1、2012 届高三数学一轮基础知识复习第一部分 集合1 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ ；2 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3 （ 1）含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n1；非空真子集的数为 2n2；（2 ） ;BABA 注意：讨论的时候不要遗忘了 A的情况。4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函数与导数1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多
2、对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ； 判别式法 ； 利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 2baab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ x、 sin、 xco等） ；导数法3复合函数的有关问题（1 ）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域。（2 ）复合函数单调性的判定：首先将原函数 )(xgfy分解为基本函数：内函数 )(gu与外函数 )(ufy；分别研究内、外函数在各自定义
3、域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； )(xf是奇函数 f(x)=f(x) ； )(xf是偶函数 f(x)= f(x)奇函数 在原点有定义，则 0；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义： )(xf在区间 M上是增函数 ,21Mx当 21x时有 12()ffx； 在区间 上是减函数 当 时有 ；单调性的判定
4、 定义法：一般要将式子 )(21xff化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法； 图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意 x，若有 )(xfTf （其中 T为非零常数） ，则称函数 )(xf为周期函数， T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2 ）三角函数的周期 2:sinTxy ； 2:cosTxy ； Txy:tan； |:)(),i( AA ； |:t；(3)与周期有关的结论 )()(axff或 )0()2(axff )(xf的周
5、期为 a2；8基本初等函数的图像与性质幂函数： y （ )R ；指数函数： )1,(yx；对数函数: 1,0(logaxa；正弦函数: sin；余弦函数： ycs ；（6 ）正切函数： xyta；一元二次函数：02bxa；其它常用函数： 正比例函数： )0(kxy； 反比例函数： )0(kxy；函数)(axy；9二次函数：解析式： 一般式： cbxxf2)(； 顶点式： khxaf2)()， ),(为顶点；零点式： )(21a 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴； 端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数 cbxay2的图象的对称轴方程是 abx2，顶点坐标是 abc42
6、2，。10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法图象变换： 平移变换：) )()(axfyxfy， )0(左“+”右“ ”；) ,k上“+”下“ ”； 对称变换： )(xfy )0,( )(xfy； )(xfy 0y)(xf； ； xy； 翻转变换：) |)()(xfyxfy右不动，右向左翻（ )(f在 y左侧图象去掉） ；) |上不动，下向上翻（| x|在 下面无图象） ；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数 )(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2 ）证明函数 )(f与 )(xgy图象的对称
7、性，即证明 )(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然；注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（0,0 ）的对称曲线 C2 方程为： f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为：f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为：f(x, y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR ） y=f(x)图像关于直线 x= ba对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） y=f
8、(x)图像关于直线 x=a 对称；12函数零点的求法：直接法（求 0)(f的根） ；图象法；二分法.(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0 ；6圆的方程的求法：待定系数法； 几何法。 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（ d表示点到圆心的距离） Rd点在圆上； R点在圆内； Rd点在圆外。直线与圆的位置关系：（ 表示圆心到直线的距离） 相切； 相交； 相离。圆与圆的位置关系：（ d表示圆心距， r,表示两圆半径，且 r） rd相离； 外切； dr相交； R内切； R0内含。8、直线与圆相交所得弦长 2|ABrd第六部分 圆锥曲线1定义：椭
9、圆： |)|(,| 2121 FaMF；双曲线： |,| ；抛物线：|MF|=d2结论 焦半径：椭圆： 0201,exaPexa（e 为离心率） ； （左“+”右“-” ） ；抛物线： pF弦长公式： 4)(1212122 xxkxkAB注：抛物线： x 1+x2+p；通径（最短弦）：椭圆、双曲线： ab2；抛物线：2p 。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 12nymx （ n,同时大于 0 时表示椭圆， 0mn时表示双曲线） ；当点 P与椭圆短轴顶点重合时 21PF最大； 双曲线中的结论：双曲线 12byax（a0,b0）的渐近线： 02byax； 共渐近线 的双曲线标准方程为 (为参数
10、， 0） ；双曲线为等轴双曲线 2e渐近线为 xy渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“ x”还是关于“ y”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x1，y 1)、B(x 2,y2)； 作差得 21xykAB；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式） ；（3 ）代入法（相关点法或转移法） ；待定系数法；（5）参数法；（6）
11、交轨法。第七部分 平面向量设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b0)a=b （ )Rx1y2x 2y1=0； ab(a、b 0) ab=0 x1x2+y1y2=0 ab=| a|b|cos=x2+y1y2； 注：|a |cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab 的几何意义：ab 等于|a| 与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。cos= |b；三点共线的充要条件：P ， A，B 三点共线 xy1OPxAB且 ；（理科）P，A，B，C 四点共面 ,zxyzC且 。第八部分 数列1定义：等差数列 *),2(2( 1n1
