1、1关键词 教法建议/平方根 /立方根标题 平方根和立方根平方根和立方根一.教法建议【抛砖引玉】本单元也是本章主要学习平方根，立方根的概念及其求法，实数的概念。在引入平方根的概念时，从同学们熟悉的实例入手，讲清概念，可是，对于数的平方根，有两点学生一开始不太习惯：一是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到（0 作除数的情况除外），在教学中，可以通过实例说说以上两点，并在以后教学中继续强化这两点。平方根与算术平方根是既有区别又有联
2、系的两个概念，在教学中要结合实例，讲清它们的联系与区别，以有助于学生了解这两个概念。加深对算术根的理解，防止两个概念间的混淆。为了学好开平方运算，在教学时，可先复习一下已学过的加、减、乘、除、乘方等五种运算，强调加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，在此基础上通过具体问题引出开方运算，并指出开方与乘方互为逆运算。以旧引新，新旧交融，既复习了可学知识，又可使学生在六种代数运算这个整体中来认识开方运算，通过例题习题教学，进一步巩固可学概念，加深对概念的理解，紧接着讲授查平方根表求数的平方根方法。为此，在教学中，详细介绍平方根表的构造，懂得查表的要领，并懂得查表的方法的某些原理（如小数点位置的
3、移动规律），对学好查平方根表十分重要。1 与 100 之间的数的算术平方根可直接查表求得，那么，小于 1 或大于 100 的正数的算术平方根必须转化为 1100 之间的数也可从表中查得。在转化过程中必须熟练掌握小数点移动规律，才能查表既快又准。立方根和立方根表也是本单元学习的重要内容之一，在教学中，应突出立方根与平方根的对比，这样既有利于弄清两者的区别与联系，把知识学得更好，又可提高教学效益。查立方根表也要与平方根表进引类比，将小数点移动规律等进行比较，可向学生指出：一般来说，移动的数位与根指数是一致的。在查表教学中要多练习，以便掌握查平方根表、立方根表的规律。从有理数到实数，这是数的范围的一
4、次重要扩充，对今后学习数学有着重要意义。在中学阶段，多数数学问题是在实数范围内进行研究的。在教学中，对所学过的有理数进行摘要归纳，强调有理数包括有限小数和无限循环小数，然后举例说明有些数不能表示成有限小数和无限循环小数的形式，从而引出无理数的概念。为了使学生认识无理数是一种与有理数不同的数，可强调一下“无限不循环小数”与无限循环小数的差别，前者不能化成分数，而后者可以化成分数，进一步介绍实数的两种分类方法，要标准相同，不重不漏，在实数范围内与在有理数范围内一样，可以规定一个数的相反数和绝对值。教学中，可以从复习入手，然后指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，并通过例、习
5、题来巩固，适当加深对它们的认识。关于实数的运算，在教学中可强调两点：一是关于有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的运算，可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算。【指点迷津】平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有 1 个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数，因此可根据它的算术平方根立即写出它的负平方根，从而可使我们根据数值唯一确定的算术平方根来研究平方根，此外，由于 0 只有一个平方根，它的平方根和算术平方根是一回事。鉴2于两个概念的上述联系，教学时，先讲平方根，后讲算术平方根，有利于学生学好这
6、两个概念。被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化关系。这是一个难点，在教学中，可考虑适当放慢节奏，多举实例，多练习，多使学生懂得这一关系，懂得查表中小数点移动法则，提高计算的准确性，对于查立方根表，被开方数是小数或是整数，由于小数点移动是一个难点，在移动的方向和数位上容易混淆出错，因而在学生做练习和习题时应要求他们按照教科书中例题的格式书写，熟练后再直接写出得数，对于突破抽象程度较高的实数这一难点，引导学生将所学知识联系起来，注意数形结合，用数轴上的点来表示无理数，这对学生了解无理数的几何意义，认识无理数的存在性有一定的意义。二.学海导航【思维基础】一.回答下列问题1.平方
7、根：如果一个数的 等于 a，这个数就叫做 a 的平方根或 ，即x2=a，则 x 就叫做 a 的平方根。2.平方根的个数：(1)一个正数有 个平方根，它们互为相反数；(2)0 有 个平方根，它是 0 本身；(3) 没有平方根。3.平方根的表示：一个正数 a 的正的平方根，用符号“ ”表示，a 叫做 ，2 叫2做 ；正数 a 的负平方根用“ ”表示，根指数是 2 时，通常略去不写，如2记作 ，读作“根号 a”， 记作 ，读作“正负根号 a”a2 a4.算术平方根：正数 a 的 也叫 a 的算术平方根，记作 。0 的平方根也叫 0 的算术平方根。5.开平方：求一个数的 的运算。6.小数点移动规律：如
8、果一个正数的小数点向右或者向左移动 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 。二.1.立方根：如果一个数的 等于 a， 这个数就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根），即若 =a，则 x 就叫做 a 的立方根。(1)数 a 的立方根的表示：用“ ”表示，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，33 是 。(2)立方根的个数：正数有 立方根，负数有 立方根，0 的立方根是 。2.开立方：求一个数的 的运算，开立方与立方互为逆运算。3.小数点移动规律：把被开方数的小数点向右或者向左移动 ，则立方根的小数点就要向相应的方向移动 。三.1.无理数： 小数，如 314592142356.,.
