1、第四节空间直线及其方程第七章一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答定义空间直线可看成两平面的交线0:11111=+ DzCyBxA0:22222=+ DzCyBxA=+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA1. 空间直线的一般式方程一、主要内容(一) 空间直线的方程xyzo12L方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，则这个向量称为这条直线的 方向向量 srL),(0000zyxM0MM,LM ),( zyxMsMMr0/),( pnms =r),(0000zzyyxxMM =2. 空间直线的对称式方程xyzopzznyymxx000=直线的对称式方程:说
2、明: 某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .直线方程为例如 , 当 ,0,0 时= pnm=00yyxx直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦 .tpzznyymxx=000令)(000Rtptzzntyymtxx+=+=+=参数3. 空间直线的参数方程注化直线 L方程的一般式1 由 (1), 任意求出直线 L上的一点M0(x0, y0, z0)1(0022221111=+=+DzCyBxADzCyBxA为对称式的 步骤：(只要点 M0的坐标同时满足 (1)中的两个方程即可 )2 确定 L 的方向向量 .sr上和在平面21LQ),(),(22221111CBAnLCBAnL =
3、rrLs /rQ又21, nsnsrrrr则可取若 ,/21nnrr22211121CBACBAkjinnsrrrrrr=由此可确定方向数 m, n, p，从而写出 L的对称式 .定义直线:1L,111111pzznyymxx =直线:2L,222222pzznyymxx =22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL+=两直线的方向向量的夹角称之 .（锐角）两直线的夹角公式(二) 两直线的夹角两直线的位置关系21)1( LL ,0212121=+ ppnnmm21/)2( LL,212121ppnnmm=21ssrr21/ ssrr相交与21)3( LL
4、P),(222zyxN2sr1sr),(111zyxM0222111121212=pnmpnmzzyyxx212121)(/ssMNssMNssrrrrrr=，且21)4( LL 与异面2121)( ssMNssMNrrrr=0222111121212=/=pnmpnmzzyyxx),(222zyxN2sr1sr),(111zyxM定义,:000pzznyymxxL=,0: =+ DCzByAx),( pnms =r),( CBAn =r+=2),( nsrr=2),( nsrr(三) 直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角)20( 或Lnr222222|pnm
5、CBACpBnAm+=直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系L)1(.pCnBmA=/)2( L .0=+ CpBnAm),cos(sin nsrr=snsnrrrr=|nsrr/nsrr(四) 点到直线的距离LPMNdS面积Qds =rMPs=r 点P 到直线 L的距离为：sMPsdrr=sr(五) 平面束法设直线 L的方程为：)1(0022221111=+=+DzCyBxADzCyBxA则称 ：0)(111122221. 平面束：=+ DzCyBxADzCyBxA 为通过直线 L的平面束.)( R参数(2)0:11111=+ DzCyBxA设可以证明：的除去是通过直线 )(1 L所有平面
6、.用对称式方程及参数方程表示直线=+=+063201zyxzyx解在直线上任取一点),(000zyx取 10=x,08300000=+=+zyzy解得2,200= zy点坐标),2,2,1( 二、典型例题例1因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nnsrrr= ),3,1,4( =对称式方程 ,321241+= zyx参数方程.32241=+=tztytx312111=kjirrr再求直线的方向向量:一直线过点 )4,3,2( A ，且和 y轴垂直相 交，求其方程 . 因为直线和解y轴垂直相交 , ),0,3,0(所以交点为B取 BAs =r),4,0,2(=例2 yxzo所求直线方程.440
7、322 =+= zyxAB一般思路：作过 A 点且垂直于已知直线L1的平面 ，再求 与L1的交点，进而求得所求直线的方向向量 . 此处 : y = -3求过点 )5,2,3( 且与两平面 34 = zx 和 152 = zyx 的交线平行的直线方程 . 设所求直线的方向向量为),( pnm解s =r根据题意知,)4,0,1(1=nsrr)5,1,2(2=nsrr取21nnsrrr=),1,3,4( =例3L)5,2,3( Psr512401=kjirrr.153243 =+ zyx所求直线的方程例4的值，使试确定和：设有两直线,11:121121zyxLzyxL=+=+=.)2()1(所在平面
8、的方程两直线相交，并求它们两直线异面；解(1)依题设，有，1)1,1,1( LM ，2)0,1,1( LN =MN ),1,2,2( ,),2,1(1=sr)1,1,1(2=sr=MN),1,2,2( ,),2,1(1=sr)1,1,1(2=sr2121)( ssMNssMNrrrrQ = )2(112 11121122= 2111 + )1(11211)1(2)2()2( += 54 = 异面与而21LL021=/ssMNrr.45时，所给两直线异面当 .)2( 所在平面的方程两直线相交，并求它们不平行与21ssrrQ )0,1,1(NP)1,1,1( ML1,),2,1(1=sr)1,1,
9、1(2=srL2相交与21LL0)(2121=ssNMssNMrrrr11121122即054 = .45时，所给两直线相交当 = P)1,1,1( ML1)45,2,1(1=sr)1,1,1(2=srL201114521111=+ zyx即，有 ),( zyxQ.45时，两直线相交当 =0)(2121=ssQMssQMrrrr故所求平面方程为，0)1()1(41)1(43=+ zyx.0243 =+ zyx即),( zyxQ设直线 :L 21121 += zyx， 平面 : 32 =+ zyx ，求直线与平面的夹角 . ),2,1,1(解=nr),2,1,2( =sr222222|sinpn
10、mCBACpBnAm+=96|22)1()1(21|+=.637=637arcsin= 为所求夹角例5 例6 .07201)1,1,0( 的距离到直线求点=+=+zxyP解(方法 1) 公式法所给直线 L的方向向量：201010kjisrrrr=，)1,0,2( =，取点 LM )1,1,5(LPMNdsrLMP = )0,0,5(005102 =kjiMPsrrrr，)0,5,0( = 点 P 到所给直线 的距离为：，)0,5,0( = MPsr，)1,0,2( =srsMPsdrr=.5)1(02522=+=+=tzytxL 172的参数方程：直线(方法 2)LPMNdsr.07201)1
11、,1,0( 的距离到直线求点=+=+zxyPLttN + ),1,72(点要求： ,NPs r),1,0,72( ttNP =，)1,0,2( =sr0)1()1(0)72(2 =+ tt0= NPsr则有3=t),2,0,1(=NP.5= NPd从而例7.0134:01:),1,0,0(21交 线的平面方程且通过两平面求过点=+=+zyxzyxM解(方法 1)1/ 2：必相交成一直线与 L21=+=+013401zyxzyx21, MMQ又21 ，一定不是所求平面L通过直线所求平面 Q.中的平面束一定在过直线 L0)1()134(: =+ zyxzyx 0)1()3()1(4( =+ zyx）即,)1,0,0( 上在 MQ 的坐标代入上式，将点 M0)1(1)3( =+ 得2=解得0132 =+ zyx：所求平面(方法 2)12LnrsrP=+=+013401zyxzyx在得中令 ,0=y=+=+013401zxzx3,2 = zx解得.)3,0,2( LP 即得到点, PMnrQ 所求平面的法向量)4,0,2( =PMsnrr而)1,0,0(M
