1、平方根、立方根、实数教学内容一、同步知识梳理知识点 1：算术平方根的概念如果一个正数 x的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x叫做 a的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。2x aa规定 0的算术平方根是 0。知识点 2：算术平方根的双重非负性负数没有平方根，即被开方数一定是正数或 0, ；算术平方根是非负数，即 。0a0a二、同步题型分析三、课堂达标检测题型一：算术平方根【例 1】 的值是（ ）4A4 B2 C2 D2【例 2】 2的算术平方根是（ ）A B C D2【例 3】 （-2） 2的算术平方根是（ ）A2 B2 C2 D 【例 4】 的算术平方根是（ ）49A B C D81632
2、3【例 5】 0.36的算术平方根是（ ）A0.6 B C0.6 D 0.60.6【例 6】 的算术平方根是（ ）1A4 B4 C2 D2【例 7】 当 m0 时， 表示（ ）mAm 的平方根 B一个有理数C一个无理数 Dm 的算术平方根【例 8】 有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的 x=64时，输出的 y等于（ ）A2 B8 C D32【例 9】 下列运算正确的是（ ）A =2 B-（x-1）=-x-1 C-3 2=9 D-|-2|=-24【例 10】 一个自然数的算术平方根为 a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A B. C. D. 1a1a2121a【例 11】 下列说法
3、正确的是（ ）A-6 是（-6） 2的算术平方根 B6 是 36的算术平方根C5 是 25的算术平方根 D-5 不是 25的平方根【例 12】 下列说法正确的是（ ）A-5 是-25 的平方根 B3 是（-3） 2的算术平方根C （-2） 2的平方根是 2 D8 的平方根是4【例 13】 （x 2+1） 2的算术平方根是（ ）Ax 2+1 B （x 2+1） 2 C （x 2+1） 4 D（x 2+1）【例 14】 已知一个正方形的边长为 a，面积为 S，则（ ）AS= BS 的平方根是 aaCa 是 S的算术平方根 Da= s【例 15】 若 8k（k 为大于 0的自然数）的算术平方根是整数
4、，则正整数 k的最小值为（ ）A1 B2 C4 D8【例 16】 如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是（ ）A0 B1 C0 或 1 D-1 或 0或 1【例 17】 一个数 a的算术平方根比本身大，那么这个数一定（ ）Aa0 Ba1 C0a1 D不能确定【例 18】 如果 a-3是一个数的算术平方根，那么（ ）Aa0 Ba0 Ca3 Da3【例 19】 算术平方根等于它相反数的数是（ ）A0 B1 C0 或 1 D-1 或 0或 1【例 20】 如果 =0.25，那么 y的值是（ ）yA0.0625 B-0.5 C0.5 D0.5【例 21】 已知 =7.35，则 0.005403
5、的算术平方根是（ ）54.03A0.735 B0.0735 C0.00735 D0.000735【例 22】 恰有 35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ）A17 B18 C35 D36【例 23】 小明不小心把一块橡皮掉入一个带刻度的圆柱形水杯中，小明发现水杯中的水面上升了 1cm，小明知道橡皮的体积为 28.26cm3你知道圆柱形水杯的底面直径是多少吗？（ 取 3.14）【例 24】 “欲穷千里目，更上一层楼，”说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为 h，观测者视线能达到的最远距离为 d，则 ，其中 R是地球半径（通常取 6400km）小丽站在海边一块岩石上
6、，眼睛离2h海平面的高度 h为 20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时 d的值【例 25】 填写下表：（1）观察上表，并且说明当被开方数 a 的小数点向右（或向左）每移动两位时， 的小数点移动规律是怎样的？（2）已知 =1.859， =5.879，请用你观察到的结论直接写出结果：3.45634.56 = ； = ； = ；0 3456如果 =0.1859，那么 = xx【例 26】 先观察下列等式，再回答问题： 2112 236 21142（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的 结果，并进行验证；2145（2）根据上面的规律，可得 2190（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用
7、 n（n 为正整数）表示的等式，并加以验证题型二：算术平方根的双重非负性【例 27】 要使 有意义，则 a的取值范围为 。4a【例 28】 若 有意义,则 x的取值范围为（ ）x21A.x B. xC.x 12D.x【例 29】 当 _x时，式子 x有意义； 【例 30】 为何值时，下列各式有意义？a2132341a5a3216【例 31】 若数 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ）aA B C Da2a3a【例 32】 若 和 都有意义，则 的值是（ ）A. B. C. D.0a000【例 33】 当 时， 。 172a【例 34】 若 )2(，则 的取值范围是