9、 1.010010001等都是无理数。2.实数： 和 统称。(1)实数正有理数0负有理数正无理数负无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数(2)实数正实数0负实数33.实数中的几个概念：(1)相反数：a 与a 互为相反数，0 的相反数是 0(2)倒数：若 a0 则 称为 a 的倒数。(3)绝对值：一个正实数的绝对值是它 ；一个负数的绝对值是它的 ；0 绝对值是 。如 等。22,4.实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点是 对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。5.实数运算：有关有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。6.
10、近似计算：当遇到无理数，并且需求出结果的近似值时，可按需求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行 。【学法指要】例 1.(1) 的平方根是 。81(2)求下列各数的平方根和算术平方根。();()iix2312(3)一个自然数的一个平方根是 m，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）(A) (B) (C) (D)m111m21思路分析：(1)首先应理解平方根的概念即若 x2=a，则 x 就是 a 的平方根。其次要理解 表示什么意思，即 81 的正的平方根，那么 81 的算术平方根是多少呢？8因为 92=81，( 9) 2=81，所以 81 的平方根是9，算术平方根是 9，即 =9，因
11、此原题8意是求 9 的平方根，即 ，所以 的平方根是3。381(2) 是一个正数。)i32它有平方根()(23) 2 的平方根为23，算术平方根是 23) )()ixxx1121对上述代数式必须进行分析，它的值是否是非负数，不然，就没有平方根和算术平方根，因此，要分两种情况讨论。当 x1 时， 0，所以它没有平方根和算术平方根；2x当 x1 时， =0，所以它的平方根和算术平方根都是 0。1(3)一个自然数的一个平方根是 m，那么它的另一个平方根为m。这个自然数为(m) 2=m2紧跟它后面的自然数为 m2+1 ,()2 2114紧跟它后面的一个自然数平方根为 ,故应选(D)m21由上观之,解决
12、一个数的平方根及算术平方根问题,必须弄清楚这两个概念,能找到思路。例 2.(1)如果将一个数扩大到原来的 100 倍它的算术平方根就 到原来的倍。(2)已知 23615236485.,.(i)求 的值；0和 .(ii)若 ,求 x 的值；x48(iii)若 ，求 a 的值；a6(3)已知 21523.,.求 的值（精确到 0.01）0思路分析：(1)一个数是什么？题设未告知，必须弄清这个数是正数，才能研究它们之间的倍数问题，为此。设这个原数为 x(x0)则 所以，它的算术平方根扩大到原来的 10 倍。10x(2)本例牵涉到查平方根表问题，必须弄清楚查表前与查表后小数点的移动规律，对这一类问题才
13、能找到入口处。根据课本 P126 所述：“如果正数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位”。应用这一规律，下面各题便迎刃而解。().,. .i2361023650123648524().ixx0236485又.()., .iaa236115402401452361738又例 3.(1)求值：5()()().,(); .iii830642117383 3下 列 四 种 说 法 其 中 正 确 的 是 的 算 术 立 方 根 是 的 立 方 根 是 和 无 立 方 根 互 为 相 反 的 两 个 数 的 立 方 根 互 为 相 反 数(A) (B) (
14、C) (D)(3)若 2.7313=20.37,则 0.027313= 若 405120.,.,xx则思路分析：(1) ()i833(ii)当被开方数是带分数时，应先化成假分数，再求根。3 337206404()().i(2)根据算术根的概念知：1 的算术立方根是 1 是正确的。根据课本 P140 所述：“正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根仍是 0”，由此知是不正确的。把立方根与平方根两种截然不同的概念混淆所以，必须引以为诫，千万要把概念弄清楚，才能避免各种错误产生。根据的分析知，负数有一个负立方根，所以也是不正确的；因为“正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根。”由
15、此可判断是正确的。故答案应选(C)例 3.(1)下面说法中，正确的是（ ）(A)无限不循环小数都是无理数(B)带根号的数都是无理数(C)无理数都是带根号的数(D)无限小数都是无理数(2)下列命题中错误的是（ ）(A)每一个整数都对应着数轴上的一个点(B)每一个无理数都对应着数轴上的一个点(C)数轴上的每个点都对应着一个实数(D)有理数和数轴上的点一一对应(3)下列说法正确的是（ ）(A)若 a 为实数，则 a 大于 a(B)任何负数的倒数都小于它的相反数(C)任何实数的平方都是正数(D)任何实数的立方都是正数思路分析：(1)无理数的概念是：“无限不循环小数是无理数。” 由此可知(A)符合条件，