12、Nnadannn 为 常 数 ） BAsbkan2；等比数列 N)n2,()0(1n-2n1n aqa2等差、等比数列性质等差数列 等比数列通项公式 dnn)1( 1nqa前 n 项和 dnaSnn 2)1(211 qaSqnnn1)(.;1时 ，时 ，性质 an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq ,232kkkSS成 AP ,232kkkSS成 GP m成 AP, d m成 GP, m3数列通项的求法：定义法（利用 AP,GP 的定义） ；累加法（ nnca1型） ；公式法： 累乘法（ nca1型）
13、 ；构造法（ bkan1型） ； 间接法（例如： 44111nnna） ；（理科）数学归纳法。4前 n项和的求法：分组求和法； 裂项法；错位相减法。5等差数列前 n 项和最值的求法： 0011nna或 ；利用二次函数的图象与性质。第九部分 不等式1均值不等式： 2bab注意：一正二定三相等； 变形， 2)(ba。2绝对值不等式： |ba3不等式的性质： ab； c,； cba； da,an= S1 (n=1)Sn Sn-1 (n2)dbca； bdacba0,； bcac0,； ,00; )(Nnn; )(Nnn第十部分 复数1概念：z=a+biR b=0 (a,bR) z= z z20；z=
14、a+bi 是虚数 b0(a,bR)；z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b0(a,bR) z 0 （z0 ） z20 时，变量 yx,正相关； r 0 时，变量 y,负相关； |r 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强； | 接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和： niiy12)(；残差：iiiye；残差平方和： 21)(niyi ；回归平方和： niiy12)( 21)(niyi；相关指数 niiiiiiyR122)(。注： 2R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； 越接近于 1， ，则回归效果越好。5独立性检验（分类变
15、量关系）：随机变量 2K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三部分 算法初步1程序框图：图形符号： 终端框（起止况） ； 输入、输出框； 处理框（执行框） ； 判断框； 流程线 ；程序框图分类:顺序结构： 条件结构： 循环结构：r=0? 否 求 n 除以 i 的余数输入 n 是n 不是质素 n 是质数 i=i+1 i=2in 或 r=0?否是注：循环结构分为：当型（while 型）先判断条件，再执行循环体；直到型（until 型）先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句：输入语句： INPUT “提示内容” ；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式赋值语句： 变量
16、= 表达式条件语句： IF 条件 THEN IF 条件 THEN语句体 语句体 1END IF ELSE 语句体 2END IF循环语句：当型： 直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件第十四部分 常用逻辑用语与推理证明1 四种命题：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q； 逆否命题：若 q 则 p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断：（1 ）定义法-正、反方向推理；（2 ）利用集合间的包含关系：例如：若 BA，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B
17、 的充要条件；3逻辑连接词：且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p或（or ）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真4全称量词与存在量词全称量词-“ 所有的”、 “任意一个 ”等，用 表示；全称命题 p： )(,xM； 全称命题 p 的否定 p： )(,xpM。存在量词-“存在一个”、 “至少有一个”等，用 表示；特称命题 p： )(,； 特称命题 p 的否定 p： )(,；第十五部分 推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类
18、比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论” 是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况； 结 论
19、-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明 综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等） ，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2 间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一
20、个与正整数 n有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当 n取第一个值 0是命题成立；假设当 ),(Nk命题成立，证明当 1kn时命题也成立。那么由就可以判定命题对从 0n开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 0n的取值视题目而定，可能是 1，也可能是 2 等。第十六部分 理科选修部分1 排列、组合和二项式定理排列数公式: mnA=n(n-1)(n-2)(n-m1)= )!(mn(mn,m、n N*),当 m=n 时为全排列n=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!;组合数公式： 123)(1!Cmn（mn
21、）, 10nC；组合数性质： mnnnC;；二项式定理： )()(10 Nnbababa kn通项： );,.2(1rCTnrr注意二项式系数与系数的区别；二项式系数的性质：与首末两端等距离的二项式系数相等； 若 n 为偶数，中间一项（第 2n1 项）二项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项（第 21和 1 项）二项式系数最大； ;2130210 nnnnn CCC(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2. 概率与统计随机变量的分布列：随机变量分布列的性质：p i0,i=1,2,； p1+p2+=1;离散型随机变量：X x1 X2 xn P P1 P2 Pn 期望
22、：EX x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; 方差：DX nnpEXxEX2221 )()()( ;注： DababXE;；二项分布（独立重复试验）：若 XB（n,p） ,则 EXnp, DXnp（1- p）;注： knknpCP)1()( 。条件概率：称 )(|(APB为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。注：0 P（B|A） 1；P(B C|A)=P(B|A)+P(C|A)。独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B） 。正态总体的概率密度函数： ,21)(2)(Rxexf式中 ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（6 ）正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值 21； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线随 质的变化沿 x 轴平移； 当 一定时，曲线形状由 确定： 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦” ，表示总体分布越分散。注：P )(x=0.6826；P )22(=0.9544P 33=0.9974
