1、第 1 页（共 29 页）2011 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1 （5 分）i 是虚数单位，复数 =（ ）A2 +i B2i C1+2i D 12i2 （5 分）设 x，yR ，则 “x2 且 y2”是“x 2+y24”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A3 B4 C5 D64 （5 分）已知a n为等差数列，其公差为 2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n为a n的前 n 项和，n N*，则 S10 的
2、值为（ ）A 110 B90 C90 D1105 （5 分）在 的二项展开式中，x 2 的系数为（ ）A B C D第 2 页（共 29 页）6 （5 分）如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且AB=AD，2AB= BD，BC=2BD，则 sinC 的值为（ ）A B C D7 （5 分）已知 ，则（ ）Aa b c Bbac Cacb Dcab8 （5 分）对实数 a 与 b，定义新运算 “”： 设函数 f（x）=（ x22）（xx 2） ，x R若函数 y=f（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A B CD二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分
3、，满分 30 分）9 （5 分）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则这个几何体的体积为 m3第 3 页（共 29 页）11 （5 分）已知抛物线 C 的参数方程为 （ t 为参数） ，若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x4） 2+y2=r2（r0）相切，则 r= 12 （5 分）如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DF=CF= ，AF：FB：BE=4：2：1若
4、CE 与圆相切，则 CE 的长为 13 （5 分）已知集合 A=xR|x+3|+|x4|9，B=，则集合 AB= 14 （5 分）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，AD=2 ，BC=1，P 是腰 DC 上的动点，则| +3 |的最小值为 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （13 分）已知函数 f（ x）=tan（2x+ ） ，（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）设 （0， ） ，若 f（ ）=2cos2，求 的大小第 4 页（共 29 页）16 （13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、
5、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（X ） 第 5 页（共 29 页）17 （13 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1=2 ，C 1H平面 AA1B1B，且 C1H= （1）求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值；（2）求二面角 AA1C1B1 的正弦值；（3）设 N 为棱 B1C1 的中
6、点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN平面 A1B1C1，求线段 BM 的长第 6 页（共 29 页）18 （13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b） （a b0）为动点，F1，F 2 分别为椭圆 的左、右焦点已知F 1PF2 为等腰三角形（）求椭圆的离心率 e；（）设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足，求点 M 的轨迹方程第 7 页（共 29 页）19 （14 分）已知 a0，函数 f（x ）=lnx ax2，x 0 （f （x）的图象连续不断）（）当 a= 时求 f（ x）的单调区间；证明：存在 x0（2，+） ，使 f（x
7、0）=f （ ） ；（）若存在均属于区间1，3的 ，且 1，使 f（）=f（） ，证明第 8 页（共 29 页）20 （14 分）已知数列a n与b n满足：，nN *，且 a1=2，a 2=4（）求 a3，a 4，a 5 的值；（）设 cn=a2n1+a2n+1，n N*，证明：c n是等比数列；（）设 Sk=a2+a4+a2k， kN*，证明： 第 9 页（共 29 页）2011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1 （5 分） （2011天津）i 是虚数单位，复数 =（ ）A2 +i B2i C1+2i D 12i【分
