1、12015 年中考数学复习专题一数与式第一讲 实数【基础知识回顾】一、实数的分类：1、按实数的定义分类：实数有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数 【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如： 是 数，不是 数，2是 数，不是 数。2、0 既不是 数，也不是 数，但它是自72然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数 3、倒数：实数 a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数 4、绝对值：在数轴上表示一个
2、数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。=因为绝对值表示的是距离， 所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。 【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0 是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数。正无理数无理数负分数 零正整数整数有理数 无限不循环小数负 有 理 数负 零 正 无 理 数正 实（a0）（a0）0 （a=0）21、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中 a 的取值范围是 。2、近似数：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数。【名师
3、提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中 a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零） 。2、近似数 3.05 万是精确到 位，而不是百分位】四、数的开方。1、若 x2=a(a 0),则 x 叫做 a 的 ，记做 ，其中正数 a 的 平方a根叫做 a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0 的平方根是 ，负数 平方根。2、若 x3=a,则 x 叫做 a 的 ，记做 ，正数有一个 的立方根，0 的3立方根是 ，负数 立方根。
4、【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。 】【重点考点例析】考点一：无理数的识别。例 1 实数 中是无理数的个数有（ ）个32,8,cos45,0.32&A.1 B2 C3 D4对应训练1下面四个实数中，是无理数的为（ ）A0 B C2 D3 27考点二、实数的有关概念。例 2 如果规定收入为正，支出为负收入 500 元记作 500 元，那么支出 237元应记作（ ） A500 元 B 237 元 C 237 元 D 500 元例 3 （2）的值是（ ） A2 B 2 C 2 D 4例 4 3 的绝对值是（ ） A3 B 3 C 3 D例 5
5、的倒数是（ ） 13A B 3 C 3 D11例 6 64 的立方根是（ ） A4 B 4 C 8 D 8例 7 若 与 互为相反数，则 x+y 的值为（ ）29xy|xyA3 B.9 C12 D27对应训练2如果零上 2记作+2 ，那么零下 3记作（ ）A3 B2 C+3 D +232012 的相反数是（ ）A2012 B 2012 C D12024|2012|= 5若 a 与 5 互为倒数，则 a=（ ） A B 5 C 5 D1168 的立方根是（ ） A2 B 2 C 3 D 47若 x，y 为实数，且满足|x 3|+ =0，则（ ） 2012 的值是 考点三、实数与数轴。例 8 如图
6、，A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b，下列式子成立的是（ ）Aab0 Ba+b0 C （b-1） （a+1）0 D （b-1） （a-1）0 对应训练8实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）Aa+b 0 Bab0 C|a|+b0 Da-b0考点四、科学记数法。例 9 许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断根据测定，一般情况下一个水龙头“滴水”1 个小时可以流掉 3.5 千克水，若 1 年按 365 天计算，这个水龙头 1 年可以流掉约（ ）千克水 （用科学记数法表示）A3.110 4 B0.3110 5 C3.0610 4 D3.0710 4对应训练
7、9 “最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有 691 万人以不同方式向她表示问候和祝福，将 691 万人用科学记数法表示为 人 （结果保留到十万位）【聚焦中考】一、选择题412 的绝对值是（ ） A B 2 C D 2112在数轴上到原点距离等于 2 的点所标示的数是（ ）A-2 B2 C2 D不能确定3在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是 和-1 ，则点 C 所对应的实数是（ ）A B 123C D 2314 的值是（ ） A4 B 2 C 2 D 25据新华社报道：在我国南海某海域探明
8、可燃冰储量约有 194 亿立方米194亿用科学记数法表示为（ ）A1.9410 10 B0.19410 10 C19.410 9 D1.9410 96伦敦奥运会火炬传递路线全长约为 12800 公里，数字 12800 用科学记数法表示为（ ）A1.2810 3 B12.810 3 C1.2810 4 D0.12810 57已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）A2110 -4 千克 B2.110 -6 千克 C2.1 10-5 千克 D2110 -4 千克 二、填空题81，0，0.2， ，3 中正数一共有 个179为改善学生的营养状况，中央财政从 2011
9、 年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为 160 亿元，用科学记数法表示为 元第二讲：实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算。1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。2、运算法则：加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。减法，减去一个数等于 。乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。除法：除以一个数等于乘以这个数的 。5乘方：(-a) 2n +1 = (-a)