8、。【例 35】 化简： 。2)3(【例 36】 如果 ，则（ ）a1A a12B. a 2 C. a12D. a12【例 37】 若 0，则 m_，n_。 ()mn【例 38】 已知 那么 a+b-c的值为_.01522cba【例 39】 已知 ，求 x+y的值。52xxy【例 40】 已知 ，求 的值。2626xyyx【例 41】 已知 是 m+3的算术平方根，试求 m-n的值。13nm【例 42】 已知 ，求 的值。aa209208208一、同步知识梳理知识点 3：平方根的概念如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根。即：如果 ，那么 x 叫做 a 的平方根，2xa
9、记作 ，读作 “正、负根号 ”。a知识点 4：平方根的性质正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。知识点 5：两个重要的公式 ； aa2）（ a2二、同步题型分析三、课堂达标检测题型一：平方根概念【例 1】 判断下列说法的是否正确(1)a的平方根可以写成 a.( )(2)只有正数才有平方根.( )(3)(-a)2的平方根是 a.( )(4)正数 a的平方根一定比 a小.( )(5)一个正数的平方根的平方就是这个数.( )(6)一个正数的平方的平方根就是这个数.( )【例 2】 下列各数：-2，(-3) 2，-0.5，0，-(-1)，其中有平方根的数有_个.【例 3
10、】 下列说法中正确的是( )A.-1的平方根是-1B.如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个C.任何一个非负数的平方根都是非负数D.2是 4的平方根【例 4】 9的平方根是_.【例 5】 0.16的平方是_，0.16 的平方根是_.【例 6】 (-4)3的相反数的倒数的平方根是_.【例 7】 若 13是 m的一个平方根，则 m的另一个平方根是_.【例 8】 若 5x+4的平方根是1，则 x=_.【例 9】 求下列数的平方根100 0.25 16 0 （6）916 25【例 10】 20.7的平方根是（ ）A B C D0.70.70.49【例 11】 的平方根是（ ）16A4 B.
11、C. 2 D. 【例 12】 若 ，则 ， 的平方根是7x_x_【例 13】 求下列各数中的 值 25x2810249 （5）25360x.063-2x【例 14】 已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，求 的值。31abcd【例 15】 已知 x、y 互为倒数，c、d 互为相反数，a 的绝对值为 3，z 的算术平方根是 5，求：4（c+d）+xy+的值。az【例 16】 如果一个正数的两个平方根为 与 ，请你求出这个正数。1a27【例 17】 如果 3a-5与 2a-10是一个正数的两个平方根,求这个正数。【例 18】 已知 2x的平方根是2， 72yx的立方根是 3，求 2yx的平方
12、根题型二：平方根的估值及大小比较【例 19】 估计 的值（ ）1A. 在 2到 3之间 B.在 3到 4之间 C.在 4到 5之间 D.在 5到 6之间 【例 20】 的整数部分是 ，小数部分是 .7【例 21】 若 5的值在两个整数 a与 a+1之间，则 a= 【例 22】 大于 ，小于 的整数有_个。【例 23】 若 是 的整数部分， 是 的小数部分，试确定 、 的值。a30b30ab【例 24】 如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 xy 的值.3【例 25】 阅读下面的文字，解答问题.大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部地写出来
13、，于是小明用 1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为 2的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。请解答：已知： 23xy，其中 x是整数，且 0y，求 yx的相反数.【例 26】 观察下列等式：回答问题： 21121 612132 343，（1）根据上面三个等式的信息，请猜想 2514的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用 n表示的等式，并加以验证。【例 27】 已知实数 在数轴上的位置如下，化简abc、 、2ab【例 28】 比较 、 、 的大小。a1一、同步知识梳理知识点 6：立方根的概念如果一个数 的立方等于 ，即 ，那