8、析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式【解答】解：复数 = = =2i故选 B2 （5 分） （2011天津）设 x，y R，则“x2 且 y2”是“x 2+y24”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由“x2 且 y2”推出“x 2+y24” 可证明充分性；由满足“x 2+y24” 可举出反例推翻“x2 且 y2”，则证明不必要性，综合可得答案【解答】解：若 x2 且 y2，则 x24，y 24，所以 x2+y28，即 x2+y24；若 x2+y24，则如（2
9、，2）满足条件，但不满足 x2 且 y2所以“x2 且 y2” 是“x 2+y24” 的充分而不必要条件故选 A3 （5 分） （2011天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）第 10 页（共 29 页）A3 B4 C5 D6【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到 i=1，a=2 ；经第二次循环得到 i=2，a=5 ；经第三次循环得到 i=3，a=16 ；经第四次循环得到 i=4，a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4故选 B4 （5 分） （2011天津）已知a n为等差数列，其公差为 2，且
10、a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n 为a n的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为（ ）A 110 B90 C90 D110【分析】通过 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为 2，求出【解答】解：a 7 是 a3 与 a9 的等比中项，公差为 2，所以 a72=a3a9，a n公差为 2，a 3=a74d=a7+8，a 9=a7+2d=a74，所以 a72=（a 7+8） （a 74） ，所以 a7=8，所以 a1=20，所以 S10= =110第 11 页（共 29 页）故选 D5 （5 分） （2011天津）在 的二项展开式中，x 2 的系数为（ ）A B C D【
11、分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2 的系数，即得答案【解答】解：展开式的通项为 Tr+1=（1） r22r6C6rx3r令 3r=2 得 r=1所以项展开式中，x 2 的系数为故选 C6 （5 分） （2011天津）如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且AB=AD，2AB= BD，BC=2BD，则 sinC 的值为（ ）A B C D【分析】根据题中条件，在ABD 中先由余弦定理求出 cosA，利用同角关系可求 sinA，利用正弦定理可求 sinBDC ，然后在BDC 中利用正弦定理求解 sinC即可【解答】解：设 AB=x，由题
12、意可得 AD=x，BD=ABD 中，由余弦定理可得sinA=ABD 中，由正弦定理可得 sinADB=第 12 页（共 29 页）BDC 中，由正弦定理可得故选：D7 （5 分） （2011天津）已知 ，则（ ）Aa b c Bbac Cacb Dcab【分析】比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小，log43.61，log 23.41，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到 1b，再借助于中间值 log2 进行比较大小，从而得到结果 ，【解答】解：log 23.41，log 43.61，又 y=5x 是增函数，a b ， = =b而 log23.4log 2
13、 log 3 ，a c故 ac b故选 C8 （5 分） （2011天津）对实数 a 与 b，定义新运算“”：第 13 页（共 29 页）设函数 f（x ）=（x 22）（xx 2） ，xR若函数 y=f（x ） c的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A B CD【分析】根据定义的运算法则化简函数 f（x ）=（x 22）（xx 2）的解析式，并求出 f（ x）的取值范围，函数 y=f（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为y=f（x） ，y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围【解答】解： ，函数 f（x ）=（x 22）（xx 2）= ，由图
14、可知，当 c函数 f（ x） 与 y=c 的图象有两个公共点，c 的取值范围是 ，故选 B第 14 页（共 29 页）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分） （2011天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为 12 【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果【解答】解：田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，这支田径队共有 48+36=84 人，用分层
