1、1二元一次方程组一、知识点1、二元一次方程：定义：含两个未知数且未知项的最高次数是 的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：含 未知数；未知项的最高次数是 ；分母不含 。使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的 ；2、二元一次方程组：同时满足以下条件的方程组就是二元一次方程组：共含两个未知数；未知项的最高次数是 ；分母不含 。同时使 方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。二元一次方程组的解法：基本思路是 。 消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二
2、元消去一元，再求解一元一次方程；消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。列方程解应用题的一般步骤是： ；关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。二、例题例 1 若 .,1325 的 值求是 二 元 一 次 方 程 ayax【类题训练】1已知 是二元一次方程，则 =_ =_523bayx ab2若 =1 是关于 的二元一次方程，则 =_； =_.131nmn yx, mn3如果 是二元一次方程，那么 的值是_ 206004432n
3、32例 2、已知等式(2A7B)x+(3A8B)=8x+10，对一切实数 x 都成立，求 A、B 的值。例 3、如果方程组 无解，则 a 为1293yxaA.6 B.6 C.9 D.9例 4、已知方程组 ，试确定 的值，使方程组：cyax27ca、2（1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解例 5、二元一次方程 有一个公共解 ,则 m=_,n=_;343xmyxny和 1xy例 6、关于 的方程 ，对于任何 的值都有相同的解，试求它的解。yx、 3623kyxk例 7、若方程组 的解之和： x+y=5，求 k 的值，并解此方程组.34523kyx例 8、若关于 x，y 的二元一次方程组 31
4、xya的解满足 2xy ，则 a 的取值范围为_例 9、若关于 x、y 的二元一次方程组 的解 x、y 互为相反数，求 m 的值 352718xym，3例 10、已知方程组 有非负整数解，求正整数 m 的值，并解该方程组。62ymx例 11、若方程组 的解是 ，求方程组 的解。2211cybxa154yx2211957cybxa例 12、如果关于、的二元一次方程组 的解是 ，试解方程组21365byxa34yx21)()(365yxba例 13、已知方程组 由于甲看错了方程 中的 得到方程组的解为4axy， (1)2+b=， a乙看错了方程中的 b 得到方程组的解为 若按正确的 、b 计算，6
5、xy， 4.xy， a4求原方程组的解例 14、上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知 3 米长的布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 600 米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？例 15、某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。（1） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利
6、 7 元，该商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 例 16、奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择如果买 4 个笔记本和2 支钢笔，则需 86 元；如果买 3 个笔记本和 1 支钢笔，则需 57 元（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10 支，那么超出部分可以享受 8 折优惠，若买 (0)x支钢笔需要花 y元，请你求
7、出 y与 x的函数关系式；5（3）在（2）的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过 10 个，请帮小明判断买哪种奖品省钱 例 17、现有 A、B、C 三种型号的产品出售，若售 A3 件，B7 件，C1 件，共得 315 元；若售A4 件，B10 件，C1 件，共得 42 元。问售出 A、B 、 C 各一件共得多少元？例 18、为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售给农户的型冰箱和型冰箱在启动活动前一个月共售出 960 台，启动活动后的第一个月销售给农户的型和型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长 30%、25%，这两种型号的冰箱共售出 1228 台。（1）在启动活动前的一个月，
8、销售给农户的型冰箱和型冰箱分别为多少台？（2）若型冰箱每台价格是 2298 元，型冰箱每台价格是 1999 元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的 13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的 1228 台型冰箱和型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留 2 个有效数字）？例 19、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A、 B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所 类学校和两所 类学校共需资金 230 万元；改造两所 A类学校和一所 B类学校共需资金 205 万元（1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若
