1、26.4圆周角,一. 复习引入:,1.圆心角的定义?,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。,答:顶点在圆心的角叫圆心角,2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？,探索1:,我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角，当圆心角的顶点发生变化时,我们得到以下三种情况:,A,.,O,B,C,A,A,圆内角,圆外角,圆周角,探索,考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象ACB 这样的角下个定义吗？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角,什么叫做圆周角？
2、,A,B,C,O,二、概念,辩一辩 图中的CDE是圆周角吗?,练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,C,C,C,C,C,C,C,C,图1,图2,图3,图4,图5,图6,图7,图8,图9,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB 和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ADB 和AEB ）和同学乙的视角相同吗？,二、观
3、察,视角AOB和ACB有什么关系？即同弧所对的圆心角和圆周角的关系 ADB和AEB和ACB相等吗？即同弧所对的圆周角之间的大小关系,类比圆心角探知圆周角,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？,为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.,你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?,圆周角和圆心角的关系,在O任取一个圆周角BCA，将圆对折，使折痕经过圆心O和BCA的顶点C。由于点C的位置的取法可能不同，这时有三种情况：,（1） 折痕是圆周角的一条边，如图（1）,（2） 折痕在圆周角的内部，如图（2）,（3） 折痕在圆周角的
4、外部如图（3）,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,根据以上证明你能得到什么结论？,(1)圆心在圆周角的一边上,证明：,OA=OC,BACC,BOCBAC+C=2BAC,BAC= BOC,2.考虑第二种情况当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,根据以上证明你又能得到
5、什么结论？,ABD = AOD, CBD = COD,圆周角和圆心角的关系,(2)圆心在圆周角的内部,证明：,连结AO并延长交O于D点,D,A= O,由（）得BA= BO,BC B,BC B+ C,),),),),圆周角和圆心角的关系,3.考虑第二种情况当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,能否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABD = AOD,CBD = COD, ABC = AOC.,根据以上证明你又能得到什么结论？,()圆心在圆周角的外部,证明：,连结AO并延长交O于D点,D,A= O,由（）得BA= BO,BC B,BC
6、 ,),),),),三.圆周角定理：,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,思考：在同圆或等圆中，如果圆周角相等，所对的弧一定相等吗？,弧等,角等,结 论：,如图,点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？,1=4,2=7,3=6,5=8,思 考,如图，线段AB是O的直径，点C是O上任意一点（除点A、B），那么，ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，ACB会是怎样的角？,90的圆周角所对的弦是什么?,A,B,C1,O,C2,C3,定理,试金石：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.
7、求圆中角X的度数,C,3、如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,4.如图：OA、OB、OC都是O的半径，且AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC.,5 关注差异 分层练习 巩固提高,A层（基础题）,在圆中一条弧所对的圆心角 和圆周角分别为(2x + 100)0和(5x 30)0则这条弧所对的圆心角的度数为 、圆周角的度数为 。,5 关注差异 分层练习 巩固提高,B层（中等题）,图3中AC为直径,则互余的圆周角共有,（ ）,A 4对 B 6对 C 8对 D 10对, 如图4所示，AD平分BAC，那么图中相似的三角形有,（ ）,A 2对 B 3对 C
8、 4对 D 6对,A,B,C,D,5 关注差异 分层练习 巩固提高,C层（提高题）,如图5，求12345= 。,如图6：已知弦AB、CD相交于P点，且AOC=44、 BOD=46 求 APC 的度数。,例1 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,四、例题,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.
9、,证明：,CO= AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB= 180= 90., ABC 为直角三角形.,练 习,练习:如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,3、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度数。,BOC =140,350,700,.ABC内接于O ，BOC=80， 则BAC等于( ). (A)80 (B) 40 (C) 140 (D) 40或140,已知:如图,AB=AC=AD, BAC=40, 则BDC的度数为( ),（A）40 （B）
10、30 （C）20 （D）不能确定,15或 75 ,4如图，O1、O2相交于A、B两点， 直线O1O2交两圆于C、DO1AO2=40， 则CBD等于（ ） （A）110 （B）120 （C）130 （D）140,A,1如图，已知圆心角BOC100， 则圆周角BAC的度数为（ ） A、100 B、130 C、50 D、80,2圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( ) A、30 B、60 C、30或150 D、60或120,3如图，A、B、C三点在O上， AOC=100，则ABC等于( ) A、140 B、110 C、120 D、130,C,4.若圆的一条弦把圆分成度数的比为13的两条弧， 则劣弧
11、所对的圆周角的度数为（ ） A、45 B、90 C、135 D、270,5已知：如图，ABC内接于 O，AD是O的直径，ABC 30，则CAD等于_。,6 在O中，一条弦的长度等 于半径，则它所对的圆周角的 度数为_。,7半径为1的圆中有一条弦，如果 它的长为,那么这条弦所对的圆,A,周角的度数等于 .,60,60或120 ,30或150 ,弦AB分圆为l5两部分，则弦AB所对 的圆周角度数等于,9 已知：如图，AB 为O的直径，BED=35， 则ACD= 。,10圆内接四边形相邻三个内角之比是3:1:6， 则这个四边形的最大角的度数为 。,30或150 ,55,160 ,7 学以致用 作业适
12、量 分层要求,A层（基础题）,如图9，已知AB=AC=2cm, BDC=60，则ABC 的周长是 。,如图10：A是O的圆周角，A=40，求OBC 的度数。,7 学以致用 作业适量 分层要求,B层（中等题）, 在O中，BOC=100o，则弦BC所对的圆周角 是 度。,如图11，AD是O直径，BC=CD，A=30， 求B的度数。,7 学以致用 作业适量 分层要求,C层（提高题）,如图12，AB是O直径，点C在圆上，BAC的平分线交圆于点E，OE交BC于点H，已知AC=6，AB=10，求HE的长。,7 学以致用 作业适量 分层要求,D层（课外延拓、承上启下）,如图13：“世界杯”赛场上李铁、邵佳一
13、、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，李应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。,球门,能力提升,1、在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,1、在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,能力提升,2、如图，在O中，AB为直径，CB = CF,弦CGAB，交AB于D，交BF于E求证：BE=EC,能力提升,4、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x-30)，则x=_ _；,3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；,20,25,3、若
14、圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。,1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。,2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于9090的圆周角所对的弦是圆的直径,小结:,四边形与圆的位置关系,如果四边形的四个顶点在一个圆上,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形.,我们可以证明圆内接四边的两个重要性质: 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角.,C,O,D,B,A,如图：圆内接四边形ABCD中，, BAD等于弧BCD所对圆心角的一半,BCD等于弧BAD所对圆心角的一半. 而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角=360，,BADBCD,180.,同理ABCADC180.,圆内接四边形的对角互补.,四边形与圆的位置关系,如果延长BC到E，那么 DCEBCD ,180.,ADCE.,又 A BCD 180，,四边形与圆的位置关系,因为A是与DCE相邻的内角DCB的对角,我们把A叫做DCE的内对角.,圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.,
