1、1 / 11第一章 线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题.一个一维粒子，初始时刻处于点 ，初始速度为 ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹.0x0v解：用 表示粒子在任意时刻 的位置，根据牛顿第二定律 ，有()xt t Fmax对于阻尼作用 ，于是，粒子的运动方程Fkx k这是关于时间 t 的常微分方程，非常简单 .求解得 12()ektmxtc结合初始条件 ， ，则0()x0()xv，01vcxk02vck代入得粒子的运动轨迹 0()(1e)tmt这就是这门课程的第二部分数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程.1.1 常系数齐次线
2、性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数.线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程.齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项.例如 u = 4 uxx; 二阶线性，x 2u = uxx; 二阶线性，(u x)2 + u2 = 1; 一阶非线性.一、二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程 ()()yPxQyfx若 为齐次， 为非齐次.()0fx()0fx方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数.能否适当选取 r 使 yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 yerx 代入方程y
3、pyqy0得(r 2prq)erx 0由此可见 只要 r 满足代数方程 r2prq0 函数 yerx 就是微分方程的解.2 / 11特征方程：方程 r2prq0 叫做微分方程 ypyqy0 的特征方程.特征方程的两个根 r1、r 2 为21,24pqr特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根 r1、r 2 不相等时 函数 、 是方程的两个线性无关的解，方程的通解1erxy2rx为12rxrxc(2) 特征方程的实根 r1r2 时 函数 、 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关1erxy12erx的解，方程的通解为 112()rxc(3) 特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 函数 y
4、e(i)x、ye (i)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数 yexcosx、ye xsinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为yex(c1cosxc2sinx )例 1 求微分方程 y2y3y0 的通解.例 2 求方程 y2yy0 满足初始条件 y|x04、y | x02 的特解 .例 3 求微分方程 y2y5y 0 的通解.二、线性微分方程的解的叠加(1)()()PxyQ定理 1 如果函数 y1(x)和 y2(x)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加 12()()cyx也是方程的解，其中 和 是任意常数.1c2定理 2 如果函数 y1(x)和 y2(x)
5、是方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加 12()()ycxy是方程的通解.推论 如果函数 y1(x), y2(x), , yn(x) 是 阶线性齐次方程()(1)()0nnpxypxy的 n 个线性无关的解，则 12()()()ncc是方程的通解，其中 c1, c2, , cn 为 n 个任意常数.(2)()()yPxQyfx定理 3 如果 二阶非齐次线性方程（2）的一个特解，y 1(x)和 y2(x)是对应齐次方程(1) 的两个线性无关*()x3 / 11的特解，那么它们的线性叠加 *12()()ycxyx是方程(2)的通解.定理 4 如果 和 分别是二阶非齐次线性方程*1()
6、yx*2()，1()()yPxQyfx2()()()yPxQyfx的特解，那么 是方程*12()x 12()()()yxyfxf的特解.1.2 常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程 ()ypqfx一、待定系数法对于特殊类型的 f(x)，可写出特解 y*(x)的待定表达式：f(x)类型 特解 y*(x)的待定表达式aex Aexacosx + bsinx Acosx + Bsinxa1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1 A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1ex (acosx + bsinx) ex (Acosx + Bsinx)ex (a1xk
7、 + a2xk 1 + . + akx + ak +1) ex(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果 , i, 0, i, 是特征方程的 r 重根，则在表达式上再乘以 xr.例 1 求微分方程 y2y3y3x1 的一个特解. 3*y例 2 求微分方程 y5y6yxe2x 的通解. xxeeC221)(二、常数变易法一阶非齐次线性微分方程 ()ypQx相应齐次方程的通解是 00()epxC设非齐次方程有一个特解 0()()yxcy由于，00()()()x代入非齐次方程，可得 ，解得0()cxyQx4 / 1100()edpxcxQC因此，常数变易法得非齐次方程的通
