1、20. 【2012 高考天津 19】 （本小题满分 14 分）已知椭圆 =1（ab0 ）,点 P（ , ）在椭圆上。a5（I）求椭圆的离心率。（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的斜率的值。OQ22.【2012 高考安徽文 20】 （本小题满分 13 分）如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右21,FC2axby0ba焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点，ABAF1F=60.2（）求椭圆 的离心率；C（）已知 的面积为 40 ，求 a, b 的值. ABF1323.【2012 高考广东文 20】 （本小题满分
2、 14 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点xOy1C21xyab0a1(,0)F在 上 .(0,1)PC（1）求椭圆 的方程；1（2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程.l1C24yxl24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分)已知椭圆 C：2xa+ yb=1（ab0）的一个顶点为 A （2,0） ，离心率为 2， 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N（）求椭圆 C 的方程（）当AMN 的面积为 103时，求 k 的值 25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分)如图，椭圆 的离心率为 ，直
3、线 和 所围成的矩形 ABCD 的面积2:10xyMab32xayb为 8.()求椭圆 M 的标准方程；() 设直线 与椭圆 M 有两个不同的交点 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 .:()lyxmR,PQl ,ST求 的最大值及取得最大值时 m 的值.|PQST26.【2102 高考福建文 21】 （本小题满分 12 分）如图，等边三角形 OAB 的边长为 83，且其三个顶点均在抛物线 E：x 2=2py（p0）上。（1） 求抛物线 E 的方程；（2） 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y=-1 相较于点 Q。证 明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。29.【2012
4、 高考浙江文 22】本题满分 14 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P（1， 2）到抛物线C： =2px（P0）的准线的距离为 54。点 M（t，1）是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB2y被直线 OM 平分。（1）求 p,t 的值。（2）求ABP 面积的最大值。30.【2012 高考湖南文 21】 （本小题满分 13 分）在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 12的椭圆 E 的一个焦点为圆 C：x 2+y2-4x+2=0 的圆心.（）求椭圆 E 的方程；（）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1，l 2.当直线 l1，l
5、 2 都与圆 C 相切时，求 P 的坐标.32.【2012 高考全国文 22】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线 与圆 有一个公共点 ，且在点 处两曲2:(1)Cyx221:()()(0)MxyrA线的切线为同一直线 .l（）求 ；r（）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的距离。mn mnDl33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分)如图，动圆 ,1， ， ， ， ， 。121120=x mym 。2222222111 10= mAFxymy 同理， 。222B（i）由得， 。解 得 =2。2121mAF21
6、6=m2注意到 ， 。0m=直线 的斜率为 。12（ii）证明： ， ，即 。1AF2B21FPA212111BFPFBAPA 。12=PAFB由点 在椭圆上知， ， 。12F122=AFPB同理。 。211=BPFAA 2 21221121 1+ 2BFAFB由得， ， ，211=mAFB21=mAFB 。123+2P 是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】 （1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。(1)e， 32，（2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。126AFB【解析】 （I） 12602caea（）设 m；则 1在 12BF中， 2221 21c
7、os20BFBF3()5aama1A面积 213sin60()40220,53SAacb【答案】【解析】 （1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，1C1(,0)F1c点 代入椭圆 ，得 ，即 ，(0,)P2xyab2b所以 ，22abc所以椭圆 的方程为 .1C21xy（2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ，l lykxm，消去 并整理得 ，21xykmy22(1)40因为直线 与椭圆 相切，所以 ，l1C226(1)kmk整理得 210km，消去 并整理得 。4yxy22(4)0kxmx因为直线 与抛物线 相切，所以 ，l2C22k整理得 1km综合，解得 或 。22km所以直线 的方
