2015年天津市高考数学试卷(理科).doc

1、第 1 页（共 22 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015 天津）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6 D2，3，5，6，82 （5 分） （2015 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3 B4 C18 D403 （5 分） （2015 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6 C14 D184

2、（5 分） （2015 天津）设 xR，则“|x2|1”是“x 2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分） （2015 天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）第 2 页（共 22 页）A B3 C D6 （5 分） （2015 天津）已知双曲线 =1 （a 0，b0）的一条渐近线过点（2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =17 （5

3、 分） （2015 天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f （2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Ba cb Cc ab Dcba8 （5 分） （2015 天津）已知函数 f（x）= ，函数 g（x）=bf（2x） ，其中 bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， ） C （0， ） D （ ，2）二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 天津）i 是虚数单位，若复数（12i ）

4、 （a +i）是纯虚数，则实数 a 的值为 10 （5 分） （2015 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m311 （5 分） （2015 天津）曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 12 （5 分） （2015 天津）在（x ） 6 的展开式中，x 2 的系数为 第 3 页（共 22 页）13 （5 分） （2015 天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC 的面积为 3 ，b c=2，cosA= ，则 a 的值为 14 （5 分） （2015 天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知ABDC，AB=2，BC=

5、1，ABC=60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且= ， = ，则 的最小值为 三.解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （13 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=sin 2xsin2（x ） ，xR （）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间 ， 内的最大值和最小值16 （13 分） （2015 天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中

6、恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分） （2015 天津）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面ABCD，AB AC，AB=1 ，AC=AA 1=2，AD=CD= ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1 的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段A1E 的长18 （13 分） （2015 天津）已知

7、数列a n满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a 1=1，a 2=2，且 a2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列（1）求 q 的值和a n的通项公式；（2）设 bn= ，nN *，求数列b n的前 n 项和第 4 页（共 22 页）19 （14 分） （2015 天津）已知椭圆 + =1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为c，|FM|= （）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的

8、取值范围20 （14 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=nxx n，x R，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（x） ，求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若关于 x 的方程 f（x） =a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x 2，求证：|x 2x1|+2第 5 页（共 22 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015 天津）已知全集 U=1，2，3，

9、4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6 D2，3，5，6，8【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7， UB=2，5，8，则 AUB=2， 5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 （5 分） （2015 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3 B4 C18 D40【分析

10、】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+6y 得 y= x+ z，平移直线 y= x+ z，由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=36=18即 z=x+6y 的最大值为 18故选：C第 6 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 （5 分） （2015

11、 天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6 C14 D18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i=8 时满足条件i5，退出循环，输出 S 的值为 6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件 i5，i=4，S=14不满足条件 i5，i=8，S=6满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S 的值是解题的关键，属于基础题第 7 页（共 22 页）4 （5 分） （2015 天津）设 xR，则“|x2|1”是“x

12、2+x20” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x 2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x 2，即“| x2|1”是“x 2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5 （5 分） （2015 天津）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）A B3 C D【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相

13、交弦定理求 NE 即可【解答】解：由相交弦定理可得 CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CNNE=ANNB，3NE=42，NE= 故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础6 （5 分） （2015 天津）已知双曲线 =1 （a 0，b0）的一条渐近线过点（2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1第 8 页（共 22 页）C =1 D =1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程

14、，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， = ，抛物线 y2=4 x 的准线方程为 x= ，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，c= ，a 2+b2=c2=7，a=2，b= ，双曲线的方程为 故选：D【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7 （5 分） （2015 天津）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2 |xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log 0.53） ，b=f（log 25） ，c=f （2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Ba cb Cc ab Dcba【分析】根据 f（

15、x）为偶函数便可求出 m=0，从而 f（x）=2 |x|1，这样便知道 f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间 0，+）上：a=f（|log 0.53|） ，b=f（log 25） ，c=f （0） ，然后再比较自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（ x）=f（x） ；2 |xm|1=2|xm|1；|x m|=|xm|；（x m） 2=（xm） 2；mx=0；m=0；f（x）=2 |x|1；第 9 页（共 22 页）f（x）在0，+）上单调递增，并且 a=f（|log 0.53|）=

