1、,因式分解概念及提公因式法1,分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果: (口答),温故知新,(1),(2),(3),乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc,每一项都必须含有相同因式m。,现逆用乘法分配律,各项除以相同因式 m后剩下的因式。,1、m可以是数字、字母、多项式。,2、逆用的条件与结论都不一样。,定义,一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。,想一想：分解因式与整式乘法有何关系,注意：,1.因式分解不是运算,是一种多项式的变形；因式分解与多项式乘法互为逆变形。,2.因式分解必须在整式范围内进行，否则不属于因式分解；,3.
2、利用整式的乘法可以验证因式分解是否正确.,想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?,分解因式与整式乘法是互逆过程,几个整式的积m(a+b+c),一个多项式 ma+mb+mc,整式乘法,因式分解,练习一.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪些不是?为什么？ 1）x 2 y 2+1=(x +y )(x -y )+1 2）6x2y3=3xy2xy2 3）,(不是）,(不是）,(不是）,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,是,不是,是,不是,不是,不是,不是,下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？,探索新知,公因式的定义：一个多项式各项都含有的相同因式, 叫做这个多项式各项的公
3、因式.,多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。,怎样确定多项式的公因式？公因式与多项式的各项有什么关系？,公因式：,1、找出下列多项式中各项中含有的相同因式.,探索新知,正确找出多项式各项公因式的关键是：,1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2、定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂,说出下列各多项式的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx - 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab .,m,4k,5y2,ab,一定系数 二定字母 三定指数,
4、找一找: 下列各多项式的公因式是什么？,（3）,（a）,（a2）,（2(m+n)）,（3mn）,（-2xy）,(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2, 7x2 -21x 8 a 3 b2 12ab 3 + ab m b2 + n b 7x 3y2 42x2y 3 4a2 b 2a b2 + 6abc,说出下列各式的公因式：,7x,ab,b,7x2y2,2ab,指出下列各多项式中各项的公因式ax+ay-a （ ）5x2y3-10x2y （ ）24abc-9a2b
5、2 （ ）m2n+mn2 （ ）x(x-y)2-y(x-y) ( ),独立练习 巩固新知,a,5x2y,3ab,mn,x-y,如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.,概念引入：,因式分解：,把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。,解:,公因式,多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式,提公因式法,热身运动,1.填空:（口答）,(1),(2),(3),(4),例1 把 9x2 6xy+3xz 分解因式.,=,3x3
6、x - 3x2y + 3xz,解：,=,3x (3x-2y+z),9x2 6 x y + 3x z,方法步骤： 找出 公因式； 提出 公因式，（即用多项式中每一项除以公因式）,例2: 分解因式 8ab-12abc+ab,解: 原式=ab8a-ab12bc+ab1=ab(8a-12bc+1),判断下列分解因式正确吗 2x+3x+x=x(2x+3x) 3ac-6ac=3a(c-2ac),X(2X+3X+1),3ac(1-2a),注意: 提取公因式后： (1)另一个因式不能再含 有公因式(2)另一个因式的项数与原多项式的项数一致,我做得对吗？,不要漏掉1,如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在
7、提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。,例3. 把 -24x3 12x2 +28x 分解因式.,当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。,解：原式=,=,提负号 要变号,(24x34x+12x24x-28x4x),(6x2+3x-7),=,练习. 将下列各式分解因式：, 25x-5 3 x3 - 3x2 9x 8a 2c+ 2b c - 4a 3b3 + 6 a2 b - 2ab - 2x2 12xy2 +8xy3,练习 把下列各式分解因式：,a,提公因式法分解因式,正确的找出多项式各项的公因式。,注意：,1
8、 多项式是几项，提公因式后也剩几项。 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因 式后剩余的项是1。 3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。,怎样正确多项式各项的公因式？,1、公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 字母：2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 注： 多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式 。,系数：,2.把下列各式分解因式：,(1),(2),(3),牛刀小试,练习二:分解因式 a+ab-ac-2x+4x+2x,=a(ab+c),=2x(
9、x2x1),例4：把2a(b+c)-5(b+c)分解因式,(b+c),(b+c),解： 2a(b+c)5(b+c)= (b+c)(2a-5),注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式。,练习三、把下列各式分解因式： （1）x(a+b)+y(a+b) （2）3a(x-y)-(x-y) （3）6(p+q)2-12(p+q),解：（1）原式=(a+b)（x+ y）（2）原式=(x-y)（3a-1）（3）原式=6(p+q)(p+q-2),确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑:1.各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;2.字母取各项相同的字母,而且各字母的指
10、数取次数最低的,华山论剑,4. 把下列各式分解因式：,(1)ax+xy=( )( ),(2)3mx-6my =( )( ),(3)x2y+xy2=( )( ),(4)15a2+10a=( )( ),(5)12xyz9x2y2=( )( ),x,3m,xy,5a,3a+2,3xy,4z-3xy,将下列多项式因式分解:,a+y,x-2y,x+y,(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( ),b+c 2a-3,小结:本节课我们学习了哪些知识?,3、确定公因式的方法,（1）系数取各项的最大公约数（2）字母取各项相同字母（3）指数取各项相同字母的最低次幂,4、提公因式法分解因式的步骤,（1）确定公