8、程为 或 。l2yx2yx【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。解：（1）由题意得 22acb解得 .所以椭圆 C 的方程为214xy.（2）由 2(1)4ykx得 22()40kxk.设点 M,N 的坐标分别为 1(,)y， 2(,)，则 1()yx， 2(1)ykx，2241kx，21kx.所以|MN|= 2211()()xy= 2211()4kxx=22()46k.由因为点 A(2,0)到直线 kx）的距离 2|d，所以AMN 的面积为 |6|21kSMN. 由2|61013k
9、，解得 1k.【答案】(21)(I) 2334cabe矩形 ABCD 面积为 8，即 8由解得： ，2,1ab椭圆 M 的标准方程是 .24xy(II) ，2224,5840xyxm设 ，则 ，12(,)(,)PQ21214,55mx由 得 .6404.2228| 55m当 过 点时， ，当 过 点时， .lA1lC1当 时，有 ，(,)(2,),|2(3)STmS，22|4546(3)PQmSTt其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 .t13t45,(,1)3t|PQST25由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 .5m|ST25当 时， ， ，1m|2ST2|5PQST由此知，当
10、时， 取得最大值 .0|综上可知，当 和 0 时， 取得最大值 .53|PST25考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。难度：难。分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。解答：（I）设 12(,)(,)AxyB；则 221,xpy212112 21()0(,0)Opyp 得：点 ,关于 y轴对称（lfxlby）83(4,)(3,)ABAB代入抛物线 E的方程得：2xpy抛物线 E的方程为 24xy（II）设20(,)4xP；则 21过点 P的切线方程为 2001()4yxx即 2014yx令201(,)yQ设 (,)Mt满足： P
11、A及2004(,),(,1)xMxytQt得： 2204(1)ttx对 0均成立,1t以 PQ为直径的圆恒过 y轴上定点 (,)解（1）双曲线 1:21Cx，左焦点 026F.设 ),(yM，则 2)3()(| xyx， 2 分由 M 是右支上一点，知 2，所以 |2M，得 6x.所以 ),(26. 5 分（2）左顶点 0A，渐近线方程： xy.过 A 与渐近线 xy平行的直线方程为： )(2，即 12xy.解方程组 12，得 214y. 8 分所求平行四边形的面积为 4|OAS. 10 分（3）设直线 PQ 的方程是 bkx.因直线与已知圆相切，故 1|2kb，即 2kb (*).由 1yx
12、，得 012)(2x.设 P(x1, y1)、Q(x 2, y2)，则 211kb.2bk，所以212121 )()(bxxO22)1)( kkkb.由(*)知 0P，所以 OPOQ. 16 分【点评】本题主要考查双曲线的概念、 标准方程、几何性 质及其直 线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2，它的渐近线为 xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大 节省解题时间，本 题属于中档 题 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.【解
13、析】设准线 l于 y轴的焦点为 E，圆 F 的半径为 r，则|FE|= p， |=|FABD= r，E 是 BD 的中点，() 09， |= 2p，|BD|= ，设 A( 0x， y)，根据抛物线定义得，|FA|= 0y， D的面积为 42， ABDS= 1|()22= 12p= 4，解得 p=2，F(0,1), FA|= ， 圆 F 的方程为： 8xy；() 【解析 1】 ， ， 三点在同一条直线 m上, AB是圆 F的直径， 09ADB,由抛物线定义知 1|2， 03， 的斜率为 3或 ，直线 m的方程为： 3pyx，原点到直线 的距离 1d= 4p，设直线 n的方程为： b，代入 2py
14、得， 203xb， 与 C只有一个公共点， = 4803， 6b，直线 n的方程为： 6pyx，原点到直线 n的距离 2d= 1p，坐标原点到 m， 距离的比值为 3.【解析 2】由对称性设20(,)Ap，则 (0,)2pF点 ,B关于点 F对称得： 2000(,)3xBxp得： 3(,)2pA，直线32: 32pmyxy2 3xxy pp切点 (,)6pP直线 3:()066nxy坐标原点到 ,m距离的比值为 3:2p。【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【解析】（1）由题意得 ，得 .2154pt12pt（2）设
15、 ，线段 AB 的中点坐标为12(,),AxyB(,)Qm由题意得，设直线 AB 的斜率为 k（k ）.0由 ，得 ，得21pxy21221()()yx21k所以直线的方程为 ，即 .()m0my由 ，整理得 ，220xy22y所以 ， ， .从而得24A1221，21224Bymk设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则，设 ABP 的面积为 S，则 .214md221()2ABdm由 ，得 .201m令 ， ，则 .tt2()St设 ， ，则 .2(1)St6由 ，得 ，所以 ，故 ABP 的面积的最大值为 .260t10,2tmax69S69【答案】【解析】 （）由 ，得 .故圆的圆心为
16、点24xy2()y从而可设椭圆的方程为 其焦距为 ，由题设知(2,0) 210,xyab2c故椭圆的方程为：2212,4,1.ceacbac.6xy（）设点 的坐标为 ， 的斜分率分别为 则 的方程分别为p0(,)xy12,l12,.k,l且 由 与圆 相切，得10120:(:(),lyklkx2:()cxy，021x即 2 20100()().kxyk同理可得 .22x从而 是方程 的两个实根，于是12,k000()()kxyk20,8()x且2012.()ykx由 得 解得 或020,61()yx2058360.x02,x01.5由 得 由 得 它们满足式，故点的坐标为003;05x057
