2017年天津市高考数学试卷(理科).doc

1、第 1 页（共 25 页）2017 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（A B ）C=（ ）A2 B1，2，4 C1，2，4，5 Dx R|1x52 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为（ ）A B1 C D33 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（ ）A0 B1 C2 D34 （5 分）设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件第

2、 2 页（共 25 页）C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为 若经过 F 和 P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =16 （5 分）已知奇函数 f（ x）在 R 上是增函数，g（x）=xf（x） 若a=g（log 25.1） ，b=g（2 0.8） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bcba Cb ac Db c a7 （5 分）设函数 f（x ） =2sin（x+ ） ，x R，其中 0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且 f

3、（x ）的最小正周期大于 2，则（ ）A= ，= B= ，=C = ，= D= ，=8 （5 分）已知函数 f（x）= ，设 aR，若关于 x 的不等式f（x）| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A ，2 B ， C 2 ，2 D2 ， 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 11 （5 分）在极坐标系中，直线 4cos（ ）+1=0 与圆 =2sin 的公共点的个数为 12 （5 分

4、）若 a，bR， ab0，则 的最小值为 第 3 页（共 25 页）13 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=3，AC=2若=2 ， = （R ） ，且 =4，则 的值为 14 （5 分）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8 ，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个 （用数字作答）三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知a b，a=5，c=6，sinB= （）求 b 和 sinA 的值；（）求 sin（2A+ ）的值16

5、（13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， （）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率17 （13 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA 底面 ABC，BAC=90点D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 （）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为

6、，求线段 AH 的长第 4 页（共 25 页）18 （13 分）已知a n为等差数列，前 n 项和为 Sn（n N+） ，b n是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b 2+b3=12，b 3=a42a1，S 11=11b4（）求a n和b n的通项公式；（）求数列a 2nb2n1的前 n 项和（nN +） 19 （14 分）设椭圆 + =1（ab 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A 是抛物线 y2=2px（p 0）的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 （I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（

7、B 异于 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若APD 的面积为 ，求直线 AP 的方程20 （14 分）设 aZ，已知定义在 R 上的函数 f（x）=2x 4+3x33x26x+a 在区间（1，2）内有一个零点 x0，g（x）为 f（x ）的导函数（）求 g（ x）的单调区间；（）设 m1，x 0）（x 0，2，函数 h（x）=g（x） （mx 0） f（m） ，求证：h（m）h（x 0）0；（）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p，q ，且1，x 0） （x 0，2 ，满足 | x0| 第 5 页（共 25 页）2017 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题

8、解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（A B ）C=（ ）A2 B1，2，4 C1，2，4，5 Dx R|1x5【分析】由并集概念求得 AB ，再由交集概念得答案【解答】解：A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又 C=xR|1x5，（AB ）C=1，2，4故选：B【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为（ ）A B1 C D3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解

9、：变量 x，y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z=x+y 结果可行域的 A 点时，目标函数取得最大值，由 可得 A（0，3） ，目标函数 z=x+y 的最大值为：3故选：D第 6 页（共 25 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用3 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次 N=24，能被 3 整除，N= 3 不成立，第二次 N=8，8 不能被 3 整除，N=8 1=7，N=7 3 不成立，第三次 N=7，不能被 3

10、 整除，N=7 1=6，N= =23 成立，第 7 页（共 25 页）输出 N=2，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键4 （5 分）设 R，则“ | | ”是“sin ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：| | 0 ，sin +2k +2k，kZ，则（0， ） +2k， +2k，k Z，可得“| | ”是“sin ”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时

11、考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题5 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的左焦点为 F，离心率为 若经过 F 和 P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=x，根据直线的斜率公式，即可求得 c 的值，求得 a 和 b 的值，即可求得双曲线方程第 8 页（共 25 页）【解答】解：设双曲线的左焦点 F（c，0） ，离心率 e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即 a=b，双曲线的渐近线方程为 y= x=x，则经

12、过 F 和 P（0，4）两点的直线的斜率 k= = ，则 =1，c=4 ，则 a=b=2 ，双曲线的标准方程： ；故选 B【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题6 （5 分）已知奇函数 f（ x）在 R 上是增函数，g（x）=xf（x） 若a=g（log 25.1） ，b=g（2 0.8） ，c=g（3） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aa b c Bcba Cb ac Db c a【分析】由奇函数 f（x）在 R 上是增函数，则 g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+）单调递增，则 a=g（log 25.1）=g（log 25.1） ，则2 log25.1

