ab21 是一个四位数，有四个阿拉
6、伯数字 a、b、1、2 组成的其他 23 个四位数的和等于 90669，求 a 和 b 的值。4：张老师用一张 1 万元支票为学校添置 A、B 两种物品，A、B 物品的单价分别为 590 元和 670 元。已知购买的 B 物品件数多于 A 物品件数，结果找回了几张100 元和几张 10 元（10 元的不超过 9 张） 。有趣的是，若把购买的 A 种物品和B 种物品的件数互换，则找回 100 元和 10 元的钞票张数也恰好互换。问购买的A、B 两种物品各有多少件？5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了 10 箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只狒狒多分 1 根，每只猴子比每只猩猩多分
7、 1 根。分完后，只剩 2 根香蕉。如果每箱香蕉数量相同，都是 40 多个，而且猴子比狒狒多 6 只，猩猩只有 16 只。那么，动物园里有多少只猴子？【课后作业】1：求不定方程 3x+4y=20 的自然数解。六年级奥数第六讲 不定方程52：若自然数 A、B 满足 + = ,那么 A+B 等于多少？134263：求不定方程组 的正整数解。263575zyx4：若干学生搬一堆砖。若每人搬 k 块，且 k 为质数，则剩下 20 块未搬走；若每人搬 9 块，则最后一个学生只搬了 5 块，那么这堆砖共有多少块？5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得 2529，王老师家的电话号码是多少？6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为 a ，b ，c 。已知326587a、b、c 都小于 10，a、b、c 依次为几？六年级奥数第六讲 不定方程6