8、解为 0()()pxpxy类似的方法考察二阶非齐次方程 ()qyfx相应齐次方程的通解为 12()()()yxc设非齐次方程有一个特解 12()()()xy由于，1212()()()()()yxcyxcyccxy若附加条件 ，则12()0c12()()()yxcyxcyx12 12()() ()()yxcyxc cyxcyx 代入非齐次方程，可得 12()()xyfx所以，系数 c1(x), c2(x)满足方程组： 12()()0()ccyxyxfx例 二阶线性微分方程 2()Tft齐次方程的通解 12()cosintCtt常数变易法设特解为 12()s()siTttt其中 C1(t)和 C2
9、(t)满足 12()cos()sin0ico()CttCtf解得 102()()sind(0)1cottfTCt5 / 11则 0 00111()cos()sind(0)sin()cosd(0)icoit ttTtfTfTfttt 1.3 变系数线性微分方程一、欧拉型常微分方程形如 2()axybcfx的方程叫欧拉方程.下面是一个后面课程会遇到的一个欧拉型方程的求解. 220Rm作变量代换 ， ，则etln，即dd1tdRt，2 22 2d11d()()()ddRR Rttttt 即 22ddRt则 2 222d 0ddRRmmttt例 1. 求欧拉型方程 的通解.2(1)0drl答案：通解为
10、 .(1)()llRCD二、常点邻域上的级数解法（证明见李政道物理学中的数学方法P280-284）不失一般性，讨论复变函数 w(z)的线性二阶常微分方程 2d()()0wpzq01,C显然，方程的性质由函数 p(z)和 q(z)所确定.定义：如果在点 z = z0 处，函数 p(z)和 q(z)解析，则 z = z0 称为方程的常点，否则，z = z 0 称为奇点.定理：若 z0 为方程的常点，则在 z0 的邻域内存在满足初始条件的唯一解析解 w(z).级数解法：基于以上定理，方程的解 w(z)在点 z0 的邻域内解析，则可表示成泰勒级数形式：6 / 1100()()kkwzaz其中，a 0,
11、 a1, a2, . , ak , .是待定系数.只要能够确定这些系数，也就得到了方程的解.由于函数 p(z)和 q(z)都是解析函数，因此也可以表示成泰勒级数：，00()()llpzz 00()llqzz再将 w(z)、p(z)和 q(z)的泰勒级数形式代入方程和初始条件，并要求等式两边同幂次项的系数相等，就可以确定待定系数 a0, a1, a2, . , ak , 对于实变函数 y(x)的线性二阶常微分方程 ()0ypxqyy(x0) = C0, y(x0) = C1,该定理完全成立，从而可以应用级数解法.这是因为只要将实变函数 p(x)和 q(x)在复平面上进行解析延拓，得到 p(z)和
12、 q(z)，相应的解 w(z)在实轴上的值 w(x)就是原方程的解.例 在 的邻域上求解常微分方程 ( 是常数).0x2y解：显然，x 0 = 0 是方程的常点，应用常点邻域级数解法求解.设 0()kxa则 2220()(1)()1k kkyx ax代入方程，并合并同幂项，得 20()kkkax等式右边为零，因此幂级数各项系数为零，即 2(2)10kk从而有如下递推公式： 22()1kkaa递推得，201a 2312420()34!a 45315!aa.，220(1)!kka 2211()!kk于是，方程的解为 22221 1101000 0()()cosin!kkkk kkk k ayaxx
13、axaxx 上述解的收敛区域为 .|一般的收敛区域判断7 / 11补充：对于正项级数，通常用如下两个方法比值判别法 设正项级数 ，若极限 ，则当 时，级数收敛；当 时，级数发散.1ku1limku11根值判别法 设正项级数 ，若极限 ，则当 时，级数收敛；当 时，级数发散.1klik应用正项级数收敛判别法，可得到如下幂级数收敛范围： 比值判别法 根据正项级数收敛的比值判别法，若极限 ，则11010()limlimkk kaxax当 时，级数收敛；当 时，级数发散.引入记号 ，若 存在，则当11R1likRa01limkx 根式判别法 若极限 ，则收敛.若 存在，则当00lim()likkkaa
14、x1limkkRa01likkR例 1 在 的邻域上求解常微分方程 ( 是常数).0x2y方程的解为 22221 10100 0()()!kkkk kkk kyaxxaxax 记，200(1)()!kkkyxax2110()()!kkkyax对于 应用比值判别法，得收敛区域为 .0()yx 21()|limlilim(2)1!kk 对于 应用比值判别法，得收敛区域为 .1() 21(23)|lilili(3)1!kkax k例 2 在 的邻域上求解 .0x0yx答案： 1()()ya， .收敛无限大.3002!()()kkxx3110()!kkyx作业：8 / 111. 求欧拉方程 的通解.答
15、案： .230xy12lnCxy2. 用常数变易法求方程 的通解.答案： .22lnxyx12(l)4lnx3. 用幂级数法求方程 的通解.答案： .0/221010e()!kxkya1.4 二阶常系数线性差分方程一、齐次差分方程方程： (p ,q 是常数).)12xfqypyxx若 为齐次， 为非齐次.()0f(0f对于齐次方程的通解，与微分方程类似地有：定理 方程 的解为 ，其中 r 满足特征方程 .12xxxqypyxy 02qpr(1)特征方程的实根 r1、r 2 不相等时，方程的通解为 xxxC21(2) 特征方程的实根 r1r2 时，方程的通解为 2()yr(3) 特征方程有一对共
16、轭复根 r1, 2i 时 记 ， ， ，即方iie2arctn程的解为 ，则方程的通解为 .xiixxye 12(cos)sin()xyCx例 1 求 的通解.03412xy解 其特征方程 , 有根 -1, -3 . 原方程有通解r( 是任意常数) xxxC)(2121,例 2 求 的通解.042y解 其特征方程 , 有根 -2i, 2i . ， ，则原方程有通解r, ( 是任意常数).122(cos)sin)x xyC21C例 3 求差分方程 的通解.03xxy解 其通解为 (C 为任意常数).x二、非齐次差分方程对于非齐次方程的通解，与微分方程类似地，可以用待定系数法求解.f(x)类型 特
