1、这些数都是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数平方根:概括 1：一般地，如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根(或二次方根)。就是说，如果 x2a,那么 x 就叫做 a 的平方根。如：23 与23 都是 529 的平方根。因为(23) 2529，所以23 是 529 的平方根。问：（1）16，49，100，1 100 都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?（2）0 的平方根是什么?概括 2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。知识点二：概括 3：求一个数 a(a0)的平方根的运算，叫做开平方
2、。开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是 0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0 的平方是 0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0 的平方根是 0。负数没有平方根。因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。知识点三：（1）625 的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？7 和 7 是哪个数的平方根？正数 m 的平方根怎样表示？（2）下列各数的平方根各是什么？64； 0； (0.4) 2； ； 16； (4) 32)31(（3）已知正方形
3、的面积等于 a,那么它的边长等于多少？3、例题讲解：例 1、求下列各数的平方根：(1)81； (2)1916； (3)0.09。 例 2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。(1)64； (2)0； (3) 24例 3、求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；1014125(4) ； (5).89分析：因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或 0。一、算术平方根的概念正数 有两个平方根(表示为 )，我们把其中正的平方根，叫做 的算术平方aaa根，表示为 。0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，因此 0 的算术平方根是 0，即 。
4、“ ”是算术平方根的符号， 就表示 的算术平方根。 的意义有两点：aa（1）被开方数 表示非负数，即 0；a（2） 也表示非负数，即 0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即 0 时， 无意义。a(3) “ ”同时是一种运算方式。如： 3，8 是 64 的算术平方根， 无意义。96既表示对 9 进行开平方运算，也表示 9 的正的平方根。二、平方根与算术平方根的区别在于：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数 的平方根表示为 , 正数 的算术平方根表示为 ；aaa取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数
5、的平方根是一正一负0 的平方根与算术平方根都是 0三、例题讲解：例 1、求下列各数的算术平方根：(1)100； (2) ； (3)0.81649例 2、求下列各数的平方根和算术平方根。144 324 0 0.25 10.0144 400 6.25 62注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的分析：求平方根是开方运算，我们可以通过平方运算来解决。算术平方根是非负数，即当 0 时， 0(当 0 时， 无意义) aa用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为 ( 应是非负数)、边长为a的正方形就表示 的算术平方根。 a这里需要说明的是，算术平方根的符
6、号“ ”不仅是一个运算符号，如 0 时， 表a示对非负数 进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数 的正的平方a根。 3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数 x 的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做aa三次方根） ，即如果 ，那么 叫做 的立方根3x（2）一个数 的立方根，记作 ，读作：“三次根号 ”，aa其中 叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（3） 一个正数有一个正的立方根；0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数
7、的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。330a（5） x3axa 是 x 的立方 x 的立方是 ax 是 a 的立方根 a 的立方根是 x（6） ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33【典型例题分析】知识点一：有关概念的识别1、下列说法中正确的是（ ）A、 的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、 =1 D、 是 5 的平方根的相反数2、下列语句中，正确的是（ ）A一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B负数没有立方根 C一个实数的立方根不是正数就是负数D立方根是这个数本身的数共有三个 3、下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2，3y364。其中正确的有 （ ）482A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个4、 的平方根是（ ）0.7A B C D0.70.70.495、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）A、2 与 B、2 和 C、 与 2 D、2和 2)(381知识点二：计算类题型1、25 的算术平方根是_；平方根是_. -27 立方根是_. _， _， _.2、 ； ； = . = .2)4(3)6(2)196(383、 +3 5 ( - ) 71 | | + | |- | | 2323141)2(8333278,.14,0.1,1.40.2,78 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数