13、 3，12 0.82，即可求得 bac【解答】解：奇函数 f（x ）在 R 上是增函数，当 x0，f （x）f（0）=0 ，且f（x ）0，g （x）=xf（x） ，则 g（x ）=f （x ）+xf （x ）0，g （x）在（0，+）单调递增，且 g（x）=xf（x）偶函数，a=g（log 25.1）=g（log 25.1） ，则 2log 25.13，12 0.82，由 g（ x）在（0，+）单调递增，则 g（2 0.8）g（log 25.1）g（3） ，bac ，故选 C第 9 页（共 25 页）【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题7 （5 分）设函

14、数 f（x ） =2sin（x+ ） ，x R，其中 0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且 f（x ）的最小正周期大于 2，则（ ）A= ，= B= ，=C = ，= D= ，=【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得 ，最后由若 f（ ）=2 求得 值【解答】解：由 f（x）的最小正周期大于 2，得 ，又 f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（ x）=2sin（x+）=2sin（ x+） ，由 f（ ）= ，得 sin（+ ）=1+ = ，kZ取 k=0，得 = ，= 故选：A【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查 y=Asin（x+ ）型函数的性质，是中档题

15、8 （5 分）已知函数 f（x）= ，设 aR，若关于 x 的不等式f（x）| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）第 10 页（共 25 页）A ，2 B ， C 2 ，2 D2 ， 【分析】讨论当 x1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得x2+ x3ax 2 x+3，再由二次函数的最值求法，可得 a 的范围；讨论当 x1时，同样可得（ x+ ）a + ，再由基本不等式可得最值，可得 a 的范围，求交集即可得到所求范围【解答】解：当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x） | +a|在 R 上恒成立，即为x 2+x3 +ax 2x+3，即有x 2+ x3ax 2 x+3

16、，由 y=x2+ x3 的对称轴为 x= 1 ，可得 x= 处取得最大值 ；由 y=x2 x+3 的对称轴为 x= 1，可得 x= 处取得最小值 ，则 a 当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）| +a|在 R 上恒成立，即为（x+ ） +ax+ ，即有（ x+ ）a + ，由 y=（ x+ ） 2 =2 （当且仅当 x= 1）取得最大值 2 ；由 y= x+ 2 =2（当且仅当 x=21）取得最小值 2则2 a 2由可得， a2故选：A【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，

17、属于中档题二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.第 11 页（共 25 页）9 （5 分）已知 aR，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 2 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为 0，解方程即可得到所求值【解答】解：aR，i 为虚数单位，= = = i由 为实数，可得 =0，解得 a=2故答案为：2【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为 0，考查运算能力，属于基础题10 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【分析】根据

18、正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可【解答】解：设正方体的棱长为 a，这个正方体的表面积为 18，6a 2=18，则 a2=3，即 a= ，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R，即 R= ，则球的体积 V= （ ） 3= ；第 12 页（共 25 页）故答案为： 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键11 （5 分）在极坐标系中，直线 4cos（ ）+1=0 与圆 =2sin 的公共点的个数为 2 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线

19、的距离 d，与半径比较即可得出位置关系【解答】解：直线 4cos（ ）+1=0 展开为：4 +1=0，化为：2 x+2y+1=0圆 =2sin 即 2=2sin，化为直角坐标方程：x 2+y2=2y，配方为：x 2+（y1）2=1圆心 C（0， 1）到直线的距离 d= = 1=R直线 4cos（ ）+1=0 与圆 =2sin 的公共点的个数为 2故答案为：2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）若 a，bR， ab0，则 的最小值为 4 【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式

20、等号成立的条件是什么【解答】解：a，bR，ab0， =第 13 页（共 25 页）=4ab+ 2 =4，当且仅当 ，即 ，即 a= ，b= 或 a= ，b= 时取“=”；上式的最小值为 4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题13 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=3，AC=2若=2 ， = （R ） ，且 =4，则 的值为 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积 列出方程求出 的值【解答】解：如图所示，ABC 中，A=60 ，AB=3，AC=2，=2 ， = += += + （ ）= + ，又 = （R ） ， =（ +

21、） （ ）第 14 页（共 25 页）=（ ） + =（ ）32cos60 32+ 22=4， =1，解得 = 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题14 （5 分）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8 ，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 1080 个 （用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分 2 种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字

22、，即在 1、3、5、7、9 种任选 4 个，组成一共四位数即可，有 A54=120 种情况，即有 120 个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在 1、3、5 、7、9 种选出 3 个，在 2、4、6、8 中选出 1 个，有 C53C41=40 种取法，将取出的 4 个数字全排列，有 A44=24 种顺序，则有 4024=960 个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1080 个；故答案为：1080第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明

23、，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c 已知a b，a=5，c=6，sinB= （）求 b 和 sinA 的值；（）求 sin（2A+ ）的值【分析】 （）由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB，再由余弦定理求得 b，利用正弦定理求得 sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得 cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案【解答】解：（）在ABC 中，ab，故由 sinB= ，可得 cosB= 由已知及余弦定理，有 =13，b= 由正弦定理 ，得 sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及 a