16、f（log 23） ，b=f（log 25） ，c=f（0） ；0log 23log 25；cab故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8 （5 分） （2015 天津）已知函数 f（x）= ，函数 g（x）=bf（2x） ，其中 bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （ ， ） C （0， ） D （ ，2）【分析】求出函数 y=f（x）g（x）的表达式，构造函数 h（

17、x）=f（x）+f（2x） ，作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=b f（2x） ，y=f（x）g（ x）=f （x）b +f（2x） ，由 f（x） b+f（2x）=0 ，得 f（x）+f（2x）=b，设 h（x）=f（x）+f（2x） ，若 x0，则x 0，2 x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x 2，若 0x2，则2 x0，0 2x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2 x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2） 2+2|2x|=x25x+8即 h（x）= ，作出函数 h（

18、x）的图象如图：第 10 页（共 22 页）当 x0 时，h（x）=2+x+x 2=（x+ ） 2+ ，当 x2 时，h（x）=x 25x+8=（x ） 2+ ，故当 b= 时，h（x）=b ，有两个交点，当 b=2 时，h（x）=b ，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）=b 恰有 4 个根，则满足 b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二.填空题（每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分） （2015 天津）i 是虚数单位，若复数（12i ） （a +i）是纯虚数，则实数

19、a 的值为 2 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解：由（12i） （a+i ）= （a +2）+（12a）i 为纯虚数，得 ，解得：a=2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题10 （5 分） （2015 天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m 3第 11 页（共 22 页）【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底

20、面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1；该几何体的体积为V 几何体 =2 121+122= 故答案为： 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11 （5 分） （2015 天津）曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0直线 y=x 与曲线 y=x2 所围图形的面积 S=01（x x2）dx而 01（xx 2）dx=（ ）|

21、01= =曲边梯形的面积是 故答案为： 第 12 页（共 22 页）【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数12 （5 分） （2015 天津）在（x ） 6 的展开式中，x 2 的系数为 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2 的系数【解答】解：（x ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= （x） 6r（ ） r=（ ）r x62r，令 62r=2，解得 r=2，展开式中 x2 的系数为 = ，故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开

22、式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题13 （5 分） （2015 天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC 的面积为 3 ，b c=2，cosA= ，则 a 的值为 8 【分析】由 cosA= ，A（0，） ，可得 sinA= 利用 SABC= =，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b，c 由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA 即可得出【解答】解：A（0，） ，sinA= = S ABC= = bc= ，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4第 13 页（共 22 页）由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA=3

23、6+1648 =64解得 a=8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （5 分） （2015 天津）在等腰梯形 ABCD 中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且= ， = ，则 的最小值为 【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意，得到 AD=BC=CD=1，所以 =（ ）（ ）=（）（ ）= =21cos60+11cos60+ 21+11cos120=1+ + + = （

24、当且仅当 时等号成立） ；故答案为： 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三.解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （13 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=sin 2xsin2（x ） ，xR （）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间 ， 内的最大值和最小值【分析】 （）由三角函数公式化简可得 f（x）= sin（2x ） ，由周期公式可得；（）由 x ， 结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值【解答】解：（）化简可得 f（x）=sin 2xsin2（x ）= （1 c

25、os2x） 1cos（2x ）= （1 cos2x1+ cos2x+ sin2x）第 14 页（共 22 页）= （ cos2x+ sin2x）= sin（2x ）f（x）的最小正周期 T= =；（）x ， ，2x ， ，sin（2x ） 1， ， sin（2x ） ， ，f（x）在区间 ， 内的最大值和最小值分别为 ，【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题16 （13 分） （2015 天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3

26、名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （）利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有 P（A）= ，事件 A 发生的概率为 ；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4P（X=k）= （

27、k=1，2，3，4） 随机变量 X 的分布列为：X1234P随机变量 X 的数学期望 E（X）= 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题第 15 页（共 22 页）17 （13 分） （2015 天津）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面ABCD，AB AC，AB=1 ，AC=AA 1=2，AD=CD= ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1 的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1 上的点，若