9、该县的 类学校不超过 5 所，则 B类学校至少有多少所？6（3）我市计划今年对该县 A、 B两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不少于 70 万元，其中地方财政投入到 A、 B两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？例 20、 、A 、 B、C 、D、E 五人到商店去买东西，每人都花费了整数元，他们一共花了 56 元。A、B 花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是 19 元，B、C 花费的差额是 7 元，C、 D 花费的差额是 5 元，D、E
10、 花费的差额是 4 元，E 、A 花费的差额是 11 元。问：E 花费了几元？为什么？1、A，B 花费的差额（即两人所花的钱的绝对值，下同）是 19 元，2、B，C 花费的差额是 7 元，那么 A,C 差距要么 26 元，要么 12 元3、C，D 花费的差额是 5 元，那么 A,D 差距要么 31 元，21 元，17 元，7 元4、D，E 花费的差额是 4 元，那么 A,E 差距要么 35 元，要么 27 元，要么 17 元，要么 25元，要么 21 元，要么 13 元，要么 3 元。要么 11 元对应题目：5 、E，A 花费的差额是 11 元所以有：6、 A，B 花费的差额（即两人所花的钱的
11、绝对值，下同）是 19 元；A,C 差距 12元；A,D 差距 7 元；E，A 花费的差额是 11 元所以以 B 为原点画数轴，那么 A 在 19,C 在 7，D 在 12，E 在 819+7+12+8=46 与 56 差距 10 元，每人加 2 元就正好所以 E 花费了 8+2=10 元例 21、某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2 千克 A 水果，4 千克 B 水果；乙种搭配：3千克 A 水果，8 千克 B 水果，1 千克 C 水果；丙种搭配： 2 千克 A 水果，6 千克 B 水果，1 千克 C 水果。已知 A 水果每千克 2 元，B 水果每千克 1.2 元，C 水果每千克 10 元。某
12、天该商店销售这三种搭配水果共 441.2 元，其中 A 水果的销售额为 116 元，问 C 水果的销售额为多少元？解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是 x、y、z 套则由题意得2(2x+3y+2z)=1168.8x+25.6y+21.2z=441.2，即2x+3y+2z=58 722x+64y+53z=1103 由-11 得 31（y+z）=465 ，即 y+z=15所以，共卖出 C 水果 15 千克，C 水果的销售额为 1510=150（元）答：C 水果的销售额为 150 元例 22、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做
13、 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周才能完成，需工钱 4.8 万元。若只选一个公司单独完成，从节约开始的角度考虑，该人是选甲公司还是选乙公司？请说明理由。设:甲公司单独做 X 周完成,乙公司单独做 X 周完成则:6*(1/X+1/Y)=14*1/X+9*1/Y=1解得:X=10 周,Y=15 周设:甲公司每周工资 A 万元,乙公司每周工资 B 万元则:6(A+B)=5.24A+9B=4.8解得:A=3/5 万元,B=4/15 万元则:甲公司单独做需工资:10*3/5=6 万元,乙公司单独做需工资:15*4/15=4 万元所以:从节约资金角度考虑,韦武应选乙公司单独做.例 23、甲、乙分
14、别自 A、B 两地同时相向步行，2 小时后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速度都提高了 1 千米/小时。当甲到达 B 地后立即按原路向 A 地反行，当乙到达 A 地后也立即按原路向 B 地反行。甲、乙两人在第一次相遇后 3 小时 36 分钟又再次相遇，则 A、B 两地的距离是多少千米。设 A 的速度为 X，B 的速度为 Y，AB 距离就是 AB2X+2Y=AB3.6(X+1)+3.6(Y+1)=2ABAB=36例 24、某次数学竞赛前 60 名获奖。原定一等奖 5 人，二等奖 15 人，三等奖 40 人；现调为一等奖 10 人，二等奖 20 人，三等奖 30 人。调整后一等奖平均分数降低 3 分
15、，二等奖平均分数降低 2 分，三等奖平均分数降低 1 分。如果原来二等奖比三等奖平均分数多 7 分，求调8整后一等奖比二等奖平均分数多几分？答案是 5，过程：设原来一，二，三等奖的平均分分别是 a,b,c则调整后分别是 a-3,b-2,c-1要求的是（a-3）-(b-2)=a-b-1又可知 b-c=7，即 c=b-7首先要明确一个问题，那就是不论获奖分数是否调整前 60 名的总分是不变的，故有：5a+15b+40c=5(a-3)+15(b-2)+30(c-1)化简得：2c=a+b-20,把 c=b-7 代入，得：a-b=6,故 a-b-1=假设一等奖，二等奖 ，三等奖原来的平均分分别是 x,y
16、,z，那么调整之后一二三等奖的平均分分别是 x-3,y-2,z-1,根据题目，我们知道 y=z+7。根据前六十名总分不变，我们得到：5x+15y+40z=10(x-3)+20(y-2)+30(z-1)整理之后得到：x+y=20+2z用 z=y-7 代替 z 就有 x=y+6调整后的一二等奖是 x-3,y-2,那么就有（x-3）（y-2）x-y-1=y+6-y-1=5三、巩固练习1.二元一次方程 有一个公共解 ,则 m=_,n=_;343xmyxny和 1xy2已知 ,那么2|()0ab_ab3.已知二元一次方程组为 ，则 _， _.78xyxyxy4.若方程组 的解 与 相等，则 _.431.