15、抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，每个个体被抽到的概率是 ，田径队有男运动员 48 人，男运动员要抽取 48 =12 人，故答案为：1210 （5 分） （2011天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则这个几何体的体积为 6+ m 3【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体第 15 页（共 29 页）其中上部的圆锥的底面直径为 2，高为 3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则 V 圆锥 = 3=
16、V 长方体 =123=6则 V=6+故答案为：6+11 （5 分） （2011天津）已知抛物线 C 的参数方程为 （t 为参数） ，若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（x4） 2+y2=r2（r0）相切，则r= 【分析】由抛物线 C 的参数方程为 我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x4） 2+y2=r2（r0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案【解答】解：抛物线 C 的参数方程为则抛物线的标准方程为：y 2=8x则抛物线 C
17、的焦点的坐标为（2，0）又斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点则直线的方程为 y=x2，即经 xy2=0由直线与圆（x4） 2+y2=r2，则r= =故答案为：12 （5 分） （2011天津）如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB第 16 页（共 29 页）延长线上一点，且 DF=CF= ，AF：FB：BE=4：2：1若 CE 与圆相切，则 CE的长为 【分析】设出 AF=4k，BF=2k，BE=k，由 DFFC=AFBF 求出 k 的值，利用切割定理求出 CE【解答】解：设 AF=4k， BF=2k，BE=k，由 DFFC=AFBF，得 2=8k2，即 k=
18、，AF=2，BF=1，BE= ，AE= ，由切割定理得 CE2=BEEA= = ，CE= 13 （5 分） （2011天津）已知集合 A=xR|x+3|+|x4|9，B=，则集合 AB= x |2x 5 【分析】求出集合 A，求出集合 B，然后利用集合的运算法则求出 AB【解答】解：集合 A=xR|x+3|+|x4|9 ，所以 A=x|4x 5；集合 ，当且仅当 t= 时取等号，所以 B=x|x 2，所以 AB=x|4x5x|x 2=x|2x5，故答案为：x|2x514 （5 分） （2011天津）已知直角梯形 ABCD 中， ADBC，ADC=90，AD=2， BC=1，P 是腰 DC 上的
19、动点，则| +3 |的最小值为 5 第 17 页（共 29 页）【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B （1，a） ，C（0，a） ，D （0，0） ，设 P（0，b ）（0ba ） ，求出 ，根据向量模的计算公式，即可求得 ，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0 ） ，B（1，a ） ， C（0，a） ，D（0，0）设 P（ 0，b） （0ba）则 =（ 2，b） ， =（1，a b） ， =（ 5，3a4b） = 5故答案为
20、5三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （13 分） （2011天津）已知函数 f（x）=tan（ 2x+ ） ，（1）求 f（x）的定义域与最小正周期；（2）设 （0， ） ，若 f（ ）=2cos2，求 的大小【分析】 （）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（）通过 ，化简表达式，结合 （0， ） ，求出 的大小【解答】解：（）由 2x+ +k，k Z所以 x ，k Z所以第 18 页（共 29 页）f（x）的定义域为： f（x）的最小正周期为： （）由 得 tan（ ）=2cos2，整理得 因为 （0， ） ，所以 sin+cos0 因此（cos
21、 sin） 2=即 sin2= 因为 （0， ） ，所以 =16 （13 分） （2011天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（X ） 【分析】 （I） （ i）甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相
22、同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，事件数是 C52C32，摸出 3 个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果， （ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果 （II）连在 2 次游戏中获奖次数 X 的取值是 0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望【解答】解：（） （i）设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件Ai（i= ， 0，1，2，3） ，则第 19 页（共 29 页）P（A 3）= ，（ii）设“在一