14、么这个数 就叫做 的立方根（或叫做三次方根） 。xax3xa知识点 7：立方与立方根的关系：若有 成立，则 是 的立方， 就是 的立方根。a3xa注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一.知识点 8：开立方的概念：求一个数 的立方根的运算叫做开立方， 叫做被开方数。a注： ，a3a3)(知识点 9：正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数注：正数的立方根大于负数的立方根，0 是介于两者之间。二、同步题型分析三、课堂达标检测第一部分：立方根的概念【例 1】 填空(1)23=8,所以_是_的立方根.(2) (5) 3=125,所以_是_ _的立方
15、根.(3) ( )3=27,所以27 的立方根是_.(4) ( )3=8,所以 8的立方根是_.【例 2】 下列说法不正确的是( )A.1 的立方根是1 B.1 的平方是 1C.1 的平方根是1 D.1 的平方根是1【例 3】 下列说法中正确的有( )2 都是 8的立方根 x3 的立方根是 3 =218A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个【例 4】 若 m0,则 m的立方根是（ ）A. B. C.+ D. 333m3【例 5】 如果 是 6 x的立方根，那么（ ）A.x6 B.x=6 C. D.x是任意实数6x【例 6】 判断： a为任意数，式子 ， ， 都是非负数 （ ）a23【例 7
16、】 求下 列各数的立方根：(1)27； （2） ； （3）0.216； （4）64158【例 8】 计算：（1） + ； 327431564（2） - - ；64833892631（3） - - ；1275308.3216.（4） +（ ）336421816983【例 9】 求下列各式中的 x.(1)8x3+125=0; (2)(x+5)3=27.【例 10】 若 ，则 = 3)5(x1x【例 11】 求满足 +1=x的 x的值.31x【例 12】 已知一个正方体的棱长是 5 cm,再做一个正方体,使它的体积是原正方 体的体积的 2倍,求所做的正方体的棱长（精确到 0.1 cm）【例 13】
17、一个正方体木块的体积是 125 cm3,现将它锯成 8块同样大小的正方体 小木块,求每个小正方体木块的表面积.第二部分：平方根与立方根【例 14】 下列说法错误的个数是( )负数没有立方根 1 的立方根与平方根都是 1 的平方根是 361的立方根是382A.1 B.2 C.3 D.4【例 15】 x是（ ） 2的平方根,y 是 64的立方根,则 x+y的值为( )9A.3 B.7 C.3或 7 D.1或 7【例 16】 的平方根和立方根分别是（ ）.16A. B. ， C.2， D. ，3416， 23434234【例 17】 的平方根与-8 的立方根之和是（ ）.16A.0 B.-4 C.0
18、或-4 D.4【例 18】 已知： 那么下列各式中正确的是（ ）.330.6941.2， ，A. B. 120694C. D.3014.2306.94【例 19】 设 n是大于 1的整数，则等式 中的 n必是（ ） 21nA大于 1的偶数 B大于 1的奇数 C2 D3【例 20】 如果 ，那么 x的立方根是 .2x4【例 21】 已知 ，则 .35783520【例 22】 已知 ， .014【例 23】 若 ，则 的立方根是 .31.6.【例 24】 若 ，且 ，则 a与 b间关系是 .xy3ay【例 25】 若 =0，则 的立方根是多少？24b【例 26】 已知 =0，求 的立方根。2764
19、33baba)(【例 27】 若 3x+1的平方根是+4，求 9x+19的立方根.【例 28】 若 和 互为相反数（y0） ，求 的值321y34yy【例 29】 y= 是 m+2n的立方根，求 y x的立方根。32nm【例 30】 已知 x-2的平方根是 ， 的立方根是 4，求 的值.42xy1xy【例 31】 如果一个正方体的体积增大为原来的 27倍，那么它的棱长增大为原来的多少倍？【例 32】 如果球的半径是 r，则球的体积用公式 来计算当体积 34rV立方厘米，半径 r是多少厘米？（取 3.14， r精确到 0.01厘米）50V【例 33】 将一个体积为 216 3的正方体，分成等大的
20、 8个小正方体，求每个小正方体的表面积。【例 34】 已知 ， ， （ 为整数， 为正的ba17dc17a,db,纯小数） ，求 的平方根。d【例 35】 已知 ，且 ,求 的值。34a03)12(cb33cba【例 36】 若 是 2mn的立方根，求 m、n 的值。32mn一、同步知识梳理知识点 10：实数的分类 0正 整 数 自 然 数整 数有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数负 整 数实 数 正 分 数分 数 负 分 数正 无 理 数无 理 数 无 限 不 循 环 小 数负 无 理 数有理数和无理数统称为实数.无限不循环小数叫做无理数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样
21、适用于实数.知识点 11：实数的运算在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为 0） 、乘方运算总可以进行，且结果仍为实数.但开方运算不能无条件进行，只有正数和 0才可以开偶次方.在有理数范围内适用的运算律和运算法则，在实数范围内仍可以使用.先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.知识点 12：实数的大小比较(1)性质比较法：正数大于 0，负数小于 0，正数大于任何负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.(2)数轴比较法：在规定向右为正方向的数轴上，右边的点对应的数大于左边的点对应的数.若 ，则 ；abab(3)作差比较： 若 ，则 ；0若 ，则 .若