17、axy，（ ） a5.有一个两位数，减去它各位数字之和的 3 倍，值为 23，除以它各位数字之和，商是 5，余数是 1，则这样的两位数（ ）A不存在 B有惟一解 C有两个 D有无数解6.4x+1=m(x2)+ n(x5),则 m、 n 的值是A. B. C. D.141437n37nm97.如果方程组 无解，则 a 为1293yxaA.6 B.6 C.9 D.98.以方程组 的解为坐标的点 在平面直角坐标系中的位置是（ ）1yx(,)xyA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限9.若关于 ， 的方程组 2ymxn的解是 21y，则 |mn为（ ）A1 B3 C5 D210.若关于 x，
18、y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则kyx95632yxk 的值为 （A） （B） （C） （D） 4343343411.已知代数式 与 是同类项，那么 的值分别是（ ）1mxy52nmmn、A B C D2n212113.在二元一次方程 中，若 x、y 互为相反数，则 x = ，y = ；143yx* 若 是同类项，则 =， 。235mmnx8与 mn* 若方程 是关于 、 的二元一次方程，则|8()(3)0yxy=， 。n14、若 ，则 。237(5)xyx_15、二元一次方程组 的解是 ，则 。8aby53xy,_ab16、已知关于 x、y 的方程组 的解的和是 12，则
19、 。232kxk17、买苹果和梨共 50 千克，其中苹果的重量是梨的 2 倍少 8 千克，求苹果和梨各买多少？若设买苹果 x 千克，买梨 y 千克，则列出的方程组应是 （ ）A、 B、 C、 D、8250y8250x50yx8210yx18、一辆汽车从 A 地出发向东行驶，要经过路口 B，在规定的某一时间内，若车速为 60 千米/时，恰能超过 B 处 2 千米；若车速为 50 千米 /时，就差 3 千米到达 B 处；设 A、B 间的10距离为 x 千米，规定时间为 y 小时，则可列出的方程组是（ ）A B C D 35026y35026x35026xy35026xy19、一船顺水航行 45 千
20、米需要 3 小时，逆水航行 65 千米需要 5 小时，若设船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时，则 x、y 的值为 （ ）A B C D 213y14x1214yx20、小强问叔叔多少岁了，叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁，你到我这么大时，我就40 岁了。 ”则小强和叔叔的岁数分别是 （ ）岁A、8 和 20 B、16 和 28 C、15 和 27 D、9 和 2121、计算题（1） （2） 02356174yx 2341yx（3） （4） 1234yx 2413yx（5） （6）04231yx 57321yx（7） （8）107.3.4.yx 720135yx11
21、22、已知是正整数，关于 x、y 的方程组 有整数解，求 2 的值.0231yxm23、孔明同学在解方程组 的过程中，错把 看成了 6，他其余的解题过程没有出2ykxbb错，解得此方程组的解为 ，又已知直线 过点（3，1） ，则 的正确值应该1yykxb24、某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 45 元。若按定价的八五折销售该商品 8 件与按定价降低 35 元销售该商品 12 件所获利润相等。则该商品进价、定价分别是多少？25、某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓 12 个或螺母 18 个。应怎样分配工人生产螺栓和螺母，使车间每天生产出的螺栓和螺母恰好配套（一个螺栓配
22、2 个螺母）？1226、现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的浓度为 30，乙种酒精的浓度为 80，今要得到浓度为 50的酒精溶液 50 千克，问甲、乙两种酒精溶液各取多少？27、小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走 60 米，下坡路每分钟走 80 米 ，上坡路每分钟走 40 米，从家里到学校需 10 分钟，从学校到家里需15 分钟.请问小华家离学校多远？28团体购买公园门票票价如下：购票人数 150 51100 100 人以上每人门票/元13 元 11 元 9 元今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于 50 人，乙团人数不超过 100 人若分别购票，两团共计应付门