17、解 y*(x)的待定表达式ax Axa1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1 A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +19 / 11x (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1) x(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果 , 1 是特征方程的 r 重根，则在表达式上再乘以 xr.例 4 求 的通解.xxy解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解.令 ,代入的 ,所以它的通解为0bx025, ( 是任意常数).12(cos)sin()5x xyC21C例 5 求 的通解.xx42解 令 , , 所
18、以 , 所以其通解byxb28b, ( 是任意常数 ).121(cos)sin()xC2C例 6 求 的通解.3xxy解 显然其齐次方程的通解为 (C 为任意常数).xxy3设其特解为 , 所以有 , 从而得 .xb2122xb1b因此,原方程的通解为 .x例 7 求 的通解.13xy解 其齐次方程的通解为 (C 为任意常数).xy设其特解为 , 所以有 , 从而得 ，()xAB1)()()32xABxAx1A2B因此,原方程的通解为 .2三、差分方程的应用例8 某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育.并计划20 年后开始从投资帐户中每月支取1000 元，直到1
19、0 年后子女大学毕业用完全部资金.要实现这个投资目标，20 年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%.解：设第n个月投资帐户资金为Sn元，每月存入资金为a元.于是，20 年后关于Sn的差分方程模型为Sn+1 = 1.005Sn 1 000并且S120 = 0, S 0 = x.解得x = 90 073.45.从现在到20年内，Sn满足的差分方程为Sn+1 = 1.005Sn + a且S0 = 0, S240 = 90 073.45.解得 a = 194.95.例 9 动态供需均衡模型( 蛛网定理) 设 Dt 表示 t 期的需求量 ,St 表示 t 期的供给量,P
20、 t 表示商品 t 期价格,则传统的动态供需均衡模型为： 1,(1)23ttttabPS其中 a,b,a1,b1 均为已知常数.(1)式表示 t 期(现期) 需求依赖于同期价格；(2)式表示 t 期(现期)供给依赖于( t-1)10 / 11期(前期) 价格；(3)式为供需均衡条件.解：若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即 .静态均衡价格 .动态供需1tteP1eaPb均衡模型的等价差分方程 11ttba齐次方程通解 ，非齐次方程特解 ，方程的通解为 .若1ttbPA1teP1tt ebPA初始价格 已知时，将其代入通解可求得任意常数 ，则通解为 0 0eA10()tteebPP如果初始
21、价格 ，那么 .这表明没有外部干扰发生，价格将固定为常数值 ，即静态均衡.0ePte eP如果初始价格 ，那么价格 将随 t 的变化而变化.如果 ，则t 1b10limli()tt eetPP表明动态价格 随着 t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格 .tP e例 10 凯恩斯 (Keynes.J.M)乘数动力学模型 设 Yt 表示 t 期国民收入，C t 为 t 期消费，I t 为 t 期投资，I 0 为自发(固定) 投资，I 为周期固定投资增量 .凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为： 1,0()23ttttIabI(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2) 式为消费
22、函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期 )，a(0) 为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0 b1)；(3)式为投资函数,这里仅考虑为固定投资.在(1)(2)(3)式中消去 Ct 和 It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：11 / 1110ttYbaI方程的一个特解 ，则方程的通解为 01taIYb01tt IAb其中 A 为任意常数.称系数 为凯恩斯乘数.例 11 在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子.建立数学模型来表现虫子数目的变化规律.解：假设第 n 年的虫口数目为 ，每年一个成虫平均产卵 k 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体nx的产卵分布状况） ，则有： ，这是一种简单模型.1k如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第 n+1 年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为 ，故减少数应当与它211()2nnxx成正比，从而有：1nnxkb这个模型可化成： ，这是一阶非线性差分方程.)1(1nnx