24、c，得 cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故 sin（2A+ ）= = 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题16 （13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， 第 16 页（共 25 页）（）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率【分析】 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的

25、分布列，计算数学期望值；（）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值【解答】解：（）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3；则 P（ X=0）=（1 ）（ 1 ） （1 ）= ，P（X=1）= （1 ） （1 ）+（1 ） （ 1 ）+（1 ）（1 ）= ，P（X=2）=（1 ） + （1 ） + （1 ）= ，P（X=3）= = ；所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P随机变量 X 的数学期望为 E（X）=0 +1 +2 +3 = ；（）设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y +Z=1）=P（Y=0，Z

26、=1）+P（Y=1 ，Z=0 ）=P（ Y=0）P（Z=1 ）+P （ Y=1）P（Z=0 ）= + = ；所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题第 17 页（共 25 页）17 （13 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA 底面 ABC，BAC=90点D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 （）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长【分析

27、】 （）取 AB 中点 F，连接 MF、NF ，由已知可证 MF平面 BDE，NF平面 BDE得到平面 MFN平面 BDE，则 MN平面 BDE；（）由 PA底面 ABC，BAC=90可以 A 为原点，分别以 AB、AC 、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系求出平面 MEN 与平面 CME 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 CEMN 的余弦值，进一步求得正弦值；（）设 AH=t，则 H（0，0，t ） ，求出 的坐标，结合直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为 列式求得线段 AH 的长【解答】 （）证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF，M 为 AD 中点，

28、MF BD，BD平面 BDE，MF 平面 BDE，MF平面 BDEN 为 BC 中点，NFAC，第 18 页（共 25 页）又 D、E 分别为 AP、PC 的中点，DEAC，则 NFDEDE平面 BDE，NF 平面 BDE，NF平面 BDE又 MF NF=F平面 MFN 平面 BDE，则 MN平面 BDE；（）解：PA底面 ABC，BAC=90以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系PA=AC=4， AB=2，A（0，0 ， 0） ，B（2 ，0 ，0） ，C（0，4，0） ，M（0，0，1） ，N（1，2，0） ，E（ 0，2 ，2） ，则 ，

29、，设平面 MEN 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 z=2，得 由图可得平面 CME 的一个法向量为 cos = 二面角 CEMN 的余弦值为 ，则正弦值为 ；（）解：设 AH=t，则 H（0，0，t ） ， ， 直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，|cos |=| |=| |= 解得：t=4当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，此时线段 AH 的长为 4第 19 页（共 25 页）【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题18 （13 分）已知a n为等差数列，前 n 项和为 Sn（n N+） ，b n是

30、首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b 2+b3=12，b 3=a42a1，S 11=11b4（）求a n和b n的通项公式；（）求数列a 2nb2n1的前 n 项和（nN +） 【分析】 （）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解a n和b n的通项公式；（）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，等比数列b n的公比为 q由已知 b2+b3=12，得 b1（ q+q2）=12 ，而 b1=2，所以 q+q26=0又因为 q0，解得 q=2所以，b n=2n由 b3=a42a1，可得 3da1=8由 S11=11b4

31、，可得 a1+5d=16，联立，解得 a1=1，d=3，由此可得 an=3n2所以，数列a n的通项公式为 an=3n2，数列b n的通项公式为 bn=2n（II）设数列a 2nb2n1的前 n 项和为 Tn，由 a2n=6n2，b 2n1= 4n，有 a2nb2n1=（3n 1）4 n，故 Tn=24+542+843+（3n 1）4 n，第 20 页（共 25 页）4Tn=242+543+844+（3n 1）4 n+1，上述两式相减，得3T n=24+342+343+34n（3n1）4 n+1= =（3n 2）4 n+18得 Tn= 所以，数列a 2nb2n1的前 n 项和为 【点评】本题考

32、查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力19 （14 分）设椭圆 + =1（ab 0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 已知 A 是抛物线 y2=2px（p 0）的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 （I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于 A） ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若APD 的面积为 ，求直线 AP 的方程【分析】 （I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出 a，b，p 即可得出方程；（II）设 AP 方程为 x=my+1，联立方程组得出 B，P，Q 三点坐标，