10、 2n = 3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：(a+b)+c= 乘法交换律：ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律：（a+b）c= 二、零指数、负整数指数幂。 = （a0） a-p= 0a（a0） 【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与 0 指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（ ） -1= 】31三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。【重点
11、考点例析】考点一：实数的大小比较。例 1 已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，则代数式 a2-a-b 的值为 3例 2 已知甲、乙、丙三数，甲= ，乙= ，丙= ，则甲、乙、丙的5131719大小关系，下列何者正确？（ ）A丙乙甲 B乙甲丙 C甲乙丙 D甲=乙=丙 对应训练112 的负的平方根介于（ ）A-5 与-4 之间 B-4 与-3 之间 C-3 与-2 之间 D-2 与-1 之间2已知 a、b 为两个连续的整数，且 a b，则 a+b= 1考点二：实数的混合运算。例 3 计算： 103()2)cos3对应训练3计算： 1|2|6sin45考点三：实数中的规律探索。6例 4 阅读材料
12、：对于任何实数，我们规定符号 的意义是abcd=ad-bc例如： ， abcd1243234(2)5432（1）按照这个规定，请你计算 的值；5678（2）按照这个规定，请你计算：当 x2-4x+4=0 时， 的值123x【聚焦中考】一、选择题1下列各数比-3 小的数是（ ）A0 B1 C -4 D-12计算 的结果是（ ）2|3A B C-1 D1 二、填空题1 （填 “” 、 “”或“= ”）52122计算：2sin30 = 6第三讲：整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：由数与字母的积组成的代数式1、整式：多项式： 。单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。组成多项
13、式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。2、同类项：定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是7同类项。合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。 2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。 】二、整式的运算：1、整式的加减：去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )整式加减的步骤是先 ，再 。【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：
14、括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。 】2、整式的乘法：单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。乘法公式：、平方差公式：（ab） （ab） ，、完全平方公式：（ab） 2 = 。 【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广
15、泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。 】3、整式的除法：单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）m= 。三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n （a 0，m 、n 为整数）2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n （a0，m、n 为整数）3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。即：(ab) n （a 0，b0，n 为整数） 。4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a ma n
16、 （a0，m、n 为整数）【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a) n = （n 为奇数），(-a) n = （n 为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知 3m=4,2n=3,则9m8n= 。】【重点考点例析】考点一：代数式的相关概念。例 1 计算-2a 2+a2 的结果为（ ）A-3a B -a C-3a 2 D-a 2对应训练1如果单项式 xa+1y3 与 2x3yb 是同类项，那么 ab= 2计算 2xy2+3xy2 的结果是（ ）A5xy 2 Bxy 2 C2x 2y4 Dx 2y48考点二：整式的运算。例 2 求代数式（a+2b） （a-2b）
17、+（a+2b） 2-4ab 的值，其中 a=1，b= 10对应训练2先化简，再求值：2b 2+（a+b） （a-b）- （a-b） 2，其中 a=-3，b= 12考点三：幂的运算。例 3 下列计算正确的是（ ）Aa 3+a2=a5 Ba 5a4=a Caa 4=a4 D （ab 2） 3=ab6对应训练3下列计算正确的是（ ）A2a 2+a2=3a4 Ba 6a2=a3 Ca 6a2=a12 D （-a 6） 2=a12考点四：完全平方公式与平方差公式例 4 下列运算正确的是（ ）A3a+2a=5a 2 B （2a ） 3=6a3 C （x+1） 2=x2+1 Dx 2-4=（x+2） （x-
18、2）例 5 如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（ a-1）cm 的正方形（a 1） ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，则该矩形的面积是（ ）A2cm 2 B2acm 2 C4acm 2 D （a 2-1）cm 2对应训练4下列运算中，正确的是（ ）Aa 3a4=a12 B （a 3） 4=a12 Ca+a 4=a5 D （a+b ） （a-b）=a 2+b25图（1）是一个长为 2m，宽为 2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A2mn
19、 B （m+n） 2 C （m-n） 2 Dm 2-n2考点四：规律探索。9例 6 一组数据为：x，-2x 2，4x 3，-8x 4，观察其规律，推断第 n 个数据应为 对应训练6已知整数 a1，a 2，a 3，a 4，满足下列条件：a 1=0，a 2=-|a1+1|，a 3=-|a2+2|， a4=-|a3+3|，依次类推，则 a2012 的值为（ ）A-1005 B-1006 C-1007 D-2012【聚焦中考】1下列运算正确的是（ ）A-2（ 3x-1）=-6x-1 B-2（3x-1）=-6x+1 C-2（3x-1）=-6x-2 D-2（3x-1）=-6x+2 2化简 5（2x-3）+