28、直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段A1E 的长【分析】 （）以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系，通过平面 ABCD 的一个法向量与 的数量积为 0，即得结论；（）通过计算平面 ACD1 的法向量与平面 ACB1 的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（）通过设 = ，利用平面 ABCD 的一个法向量与 的夹角的余弦值为 ，计算即可【解答】 （）证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 1 所在直线分别为x、y、z 轴建系，则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（2，0，0） ，D（1，2，0） ，A1（

29、0，0，2） ，B 1（0，1，2） ，C 1（2，0，2） ，D 1（1，2，2） ，又M、N 分别为 B1C、D 1D 的中点，M（1， ，1） ，N（1，2，1） 由题可知： =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量， =（0， ，0） ， =0，MN平面 ABCD，MN平面 ABCD；（）解：由（I）可知： =（1， 2，2） ， =（2，0，0） ， =（0，1，2） ，设 =（x，y，z）是平面 ACD1 的法向量，由 ，得 ，第 16 页（共 22 页）取 z=1，得 =（0，1，1） ，设 =（x，y，z）是平面 ACB1 的法向量，由 ，得 ，取 z=1，得 =（0，

30、2，1） ，cos ， = = ，sin ， = = ，二面角 D1ACB1 的正弦值为 ；（）解：由题意可设 = ，其中 0，1，E=（0，2） ， =（ 1，+2，1） ，又 =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，cos ， = = = ，整理，得 2+43=0，解得 = 2 或 2 （舍） ，线段 A1E 的长为 2【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题18 （13 分） （2015 天津）已知数列a n满足 an+2=qan（q 为实

31、数，且 q1） ，nN*，a 1=1，a 2=2，且 a2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列（1）求 q 的值和a n的通项公式；第 17 页（共 22 页）（2）设 bn= ，nN *，求数列b n的前 n 项和【分析】 （1）通过 an+2=qan、a 1、a 2，可得 a3、a 5、a 4，利用 a2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知 bn= ，n N*，写出数列b n的前 n 项和 Tn、2T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）a n+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN *，a 1=

32、1，a 2=2，a 3=q，a 5=q2，a 4=2q，又a 2+a3，a 3+a4，a 4+a5 成等差数列，23q=2+3q+q 2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍） ，a n= ；（2）由（1）知 bn= = = ，n N*，记数列b n的前 n 项和为 Tn，则 Tn=1+2 +3 +4 +（n1） +n ，2T n=2+2+3 +4 +5 +（n1） +n ，两式相减，得 Tn=3+ + + + n=3+ n=3+1 n=4 【点评】本题考查求数列的通项与前 n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题第 18 页（

33、共 22 页）19 （14 分） （2015 天津）已知椭圆 + =1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为c，|FM|= （）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围【分析】 （）通过离心率为 ，计算可得 a2=3c2、b 2=2c2，设直线 FM 的方程为y=k（x+c） ，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线 FM 的方程，可得 M（c， c） ，利用|FM|= 计算即可；（）

34、设动点 P 的坐标为（x，y） ，分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分x（ ， 1）与 x（1，0）两种情况讨论即可结论【解答】解：（）离心率为 ， = = ，2a 2=3b2，a 2=3c2，b 2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k0） ，则直线 FM 的方程为 y=k（x+c） ，直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c，圆心（0，0）到直线 FM 的距离 d= ，d 2+ = ，即（ ） 2+ = ，解得 k= ，即直线 FM 的斜率为 ；（）由（I）得椭圆方程为： + =1，直线 FM 的方程为 y= （x+c） ，联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2

35、cx5c2=0，解得 x= c，或 x=c，点 M 在第一象限，M（c， c） ，|FM |= ， = ，第 19 页（共 22 页）解得 c=1，a 2=3c2=3，b 2=2c2=2，即椭圆的方程为 + =1；（）设动点 P 的坐标为（x，y） ，直线 FP 的斜率为 t，F（1，0） ，t= ，即 y=t（x+1） （x1） ，联立方程组 ，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（x+1） 2=6，又直线 FP 的斜率大于 ， ，62x 2 6（x+1） 2，整理得：x（2x+3）0 且 x1，解得 x 1，或1x0，设直线 OP 的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx（x0） ，联立方程