22、 ，则 ；1abb(4)作商比较： 若 ，则 ；( , ) 若 ，则 .0aa(5)平方法：由 ，可得0bb(6)倒数法：两个正数，倒数大的反而小.二、同步题型分析三、课堂达标检测第一部分：无理数【例 37】 在下列实数中，无理数是（ ）A 0 B C D 6【例 38】 四个数1，0， ， 中为无理数的是（ ）A 1 B 0 C D【例 39】 实数 ， ，0，1 中，无理数是（ ）A B C 0 D 1【例 40】 在下列实数中，无理数是（ ）A 2 B 3.14 C D【例 41】 下列实数是无理数的是（ ）A 1 B 0 C D【例 42】 下列各数中，3.14159， ，0.1311
23、31113 ， ， ，无理数的个数有（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【例 43】 下列说法中，错误的是（ ）A 一点确定一条直线 B 是无理数C 2的相反数是2 D 30的余角是 60【例 44】 ）在实数：0， ， ，0.74， 中，无理数有（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【例 45】 写出一个大于 3且小于 4的无理数 _ 【例 46】 （在数据， ， 中无理数的个数是 个第二部分：实数概念及实数的性质 【例 47】 下列说法中正确的是（ ）A 有理数可分为正数和负数 B 实数可分为有理数，零和无理数C 整数和小数统称有理数 D 实数可分为负数和非负数【例 48】
24、实数 是（ ）A 整数 B 分数 C 无理数 D 有理数【例 49】 以下判断正确的个数有（ ）个（1）有理数和无理数统称实数 （2）无理数是带根号的数（3） 是无理数 （4） 是无理数A 0 B 1 C 2 D 3【例 50】 下面 4种说法：（1）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；（2）一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；（3）两个无理数的和一定是无理数；（4）两个无理数的积一定是无理数其中，正确的说法个数为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【例 51】 下列说法正确的是（ ）A 实数包括有理数、无理数和 0 B平方根是本身的数是 0、1C 无限不循环小数是无限小数 D两个无理
25、数的和是无理数【例 52】 有下列说法：0.64 的算术平方根是 0.8； ；单项式ab 2的次数是 3；2 是单项式； 是 2的平方根；代数式 a2+1的值永远是正的其中正确的个数是（ ）A 3 B 4 C 5 D 6【例 53】 下列说法正确的是（ ）A 81 平方根是9 B 的平方根是9C D 一定是负数【例 54】 有下列说法：任何无理数都是无限小数；有理数与数轴上的点一一对应；在 1和 3之间的无理数有且只有 这 4个； 是分数，它是有理数近似数 7.30所表示的准确数 a的范围是：7.295a7.305其中正确的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【例 55】 若 a为实数，
26、下列代数式中，一定是负数的是（ ）A a 2 B （a+1） 2 C D （|a|+1）【例 56】 a是实数，则下列四个式的值一定是正数的是（ ）A a2 B （a+1） 2 C |a| D a2+1【例 57】 下列说法正确的是（ ）A 无限小数都是无理数 B 带根号的数都是无理数C 无理数都是无限小数 D 有理数只是有限小数【例 58】 实数 b满|b|3，并且有实数 a，ab 恒成立，a 的取值范围是（ ）A 小于或等于 3的实数 B 小于 3的实数C 小于或等于3 的实数 D 小于3 的实数【例 59】 绝对值小于 5的所有整数的和为（ ）A B C 0 D 以上都不对【例 60】
27、的相反数为（ ）A B C D【例 61】 如果 的相反数与 + 互为倒数，那么（ ）A a，b 中必有一个为 0 B |a|=|b|C a=b+1 D b=a+1【例 62】 的绝对值是（ ）A B C D 【例 63】 的相反数是（ ）A B C D 【例 64】 实数 3的倒数是（ ）A B C 3 D 3【例 65】 一个实数 a的相反数是 5，则 a等于（ ）A B 5 C D 5第三部分：实数与数轴及大小的比较【例 66】 如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别是 a、b，则下列式子中成立的是（ ）A a+b0 B ab C 12a12b D |a|b|0【例 67】 实数 a，b