23、次游戏中获奖 ”为事件 B，则 B=A2A 3，又P（A 2）= ，且 A2、A 3 互斥，所以 P（B）=P（A 2）+P（A 3）= ；（）由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2P（X=0）=（1 ） 2= ，P（X=1）=C 21 （1 ）= ，P（X=2）=（ ） 2= ，所以 X 的分布列是X 0 1 2pX 的数学期望 E（X）=0 17 （13 分） （2011天津）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，H 是正方形AA1B1B 的中心， AA1=2 ，C 1H平面 AA1B1B，且 C1H= （1）求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值；（2）求二面角 AA
24、1C1B1 的正弦值；（3）设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN平面 A1B1C1，求线段 BM 的长第 20 页（共 29 页）【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点 （）求出 中的有关向量，然后求出异面直线 AC与 A1B1 所成角的余弦值；（）利用 求出平面 AA1C1 的法向量 ，通过 求出平面A1B1C1 的法向量 ，然后利用 求二面角 AA1C1B1 的正弦值；（）设 N 为棱 B1C1 的中点，设 M（a，b，0） ，利用 MN平面 A1B1C1，结合求出 a，b，然后求线段 BM 的长方法二：（I）说明 C 1A1
25、B1 是异面直线 AC 与 A1B1 所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理， 求出异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 （II）连接 AC1，过点 A 作 ARA 1C1 于点 R，连接 B1R，说明ARB 1 为二面角AA1C1B1 的平面角连接 AB1，在ARB 1 中，通过，求出二面角 AA1C1B1 的正弦值为 （III）首先说明 MNA 1B1取 HB1 中点 D，连接 ND，由于 N 是棱 B1C1 中点，推出 NDA 1B1证明 A1B1平面 MND，连接 MD 并延长交 A1B1 于点 E，延长EM 交 AB 于点 F，连接 NE连接 BM，在 RtBFM
26、 中，求出 【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点依题意得第 21 页（共 29 页）（I）解：易得 ，于是 ，所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 （II）解：易知 设平面 AA1C1 的法向量 =（x，y，z ） ，则 即不妨令 ，可得 ，同样地，设平面 A1B1C1 的法向量 =（x，y，z ） ，则 即 不妨令 ，可得 于是 ，从而 所以二面角 AA1C1B 的正弦值为 （III）解：由 N 为棱 B1C1 的中点，得 设 M（a，b ，0） ，则第 22 页（共 29 页）由 MN平面 A1B1C1，得即解得 故 因此 ，所以线段 BM 的长为
27、 方法二：（I）解：由于 ACA 1C1，故 C 1A1B1 是异面直线 AC 与 A1B1 所成的角因为 C1H平面 AA1B1B，又 H 为正方形 AA1B1B 的中心， ，可得 A1C1=B1C1=3因此 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 （II）解：连接 AC1，易知 AC1=B1C1，又由于 AA1=B1A1，A 1C1=A1C1，所以AC 1A1B 1C1A1，过点 A 作 ARA 1C1 于点 R，连接 B1R，于是 B1RA 1C1，故ARB 1 为二面角 AA1C1B1 的平面角在 RtA 1RB1 中， 连接 AB1，在ARB 1 中，第 23 页（共 2
28、9 页）= ，从而 所以二面角 AA1C1B1 的正弦值为 （III）解：因为 MN平面 A1B1C1，所以 MNA 1B1取 HB1 中点 D，连接 ND，由于 N 是棱 B1C1 中点，所以 NDC 1H 且 又 C1H平面 AA1B1B，所以 ND平面 AA1B1B，故 NDA 1B1又 MNND=N，所以 A1B1平面 MND，连接 MD 并延长交 A1B1 于点 E，则 MEA 1B1，故 MEAA 1由 ，得 ，延长 EM 交 AB 于点 F，可得 连接 NE在 RtENM 中，NDME，故 ND2=DEDM所以 可得 连接 BM，在 RtBFM 中， 18 （13 分） （201
29、1天津）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b ）（a b 0 ）为动点， F1， F2 分别为椭圆 的左、右焦点已知F 1PF2为等腰三角形（）求椭圆的离心率 e；（）设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足第 24 页（共 29 页），求点 M 的轨迹方程【分析】 （）直接利用F 1PF2 为等腰三角形得|PF 2|=|F1F2|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e；（）先把直线方程与椭圆方程联立，求得 A，B 两点的坐标，代入，即可求点 M 的轨迹方程【解答】解：（）设 F1（c，0） ，F 2（c，0） （c 0） 由题得|PF 2|=|F1