23、票费 1 392 元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费 1 080元(1)请你判断乙团的人数是否也少于 50 人；(2)甲、乙两个旅行团各有多少人?.29、某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为 3 千米，超过 3 千米的部分按每千米另收费. 甲说： “我乘这种出租车走了 11 千米，付了 17 元” ；乙说：“我乘这种出租车13走了 23 千米，付了 35 元”.请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过 3 千米后，每千米的车费是多少元？30、食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输某饮料加工厂生产
24、的 A、B 两种饮料 均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶，问 A、B 两种饮料各生产了多少瓶？31、为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100 瓶，其中甲种 6 元/瓶，乙种 9 元/瓶（1）如果购买这两种消毒液共用 780 元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的 100 瓶） ，使乙种瓶数是甲种瓶数的2 倍，且所需费用不多于 1200 元（不包括 780 元） ，求甲种消毒液最多能再
25、购买多少瓶？ 32、在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价 13%的财政补贴.村民小李购买了一台 A 型洗衣机，小王购买了一台 B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴 351 元，又知 B 型洗衣机售价比 A 型洗衣机售价多 500 元.求：14（1） A 型洗衣机和 B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 33、甲乙两地相距千米，从甲地向乙地方向前进，同时从乙地向甲地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后就返回甲地，仍向甲地前进，回到甲地时，离甲地还有千米，求、二人的速度。34、某班同学去 18 千米的北山郊游。只
26、有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至 A 处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是 60 千米/ 时，步行速度是 4 千米/ 时，求 A 点距北山站的距离。35、甲乙两地相距 60 千米，A、B 两人骑自行车分别从甲乙两地相向而行，如果 A 比 B 先出发半小时，B 每小时比 A 多行 2 千米，那么相遇时他们所行的路程正好相等。求 A、B 两人骑自行车的速度。 （只需列出方程即可）1536、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A、 B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所 A类学校和两所 类学校共需资金 230 万
27、元；改造两所 A类学校和一所 B类学校共需资金 205 万元（1）改造一所 类学校和一所 B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的 类学校不超过 5 所，则 类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不少于 70 万元，其中地方财政投入到 A、 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？解：（1）设改造一所 类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 a万元和 b万元依题意得：2305ab解之得 68
28、b答：改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元（2 ）设该县有 、 两类学校分别为 m所和 n所则60517mn32 A类学校不超过 5 所 1n 即： B类学校至少有 15 所（3 ）设今年改造 A类学校 x所，则改造 B类学校为 6x所，依题意得：5076401x解之得 x取整数 234， ， ，即：共有 4 种方案37、星期天，小明和七名同学共 8 人去郊游，途中，他用 20 元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知16可乐 2 元一杯，奶茶 3 元一杯，如果 20 元钱刚好用完(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？(1)设买可乐、奶茶分别为 x、y 杯，根据题意得2x 3y20(且 x、y 均为自然数) x 0 解得 y203y0， 1，2，3，4，5，6代入 2x3 y20 并检验得,;7,;,;xy1,6.所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)10， 0；7，2 ；4，4；1，6 (2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即 y2 且 xy 8由(1)可知，有二种购买方式