28、，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A acbc B a+cb+c C acbc D 【例 68】 ）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A a+b=0 B ba C ab0 D |b|a|【例 69】 若实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）A acbc B abcb C a+cb+c D a+bc+b【例 70】 实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）A B ab0 C ab0 D ab0【例 71】 如图，数轴上的点 A、B 分别对应实数 a、b，下列结论中正确的是（ ）A ab B
29、|a|b| C ab D a+b0【例 72】 实数 a在数轴上的位置如图所示，则|a2.5|=（ ）A a2.5 B 2.5a C a+2.5 D a2.5【例 73】 若|a|=a，则实数 a在数轴上的对应点一定在（ ）A 原点左侧 B 原点或原点左侧 C原点右侧 D原点或原点右侧【例 74】 能与数轴上的点一一对应的是（ ）A 整数 B 有理数 C 无理数 D 实数【例 75】 如图，数在线的 A、B、C、D 四点所表示的数分别为 a、b、c、d，且 O为原点根据图中各点位置，判断|ac|之值与下列何者不同？（ ）A |a|+|b|+|c| B|ab|+|cb| C|ad|dc| D|a
30、|+|d|cd|【例 76】 下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A 5 B C 1 D 4【例 77】 ）下列实数中，最小的数是（ ）A 3 B 3 C D 0【例 78】 在3，0，4， 这四个数中，最大的数是（ ）A 3 B 0 C 4 D【例 79】 在实数 1、0、1、2 中，最小的实数是（ ）A 2 B 1 C 1 D 0【例 80】 已知甲、乙、丙三数，甲=5+ ，乙=3+ ，丙=1+ ，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（ ）A 丙乙甲 B 乙甲丙 C 甲乙丙 D 甲=乙=丙第四部分：无理数的估算及实数的运算 【例 81】 判断 之值会介于下列哪两个整数之间？（ ）A 2
31、2、23 B 23、24 C 24、25 D 25、26【例 82】 ）如果 m= ，那么 m的取值范围是（ ）A 0m1 B 1m2 C 2m3 D 3m4【例 83】 如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A、B 两点之间表示整数的点共有（ ）A 6个 B 5个 C 4个 D 3个【例 84】 估计 的值在（ ）A 2到 3之间 B 3到 4之间 C 4到 5之间 D 5到 6之间【例 85】 估计 的值在（ ）之间A 1与 2之间 B 2与 3之间 C 3与 4之间 D 4与 5之间【例 86】 若 n= 6，则估计 n的值所在范围，下列最接近的是（ ）A 4n5 B
32、 3n4 C 2n3 D 1n2【例 87】 已知 a、b 为两个连续整数，且 a b ，则 a+b= _ 【例 88】 计算：|6| （1） 2【例 89】 计算：（20）（ ）+ 【例 90】 （22（ ）2|22 |+ 【例 91】 2 3|2|（7+5）【例 92】 计算：（2）（5）（2000）+ 课后练习1. 的值是（ ）A2 B2 C2 D不存在2. 的值等于（ ）A3 B3 C3 D3. 25的算术平方根是（ ）A5 B5 C5 D4. （-4） 2的算术平方根是（ ）A4 B4 C2 D25. |-9|的算术平方根是（ ）A3 B3 C9 D36. 的算术平方根是（ ）16A
33、 B C D41427. 7、 的算术平方根是（ ）A2 B C2 D8. 下列运算正确的是（ ）A|-3|=3 B|-3|=-3 C = D =-39. 一个数的算术平方根为 a，比这个数大 2的数是（ ）Aa+2 B C Da 2+210.使 在实数范围内有意义的 的取值范围是 。2xx11. 函数 的自变量 x的取值范围是（ ）1yA x1 B x1 C x1 D x112. 当 _时， 有意义； 13. 已知 ，则 yx的值为 （ ）0312yxA1 B1 C7 D714. 如果 x的平方等于 a，那么 x就是 a的 ，所以的 a平方根是 。15. 非负数 a的平方根表示为 。16.
34、如果 a的平方根等于 2，那么 _a17. 下列各数中没有平方根的是( )18. A.(-3)2 B.0 C.1 D.-(-2)219.20. 已知 2a-1的平方根是 ，3a+b-1 的平方根是 ，求 a+2b的平方根。3421. 的平方根是 。3622. 若 ，求 的值。210xyxyz,xyz1. 如果 ,那么 =_；83xx2. 当 时，化 简 =_，若 为任意实数，则 =_0aa3a3a3. 满足 的所有整数是：_ 893x4. 8 的立方根与 的平方根之和等于_165. 的立方根是（ ）64A8 B8 C2 D26. 下列计算中正确的是（ ）A. B.50123342763C. D.83 5187. 若 和 互为相反数（y0） ，求 的值31y32xyx8. 设 m0，化简|m|+ .3m一个正方体的体积变为原来的 n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
