1、2.3 平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义,第二章 平面向量,明目标知重点,填要点记疑点,探要点究所然,内容索引,01,02,03,当堂测查疑缺,04,1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,明目标、知重点,填要点记疑点,1.两个向量的夹角,ab,AOB,a，b,0a，b,b，a,2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图).,轴l的方向,轴l,3.向量的数量积(内积) 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab
2、|a|b|cosa，b.,|a|b|cosa，b,探要点究所然,情境导学,1.请同学们回顾一下我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答向量的加法、减法及数乘运算.,2.请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答物理模型概念性质运算律应用.本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量另一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义.,探究点一平面向量数量积的含义思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？ 答W|F|s|cos .思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos
3、叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，那么ab的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答ab的运算结果是数量.0a0.,思考3对于两个非零向量a与b，夹角为，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？ 答当00；当90180时，ab,0，120.反思与感悟(1)理清“谁在谁上”的正射影，再列方程，将条件转化解决.(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.,跟踪训练2已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的正射影的数量.解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb2,探究点三平面向量数量积的性质
4、思考1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ 答abab0思考2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？ 答当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；,思考3|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？ 答|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”.所以|ab|a|b|.,反思与感悟此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|
5、a|2，勿忘记开方.,跟踪训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.解e1，e2为单位向量且夹角为60，,ab(e1e2)(e22e1),又0，180，120.a与b的夹角为120.,1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上正射影的数量为()A.4 B.4 C.2 D.2解析b在a方向上正射影的数量为|b|cosa，b4cos 1202.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,D,1,2,3,4,2.若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.,25,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知正三角形ABC的边长为1，求：,1,2,3,4,1,2,3,4,呈重点、现规律,1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.,
