1、 第1页（共9页） 2020年上海市松江区高考数学一模试卷 安逸数学工作室2019.12 一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。 1. 已知集合2,1,0,01| = BxxA，则=BAI _. 2. 若角的终边过点)3,4( P，则=+ )23sin( pi _. 3. 设iiiz 211 +=，则=|z _. 4. 52 )2( xx +的展开式中4x的系数为_. 5. 已知椭圆14922=+ yx的左、右焦点分别为21,FF，若椭圆上的点P满足|2| 21 PFPF =，
2、则=| 1PF _. 6. 若关于yx,的方程组=+=+mmyxmymx 24无解，则实数=m _. 7. 已知向量)3,(),2,1( = mba，若向量bba /)2( ，则实数=m _. 8. 已知函数)(xfy =的反函数为)(1 xfy =，若函数xxfy 2)( +=的图像经过点)6,1(，则函数xxfy 21 log)( += 的图像必过点_. 9. 在无穷等比数列 na中，31).(lim 21 =+ nnaaa，则1a的取值范围是_. 10. 函数dcx baxy +=的大致图像如图，若函数图像经过)3,4(),1,0( 两点，且1=x和2=y是其两条渐近线，则=dcba :
3、 _. 11. 若实数0, ba，满足1, 22 =+= bacbaabc，则实数c的最小值为_. 12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为654321 , AAAAAA，集合 ),6,5,4,3,2,1,(| jijiAAaaM ji =，在M中任取两个元素nm,，则0=nm的概率为_. 第2页（共9页） 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13已知l是平面的一条斜线，直线m，则 A存在唯一的一条直线m，使得ml B存在无数多条直线m，使得ml C存在唯一的
4、一条直线m，使得ml/ D存在无数多条直线m，使得ml/ 14设Ryx ,，则“2+ yx”是“yx,中至少有一个数大于1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15已知Rcb ,，若Mcbxx + | 2对任意的4,0x恒成立，则 AM的最小值为1 BM的最小值为2 CM的最小值为4 DM的最小值为8 16已知集合10,.,3,2,1=M，集合MA ，定义)(AM为集合A中元素的最小值，当A取遍M中的所有非空子集时，对应的 )(AM的和记为10S，则10S =（ ） A45 B1012 C2036 D9217 三、解答题（本题满分76分）本大题共有
5、5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。 17（14分）如图，圆锥的底面半径2=OA，高6=PO，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点， （1）求圆锥的侧面积与体积； （2）求异面直线CD与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 第3页（共9页） 18（14分）已知函数xxxxf 2sin2cossin32)( = （1）求函数)(xf的最大值； （2）在ABC中，内角CBA ,对应的边分别为cba ,，若0)( =Af，cab ,成等差数列，且满足2= ACAB，求边a的长. 19（14分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作
6、原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当次距离等于报警距离就开始报警提醒，等于危险距离就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t，人的反应时间1t，系统反应时间2t，制动时间3t，相应的距离分别为3210 , dddd，当车速为v（米/秒），且3.33,0v时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随底面湿滑程度等路面情况而变化，9.0,5.0k）. （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式)(vd，并求9.0=k时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，任以此速度行驶，求汽车撞上固定障碍物的最
7、短时间（精确到0.1秒）； （2）若要求汽车无论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时） 第4页（共9页） 20（16分）设抛物线xy 4: 2 =的焦点为F，经过x轴正半轴上点)0,(mM的直线l交于不同的两点BA,； （1）若3| =FA，求点A的坐标； （2）若2=m，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部； （3）若| FMFA =，且直线ll /1，1l与有且只有一个公共点E，问：OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 21（18分）已知数列 na满足： )( NnN
8、an；当)(2 = Nkn k时，2nan =； 当)(2 Nkn k时，1+ cb，则由图像可知，)2()4()0()( max bfffxf =或或 要使M最小，则必有对称轴在区间0,4的中间，即41644 2 =+= mFMxFA A，矛盾，舍去 1m 设点),( 00 yxA，则点)0,2( 0 +xM 则22: 00+= xyyxAB ； byyxl +=012: 联立=+=xybyyx4220 04802 =+ byyy 2020401664ybby =+= 200142:yyyxl += 再与抛物线方程联立可求)4,4(020 yyE 2422214411002120000002
9、000 =+= yxyyxyyyxS OAE 21.（1）易得8,4,2,1 16842 = aaaa； 10,0,33431121或=aNaaaaNaaa 108.0 91615109或又= aNaaaaa n （2）不妨设 na共有k2项，先估计以下nS = 2020大概是加到哪一项 要使nS = 2020时n最小，则第12 +m项必取1 第9页（共9页） 则可以看出数列大概是44444444 344444444 21kk21)2.2,1)(8,.,3,2,1(),4,3,2,1(),2,1(),1(0,共有 这里分组是为了看清规律 则每一组的通项为)24(212 2)21( 1111+=
10、+= kkkkkb )12(21)14(612 += kkkS 279471412864=SS 130664128 = SS 又可知13265150.321 127550.321 =+ =+ 1155164min =+=n（中间的数字灵活取值可以凑到2020） （3） 1）必要性 242 += nSS nnQ 22422412222211+=+=+nnnnnnSSSS 01314 2212122212 11111 =+ + + nnnnn aaaaa 由题意得221211+nnaa只能取202110或或 21221211=+nnaa，必要性已证 2）充分性 已知112 1 =+na，则数列必然就是)2.2,1)(8,.,3,2,1(),4,3,2,1(),2,1(),1(0, 1k这种 220).(22).(22).(2).()1(.)1()1().().(.1224222222422212312212+=+=+=+=+=+=+=nSanaanaaanaaaaaaaaaaaaaaaSnnnnnnnnnnQ充分性已证