30、F2|，即 =2c，整理得 2 + 1=0，得 =1（舍），或 = ，所以 e= （）由（）知 a=2c，b= c，可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2，直线方程为y= （xc） A，B 的坐标满足方程组 ，消 y 并整理得 5x28xc=0，解得 x=0，x= ，得方程组的解为 ， ，不妨设 A（ c， c） ，B（0， c） 设点 M 的坐标为（ x，y） ，则 =（x c，y c） ， =（x，y+ c）由 y= （xc）得 c=x y ，由 =2 即（x c）x+（y c） （y+ c）=2第 25 页（共 29 页）将代入化简得 18x216 xy15=0，y= 代入化简得c=
31、0所以 x0，因此点 M 的轨迹方程为 18x216 xy15=0 （x 0） 19 （14 分） （2011天津）已知 a0，函数 f（x） =lnxax2，x 0 （f （x）的图象连续不断）（）当 a= 时求 f（ x）的单调区间；证明：存在 x0（2，+） ，使 f（x 0）=f （ ） ；（）若存在均属于区间1，3的 ，且 1，使 f（）=f（） ，证明【分析】 （I）将 a= 代入可得函数的解析式，求导数 f（x） ；在函数的定义域内解不等式 f（x ）0 和 f（x）0 确定的单调区间由（I）知 f（x ）在（0，2）内单调递增，在（2，+）内单调递减令g（ x）=f（x）f（
32、） 利用函数 f（x）在（0，2）内单调递增，得到 f（2）f（ ） ，即 g（2）0最后取 x= e2，则 g（x ）= 0从而得到结论；（II）先由 f（）=f（）及（I）的结论知 ，从而 f（x）在 ，上的最小值为 f（a） 再依 1 23 建立关于 a 的不等关系即可证得结论【解答】解：（I）当 a= 时，f（x ）=lnx x2f（x）= x= ，x （0，+） ，第 26 页（共 29 页）令 f（x）=0，解得 x=2当 x 变化时，f （x） ，f （x ）的变化情况如下表：所以，f（x ）的单调递增区间是（ 0，2） ，f（x）的单调递减区间是（2，+） 证明：由（I）知 f
33、（x ）在（0，2）内单调递增，在（ 2，+）内单调递减令 g（ x）=f（x）f（ ） 由于 f（ x）在（0，2）内单调递增，故 f（2）f（ ） ，即 g（2）0取 x= e2，则 g（x）= 0所以存在 x0（2，x） ，使 g（x 0）=0 ，即存在 x0（2，+） ，使 f（x0）=f（ ） （II）证明：由 f（）=f（）及（I）的结论知 ，从而 f（ x）在，上的最小值为 f（a） 又由 1， 1， 3，知 123故即从而 a 20 （14 分） （2011天津）已知数列a n与b n满足：第 27 页（共 29 页），nN *，且 a1=2，a 2=4（）求 a3，a 4，a
34、 5 的值；（）设 cn=a2n1+a2n+1，n N*，证明：c n是等比数列；（）设 Sk=a2+a4+a2k， kN*，证明： 【分析】 （）要求 a3，a 4，a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可（）化简出 a2n1+a2n+1，a 2n+1+a2n+3 的关系，即：c n+1 与 cn 的关系，从而证明cn是等比数列；就是利用（ ）的 ，用 2n1，2n，2n+1，替换 中的 n，化简出只含“a n”的关系式，就是 a2n1+a2n+2a2n+1=0，2a 2n+a2n+1+a2n+2=0，a 2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，然后推出 a2n+1+a2n+3=
35、（a 2n1+a2n+1） ，得到 cn+1=cn（n N*） ，从而证明c n是等比数列；（）先研究通项公式 a2k，推出 Sk 的表达式，然后计算 ，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a2k1+a2k+1=（1） k，对任意 kN*且 k2，列出 n 个表达式，利用累加法求出a2k=（1） k+1（ k+3） 化简 S2k=（a 2+a4）+（a 6+a8）+（a 4k2+a4k）= k，k N*，通过裂项法以及放缩法证明：【解答】20、满分 14 分（I）解：由 ，第 28 页（共 29 页）可得又 bnan+an+1+bn+1an+2=0，（I
36、I）证明：对任意 nN*，a 2n1+a2n+2a2n+1=0，2a2n+a2n+1+a2n+2=0，a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，得 a2n=a2n+3将代入，可得 a2n+1+a2n+3=（a 2n1+a2n+1）即 cn+1=cn（nN *）又 c1=a1+a3=1，故 cn0，因此 是等比数列（III）证明：由（II）可得 a2k1+a2k+1=（1） k，于是，对任意 kN*且 k2，有将以上各式相加，得 a1+（ 1） ka2k1=（k1） ，即 a2k1=（ 1） k+1（k+1） ，此式当 k=1 时也成立由式得 a2k=（ 1） k+1（k+3） 从而 S2k=（a 2+a4）+（a 6+a8）+（a 4k2+a4k）= k，S 2k1=S2ka4k=k+3第 29 页（共 29 页）所以，对任意 nN*，n2， = =对于 n=1，不等式显然成立