20、4（3-2x）结果为（ ）A2x-3 B2x+9 C 8x-3 D18x-33下列运算正确的是（ ）Aa 3a2=a6 Ba 5+a5=a10 Caa -2=a3 D （-3a） 2=-9a24下列计算正确的是（ ）Ax 2+x3=x5 Bx 2x3=x6 C （x 2） 3=x5 Dx 5x3=x25下列计算正确的是（ ）A2a 2+4a2=6a4 B （a+1） 2=a2+1 C （a 2） 3=a5 Dx 7x5=x26若 3x=4， 9y=7，则 3x-2y 的值为（ ）A B C-3 D 777 求 1+2+22+23+22012 的值，可令 S=1+2+22+23+22012，则
21、2S=2+22+23+24+22013，因此 2S-S=22013-1仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012 的值为（ ）A5 2012-1 B5 2013-1 C D201354201548化简：6a 63a3= 9根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为 a6 的算式 10某种苹果的售价是每千克 x 元，用面值为 100 元的人民币购买了 5 千克，应找回 元12一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：2 3，3 3 和 43分别可以按如图所示的方式“分裂” 成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即23=3+5；3 3=7+9+11；4 3=13+15+17+1
22、9；若 63 也按照此规律来进行“ 分裂”，则 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 第四讲 分式10【基础知识回顾】1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B 中含有 ，那么A称 为分式若 ，则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，B A则 0. 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5分式的运算 加减法法则： 同分母的分式相加减： . 异分母的分式相加减： . 乘法法
23、则： .乘方法则： . 除法法则： .【考点链接】考点一、分式的意义例 1 要使分式 的值为 0， 应取何值？12xx变式训练：1、 为何值时，分式 的值为负数？45x2、要使代数式 有意义， 的取值范围是多少？213x考点二、分式的化简及求值例 2 化简： 。然后选取一个使原式有意义且你喜欢的数代入)21(1aa求值。11例 3 已知 ，求 A、 B、 C 的值。4)4(22xAx变式训练： 已知 ，则 .31x21x已知 y，则代数式 4y的值为 .第五讲 二次根式【基础知识回顾】1二次根式的有关概念 式子 叫做二次根式注意被开方数 只能是 )0(aa 最简二次根式：被开方数不含 ，不含能
24、开得尽方的 或 。(3) 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式2二次根式的性质 0； （ 0） 2 2a； （ ） ； （ ）.ab,baba0,b3二次根式的运算(1) 二次根式的加减：先把各个二次根式化成 ；再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变.（2）二次根式的乘除(0)abb加 减 法 ： 合 并 同 类 二 次 根 式运 算 乘 法 ： ， a除 法 ： （ ， ）【考点链接】考点一：二次根式有意义的条件例 1 如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围是（ ）Ax0 Bx 1 Cx0 Dx0 且 x1变式训练：无论 x 取任何
25、实数，代数式 都有意义，则 m 的取值范围为 12考点二：二次根式的估值例 2 k、m、n 为三整数，若 =k ， =15 ， =6 ，则下列有关于k、m、n 的大小关系，何者正确？（ ）Akm=n Bm=nk Cmnk Dmkn变式训练：估计 1320的运算结果应在（ ）A6 到 7 之间 B7 到 8 之间 C8 到 9 之间 D9 到 10 之间考点三：二次根式的性质及运算例 3 如果 ，则（ ）2(1)aaAa B. a C. a D. a11212例 4 化简： （ ） | 3|= 变式训练：1、化简 )2(的结果是( )A 12 B C 21 D 22、计算：计算： 0023 )9
26、4(5sin)()( 计算： （3）计算：22145）（）（3636)()（ ） （3、已知 ，求 的值231a aa1212【聚焦中考】1.已知分式 ，当x2时，分式无意义，则a ，当a6时，使分式无意义235的x的值共有 个2.某人上山和下山走同一条路，且总路程为 千米，若他上山的速度为 千米/时，下山的速度为 千米/时，则他上山和下山的平均速度为 （ ）A. 2ba B. ba C. D. bas23.根式 中 x 的取值范围是（ ）3Ax Bx C x Dx33134.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 150.55505、数轴上的点并不都
27、表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 ”，这种说明问2题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）A代人法 B换元法 C数形结合 D分类讨论6.已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）a 2|1|aA1 B C D12a7、学完分式运算后，老师出了一道题“化简： ”234x小明的做法是：原式 ；2222(3)6844xxx小亮的做法是：原式 ；2()()小芳的做法是：原式 323131()xxx其中正确的是（ ）A小明 B小亮 C小芳 D没有正确的8、若整数 x 满足|x|3，则使 为整数的 x 的值是 （只需填一个） 9若等式 成立，则 的取值范围是 .1)2(010若 b
28、ayba,，则 xy= 11若 2230，则 21|ab12.若实数 满足 ，则 的值是 xy， 32yxy13、.已知 x=2009,y=2010，求代数式 的值2x14计算：（1）10(32)4cos30|12| （2）23110 a1415. 已知 ， 。求 的值5yx3xyx16、甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不同） ，甲每次购买粮食 100 千克，乙每次购粮用去 100 元。设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为每千克 x 元，第二次购买粮食的单价为每千克 y 元（1）用含 x、y 代数式表示：甲每次购买粮食共需付粮款_元：乙两次共购买_千克粮食。若甲两次购粮的平均单价为每千克 Q1 元，乙两次购粮的平均单价为每千克 Q2 元，则 Q1=_； Q2=_（2）若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮凡是就更合算。请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由。