11、因式 （2）用公因式去除多项式的各项得另一因式 （3）写成这两个因式的积的形式,1、什么叫做公因式？,2、什么叫提公因式法？,2、确定公因式的方法：,小结,3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：,1、什么叫因式分解？,(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数,第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.,4、提公因式法分解因式应注意的问题：,（1）公因式要提尽；,（2）小心漏掉1;,（3）提出负号时,要注意变号.,1、确定公因式的方法： （1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 （2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 （3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。,小结,2、
12、提公因式法分解因式： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式,即用多项式除以公因式.,再见,因式分解概念及提公因式法2,教学过程：,一、复习提问：,1、把 化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解。,2、因式分解与 是互逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验,一个多项式 几个整式的乘积,整式乘法,整式乘法,回顾与思考,1 多项式的分解因式的概念： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.2 分解因式与整式乘法是互逆过程.3 分解因式要注意以下几点: 分解的对象必须是多项式. 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式., a c+ b c 3 x2 +x 30 m b2 + 5
13、n b 3x+6 a2 b 2a b2 + ab 7 ( a 3 ) b ( a 3),下列各多项式有没有共同的因式？,c,x,5b,3,ab,a-3,提取公因式法,1、 中各项的公因式是 _。,公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。,3xy2,找公因式的方法：1：系数为 ； 2、字母是 ； 3、字母的次数 。,各系数的最小公倍数,相同字母,相同字母的最低次数,练习：5x225x的公因式为 ； 2ab24a2b3的公因式为 ， 多项式x21与(x1)2的公因式是 。,5x,-2ab2,x-1,如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成
14、乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。,提取公因式法,练习： 1、把多项式m2(a2)+m(2a)分解因式等于（ ） A(a2)(m2+m) B(a2)(m2m) Cm(a2)(m1) Dm(a2)(m+1),C,例1、把下列多项式因式分解： 25x2y3-15x2y2 9a(a-b)2-15(b-a)38xmyn-1-12x3myn mn(m-n)-n(n-m)2(b-a)2-2a+2b a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y),例2、把下列多项式因式分解： 6a3b2-3a2b3-18a2b3 -4x2yz-12xy3z+4xyzm(1-x)-n(x-1)+p(1-x)-
15、ab(a-b)2+a(b-a)2-a(a-b)2,例3、把下列多项式因式分解： m2-mn+mx-nx am+bm+an+bn+a+ba2b2-a2-b2+1 10a2x+21xy2-14ax2-15ay22x2(-2x+9)-28x m2-mn+5n-5m(用两种方法),1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算：4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知 a+b=3, ab=2,求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 21 am+7a m-1分解因式 5、解方程.（x-4)2-(4-x)(8-x)
16、=12 6、化简：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+.+x(1+x)2015,例4、分解因式的应用,(1) 13.80.125+86.21/8,(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.,解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2)=0.125100=12.5,解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15,因式分解应用,拓展运用：,6.已知1xx2x3=0. 求xx2x3x4x2015的值.,解：原式x(1xx2x3) x5(1xx2x3) x2012(1xx2x3) 0,6、分解因式：,4xmynb6xm1yn22xm2yn1,
17、a(xyz) b(zxy) c(xzy),(5x2y)2 (2x5y)2,解：原式2xmyn,(2b3xy2x2y),解：原式(xyz),(abc),解：原式25x220xy4y24x220xy25y229x229y229(x2y2),3.试说明:817279913能被45整除.,解：原式(34)7 (33)9 (32)13=328327326=326(3231)=3265=32545 817279913能被45整除.,（1）,（2）,（3） 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?,谢谢 再见,作业1、把下列多项式因式分解： 6(x-2)+x(2-x) 24a(a-b)2+18
18、(b-a)2 (x-y)2-(y-x)3 (m+1)(m-1)+(m-1)(a-3)2-2a+6 15x(a-b)2-3y(b-a) -4a3+4a2-16a 2x3+x2-6x-3 (用两种方法),作业2、把下列多项式因式分解： -1/5abc+1/5ab2-a2bc 2x(x-y)2-4x2(y-x)2 (x-y)3-2z(y-x)2 (m-n)4-m(n-m)3+n(n-m)3 3x(a+2b)-6xy(2b+a) 7x2-3y+xy-21x(用两种方法),作业3、把下列多项式因式分解： xyz2-xy2z+x2yz (b-a)2-2a+2b (2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b) 5(x-Y)3+10(y-x)215x(a-b)2-3y(b-a)2 4a2+2ab+6a+3b(用两种方法),作业4、把下列多项式因式分解： 3ax+4ay+3bx+4by -2xy-4x2y+8y3y-3x2+12x3-3x -4a2-6ab-2a-8(a-b)3-4(a-b)2+2(a-b)2ax-10ay+5by-bx(用两种方法),