36、组 ，消去 y 并整理，得 m2= 当 x（ ， 1）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m= ，m（ ， ） ；当 x（1， 0）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m= ，m（， ） ；综上所述，直线 OP 的斜率的取值范围是：（， ） （ ， ） 【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题20 （14 分） （2015 天津）已知函数 f（x）=nxx n，x R，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；第 2

37、0 页（共 22 页）（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g（x） ，求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若关于 x 的方程 f（x） =a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x 2，求证：|x 2x1|+2【分析】 （）由 f（x）=nx xn，可得 f（x） ，分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性（）设点 P 的坐标为（x 0，0） ，则可求 x0=n ，f（x 0）=n n2，可求 g（x）=f（x 0）（xx 0） ，F （x）=f（x）f（x 0） 由 f（x）=nx n1+n 在（0，+）上

38、单调递减，可求F（x）在（0，x 0）内单调递增，在（x 0，+）上单调递减，即可得证（）设 x1x 2，设方程 g（x）=a 的根为 ，由（）可得 x2 设曲线 y=f（x）在原点处的切线方程为 y=h（x） ，可得 h（x）=nx，设方程 h（x）=a 的根为 ，可得x 1，从而可得：x 2x1 = ，由 n2，即 2n1=（1+1）n1 1+ =1+n1=n，推得：2 =x0，即可得证【解答】 （本题满分为 14 分）解：（）由 f（x）=nx xn，可得 f（x）=n nxn1=n（1x n1） ，其中 nN，且 n2下面分两种情况讨论：（1）当 n 为奇数时，令 f（x）=0，解得

39、x=1，或 x=1，当 x 变化时，f （x） ，f（x）的变化情况如下表：x （ ，1） （1， 1） （1，+）f（x） + f（x）所以，f（x）在 （，1） ， （ 1，+）上单调递减，在（ 1，1）单调递增（2）当 n 为偶数时，当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递减；所以，f（x）在（，1）单调递增，在（1，+）上单调递减；第 21 页（共 22 页）（）证明：设点 P 的坐标为（x 0，0） ，则 x0=n ，f（x 0）=n n2，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为 y=f（x 0） （xx 0） ，即

40、 g（x）=f（x 0） （x x0） ，令 F（x）=f（ x）g（x） ，即 F（x）=f（x）f（x 0） （xx 0） ，则 F（x）=f （x）f（x 0） 由于 f（x）=nx n1+n 在（0，+）上单调递减，故 F（x ）在（0，+）上单调递减，又因为 F（x 0）=0 ，所以当 x（0，x 0）时，F（x）0，当 x（x 0，+）时，F（x）0，所以 F（x）在 （0，x 0）内单调递增，在（x 0，+）上单调递减，所以对应任意的正实数 x，都有 F（x）F（x 0）=0 ，即对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） （）证明：不妨设 x1x 2，由（）知 g（x）=（n

41、 n2） （xx 0） ，设方程 g（x）=a 的根为 ，可得 = ，由（）知 g（x 2）f（x 2） =a=g（ ） ，可得 x2 类似地，设曲线 y=f（x）在原点处的切线方程为 y=h（x） ，可得 h（x）=nx，当 x（0， +） ，f（x）h（x）=x n0，即对于任意的 x（0，+） ，f （x）h（x） ，设方程 h（x）=a 的根为 ，可得 = ，因为 h（x）=nx 在（ ，+）上单调递增，且 h（ ）=a=f（x 1）h（x 1） ，因此 x 1，由此可得：x 2x1 = ，因为 n2，所以 2n1=（1+1） n11+ =1+n1=n，故：2 =x0所以：|x 2x1| +2【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力第 22 页（共 22 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；maths；w3239003；刘长柏；wkl197822；sxs123；742048；沂蒙松；changq；lincy ；cst（排名不分先后）菁优网2016 年 8 月 29 日