16、(B)、(C) 、(D)不符条件，应淘汰，故正确答案应选(A)(2)采取特例法取 a=0,那么a=0, a 不大于a，(A)不正确，a 2=02=0，不是正数，(C) 不正确。6a3=03=0 不是正数，(D)不正确。因为负数的倒数仍然是负数，而负数的相反数为正数，正数恒大于负数，(B)正确。采取特例法（特殊值、特殊点、特殊图形、特殊线等）是解选择题的常用方法，省时，省力，又方便。只需要根据限制的条件及范围内，取其特殊值进行验证结论是否正确，便可找到答案，对解选择题，因题而异，正确选择特例未能，但千万不要视为金科玉律，不然就会弄巧成拙。【思维体操】例 1.(1)已知 305472.,.则(2)
17、已知 那么 x 的值是（ ）289605376,x(A)2.890 (B)0.289 (C)0.0289 (D)0.00289思路分析：(1)要求 ，必须转为能引用上已知条件 才行，由于. 3027013.30547216430571362895376022.().,()xxD应 选(1)由未知向已知转化，(2)也是由未知转化，(1) 的转化自然、简单。(2) 的转化就比较烦琐，有点牵强附会。若掌握小数点的移动规律，答案可脱口而出。正确的选择简捷的思路十分重要，怎样能找到简捷的思路呢？没有捷径可走，只有勤学苦练，扎实功底，在实践中学习，苦练出秘诀，要记住：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。例 2
18、.已知 a、b 为实数，且 a2+b24a2b+5=0，求 ab1思路分析：本例由 a2+b24a2b+5=0 为条件，根据条件求 的值。必须求出a、b 的值才能找到思路，如何求 a、b 的值呢？通常“遇到平方想配方”将已知等式配成完全平方形式，采用非负数的性质求解比较方便。本例符合这特征，采取上述方法理所当然。abab2222504111()(), 到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值，算术平方根，平方数，它们有独特性质；若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数7及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用。例 3.设 a、b 互为相
19、反数，c、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则化简的结果是 。cdm()a、b 互为相反数，a+b=0 c、d 互为倒数，cd =1m 的倒数等于它本身， m =1 或当 m=1 时， c()1010当 m=1 时， dab()12三.智能显示【心中有数】本单元的重点是平方根，算术平方根的概念及求法。因此，要了解数的平方根、算术平方根概念，并能用根号表示它们，能用平方与立方运算求某些数的平方根与立方根。了解平方根表与立方根表的构造，会查表求一个数的平方根与立方根，要掌握小数点的移动规律，才能迅速，准确的查平方根表与立方根表。要了解无理数的意义，会按要求对实数进行分类，要不重不漏，了解实数的相
20、反数和绝对值的意义，了解实数与数轴上的点一一对应的关系，了解有理数的运算律与运算性质在实数范围内仍然成立。本单元也是本章之前是在有理数范围内研究问题，之后便是在实数范围内来研究问题在这个新的起点上，一定要更加扎实的学好新内容数的开方，又要复习好旧内容，抓住对其中平方根，算术平方根，无理数，实数等主要概念的学习，并运用对比手段弄清有关概念之间的联系与区别。【动脑动手】1.(1)设 m0，化简 m23(2)已知： ，指出化简后， M 得出不同的值时，a、bMab20(,)的取值范围。当 M=a+b 时，a ,b ;当 M=ab 时,a ,b ;当 M=a+ b 时,a ,b ;当 M=(a+b)时
21、,a ,b ;2.已知 ，求实数 a、b329023.已知： 是 m+n+3 的算术平方根， 是 m+2u 的立Amn3Bmnu23方根，求 BA 的立方根。4.某人用一架不等臂天平称一块铁 G 的质量，当把铁块放在天平的左盘中时，称得它的质量为 0.4 千克；当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为 0.9 千克，求这一铁板的实际质量。5.实数 a、b、c 在数轴上的位置如图：化简 abca揭示思路：（答案可在网上交流）810323.(),mm (2)a0,b0；a0,b0；a0,b0；a0,b0；2.3290()a 32b a或a=3,b=63.依题意，得mn=2m2n+3=3解得：m=
22、4,n=2A=3 ，B=2BA=2 3= A3314.设不等臂天平的左，右臂的长分别为 l1,l2，铁块的实际质量为 m 千克，由题意，得lm12049. 得 m2l1l2=0.36l1l2即 m2=0.36036.答：铁板的实际质量为 0.6 千克。5.观察数轴可知：a0，cb0ab0,bc0,c a0 =ab+bc+ ca=0【创新园地】1.若 是一个非负数，则 x ；x92.若 是一个非负数，则 x ;x3.若 + 在实数范围内有意义，则 x 。4.若 在实数范围内有意义，则 x 。35.若 在实数范围内有意义，则 x ;456.若 (a0,b0) 在实数范围内有意义，则 x ;axb7.已知 ，则 x ,y= ;y21138.已知 ，则 x ,y= ;29.已知 ，则 x ,y= ;yaxb10.已知 求 的值。1920123,yxy揭示思路：（答案可在网上交流）1.x0; 2.x0; 3.x=0; 4.x=0; 5.x=0; 6.x=0;7. y23,8. 19. xy,10.欲使 成立。xx1920123,必须：x 21故 x 当且仅当等于 ，即 ， （7、8、9 三题均可参照上述步骤求解）x12y3yyxyxyyyxy()()()22213612