33、从而得出直线 BQ 的方程，解出 D 点坐标，根据三角形的面积列方程解出 m 即可得出答案【解答】 （）解：设 F 的坐标为（c，0） 依题意可得 ，解得 a=1，c= ，p=2，于是 b2=a2c2= 第 21 页（共 25 页）所以，椭圆的方程为 x2+ =1，抛物线的方程为 y2=4x（）解：直线 l 的方程为 x=1，设直线 AP 的方程为 x=my+1（m0） ，联立方程组 ，解得点 P（1， ） ，故 Q（1， ） 联立方程组 ，消去 x，整理得（3m 2+4）y 2+6my=0，解得 y=0，或y= B（ ， ） 直线 BQ 的方程为（ ） （x+1）（ ） （y ）=0，令 y

34、=0，解得 x= ，故 D（ ，0） |AD|=1 = 又APD 的面积为 ， = ，整理得 3m22 |m|+2=0，解得 |m|= ，m= 直线 AP 的方程为 3x+ y3=0，或 3x y3=0【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题20 （14 分）设 aZ，已知定义在 R 上的函数 f（x）=2x 4+3x33x26x+a 在区间（1，2）内有一个零点 x0，g（x）为 f（x ）的导函数（）求 g（ x）的单调区间；（）设 m1，x 0）（x 0，2，函数 h（x）=g（x） （mx 0） f（m） ，求证：第 22 页（共 25 页）h（m）

35、h（x 0）0；（）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p，q ，且1，x 0） （x 0，2 ，满足 | x0| 【分析】 （）求出函数的导函数 g（x）=f（x ）=8x 3+9x26x6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可（）由 h（x）=g（x） （mx 0） f（m） ，推出 h（ m）=g（m） （m x0）f（m） ，令函数 H1（x ）=g（x ） （xx 0） f（x ） ，求出导函数 H1（x ）利用（）知，推出h（m）h（x 0）0（）对于任意的正整数 p，q ，且 ，令 m= ，函数h（x）=g（x） （m x0）f （ m） 由（）

36、知，当 m1， x0）时，当 m（x 0，2时，通过 h（x）的零点转化推出| x0|= = 推出|2p4+3p3q3p2q26pq3+aq4|1然后推出结果【解答】 （）解：由 f（x ）=2x 4+3x33x26x+a，可得 g（x ）=f（x）=8x3+9x26x6，进而可得 g（x ）=24x 2+18x6令 g（x ）=0，解得 x=1，或 x= 当 x 变化时，g （x） ，g （ x）的变化情况如下表：x （，1） （1， ） （ ，+）g（x） + +g（x ） 所以，g（x ）的单调递增区间是（， 1） ， （ ， +） ，单调递减区间是（1，） （）证明：由 h（x）=g（

37、x） （mx 0） f（m） ，得 h（m）=g（m） （m x0）第 23 页（共 25 页）f（m） ，h（x 0）=g（x 0） （mx 0） f（m） 令函数 H1（x ）=g（x ） （xx 0） f（x ） ，则 H1（x ）=g（x ） （xx 0） 由（）知，当 x1，2时，g（x）0，故当 x1，x 0）时，H 1（x ）0，H 1（x）单调递减；当 x（x 0，2 时，H 1（x ）0，H 1（x）单调递增因此，当 x1，x 0）（x 0，2时，H 1（x）H 1（x 0）=f（x 0）=0，可得H1（m）0 即 h（m ）0，令函数 H2（x ）=g（x 0） （x x0

38、）f（x） ，则 H2（x）=g（x 0）g（x） 由（）知，g（ x）在1 ，2上单调递增，故当 x1，x 0）时，H 2（x ）0，H 2（x）单调递增；当 x（x 0，2时，H 2（x ）0，H 2（x）单调递减因此，当 x1，x 0）（x 0，2时，H 2（x ）H 2（x 0）=0，可得得 H2（m）0 即 h（x 0）0， 所以，h（m）h（x 0）0（）对于任意的正整数 p，q ，且 ，令 m= ，函数 h（x ）=g（x） （mx 0）f（m） 由（）知，当 m1， x0）时，h（x）在区间（m，x 0）内有零点；当 m（x 0，2时，h（x）在区间（x 0，m）内有零点所以

39、h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为 x1，则 h（x 1）=g（x 1） （x0）f（ ）=0由（）知 g（x）在1，2上单调递增，故 0g（1）g （x 1）g （2） ，于是| x0|= = 因为当 x1，2时，g（x）0，故 f（x ）在1，2上单调递增，所以 f（ x）在区间1，2 上除 x0 外没有其他的零点，而 x 0，故 f（ ）0又因为 p，q，a 均为整数，所以|2p 4+3p3q3p2q26pq3+aq4|是正整数，第 24 页（共 25 页）从而|2p 4+3p3q3p2q26pq3+aq4|1所以| x0| 所以，只要取 A=g（2） ，就有 | x0| 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目第 25 页（共 25 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths ；双曲线；铭灏 2016；沂蒙松；742048 ；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017 年 6 月 9 日