17、,y，或 ，或 ，或 .(2,3)(,)18(,)18(,)【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆 E 的方程，第二问设出点 P 坐标，,cab利用过 P 点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点 P 坐标的一个方程，利用点 P 在椭圆上得出另一方程，12联立两个方程得点 P 坐标.21. 【答案】解：（）如图 1，设 (,)Mxy， 0(,)A，则由 |(0,1)DMmA且 ，可得 0x， 0|ym，所以 0x， 01|ym. 因为 A点在单位圆上运动，所以 2. 将式代入 式即得
18、所求曲线 C的方程为21(0,1)x且. 因为 (0,1),)m，所以当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 2(,0)m， 2(1,0)；当 1时，曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 2(,)， 2(,). （）解法 1：如图 2、3， 0k，设 1Pxk， 2(,Hxy，则 1(,)Qxk， 1(0,)Nkx，直线 QN的方程为 yx，将其代入椭圆 C的方程并整理可得222211(4)mkxm.依题意可知此方程的两根为 ， ，于是由韦达定理可得21124k，即2124xk.因为点 H 在直线 QN 上，所以212124kmxy.于是 1(2,)PQxk，2211
19、2121(,)(,)4kxPHx. 而 等价于 24)0km ，即 20m，又 ，得 ，故存在 ，使得在其对应的椭圆21yx上，对任意的 0k，都有 PQH. 解法 2：如图 2、3， 1(0,)x，设 1(,)Pxy， 2(,)Hxy，则 1(,)Qxy，1(0,)Ny，POxyNQ图 2 mHPOxyN图 3 mH图 1O D xy AM第 21 题解答图因为 P， H两点在椭圆 C上，所以221,mxy两式相减可得22211()()0mxy. 依题意，由点 在第一象限可知，点 H也在第一象限，且 P， H不重合，故 1212()x. 于是由式可得1212()yymx. 又 Q， N， H
20、三点共线，所以 QNHk，即 12yx. 于是由 式可得2122112()PQHy mkx .而 P等价于 ，即 m，又 0，得 ，故存在 2m，使得在其对应的椭圆2yx上，对任意的 k，都有QH. 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离
21、。解：（1）设 20(,1)Ax，对 2(1)yx求导得 (1)yx，故直线 l的斜率 02(1)kx，当0x时，不合题意，所心 0圆心为 1(,)2M， A的斜率20(1)xk由 l知 1k，即200()2()1x，解得 0x，故 (,1)A所以 225|()()rMA（2）设 2,1a为 C上一点，则在该点处的切线方程为 2(1)()yaxa即()yx若该直线与圆 M相切，则圆心 到该切线的距离为 52，即21|()|5()aa，化简可得2(46)0a求解可得 12,10a抛物线 C在点 ()()ii处的切线分别为 ,lmn，其方程分别为2yx 211yxa 22()1yax得 2a，将
22、代入得 ，故 (,)D所以 D到直线 l的距离为 2|()|651d。【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。【解析】()设 A( 0x， y)，则矩形 ABCD 的面积 S= 04|xy，由2019xy得，2
23、2009， 20xy=2(1)9= 209()4，当 209x， 201y时，maxS=6， t= 5时，矩形 ABCD 的面积最大，最大面积为 6. 6 分() 设 11,-AyB，又知 12-3,0,A，则直线 的方程为 =+yx 直线 2的方程为 1-3 由得 221-yx由点 1,Axy在椭圆 0C上，故可得 12+=3，从而有2211-3xy，代入得2-=10而当 1 或-1 为方程（*）的根时， m 的值为-1 或 1.结合题设（m0 ）可知，m0，且 m1设 Q、R 的坐标分别为（X Q,YQ）,(X R,YR),则为方程（*）的两根.因为 PRQ,所以 XRQ， 32,32mX
24、mPQ所以 12132222 mRP。此时 1,3122且 所以 3512,3m22 且所以 35,31XPRPRQQ且综上所述， ），（），的 取 值 范 围 是 （ 1 12 分点评本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。【答案】：（）20x+ 4y=1（） 1609， 12|OAB （*）设 12(,)(,)PxyQ 则 12,y 是上面方程的两根，因此 124,5my265m又 1 2()(,)BPxBPxy，所以 12()BPx12y1212(4)y12m12462265265由 2PBQ ，知 2
25、0BPQ ，即 240m ，解得 m当 m 时，方程（*）化为： 29816y故 12410,99yy ，1280|9y2PBQA的面积 122160|9SBy 当 2m 时，同理可得（或由对称性可得） 2 的面积 综上所述， 2PBQA 的面积为 1609 。【解析】 （）由已知可设椭圆 2C的方程为 214yxa，其离心率为 3，故43a，则 故椭圆 2C的方程为 1462xy（）解法一： AB， 两点的坐标分别为 ABxy， ， ， ，由 2O及（）知， ， ， 三点共线且点 ， 不在 y轴上，因此可设直线 的方程为 kxy将 kxy代入 142y中，得 42xk，所以 2241kxA，将 代入2+6x中，得 216，所以 226B，又由 ABO，得 24AB，即 224k解得 1k，故直线 的方程为 xy或 解法二： ， 两点的坐标分别为 BAy,，由 OAB2及（）知， ， ， 三点共线且点 ， 不在 y轴上，因此可设直线 的方程为 kxy将 kxy代入 142中，得 42，所以 2241kxA，又由 ABO，得 2246kxB， 216kyB，将 2,Byx代入 162中，得 2，即 2241k，解得 1k，故直线 A的方程为 xy或
