1、第十一章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与性质,实例概念性质必要条件小结、作业,1/26,例 无穷级数概念的引入,问题：如何理解无穷多个数相加(这是“不可完成”的！)得出一个数？,历史争论：Zenos Paradox(芝诺悖论),Zeno：,这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到 原点。,实际经验告诉我们：若等速行进，跑一半路程化时间T，则跑完全程应化时间2T，即有,如何理解此等式?,？,解决此悖论，要引进极限方法：先算前 n 项之和：,让 ，上述和 (与实际经验相符！)可见， 要把无限多项之“和”2T 理解为前 n 项之和，当 时的极限。,但是，如果以如下方式减速前进：,此时需化为,若先
2、考虑 ，则有,？,实际经验不能给我们任何启示！,在这种情况下，Zeno是有道理的：永远不能到达终点。,几点结论： 1无穷级数是以加法形式出现的极限问题； 2正由于本质是极限，故出现“极限是否存在”的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的； 3正由于本质是极限，故加法的性质(如交换律、结合律等)不可以无条件平移过来；,一、实例,1. 计算圆的面积A-割圆术,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2/26,3/26,二、概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数，,一般项,部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,4/26,解,收敛;,发散;,发散.,发散.,综上,5/26,解,为
3、等比级数，,解,6/26,三、性质,即: 收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.,9/26,思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?,解,10/26,11/26,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,发散.,收敛;,四、收敛的必要条件,*证,级数收敛的必要条件:,注意,1. 一般项不趋于零级数发散;,发散,2. 条件不充分：一般项趋于零级数收敛.,13/26,例5,14/26,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,或由,15/26,例6 判别收敛性：,解,解,解,16/26,解,17/26,五、小结,一、常数项级数的概念:,二、基本审敛法：,18/26,*无穷级数收
4、敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,19/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,20/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,21/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,22/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,23/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,24/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,25/26,周长为,面积为,于是,结论：雪花的周长是无限的，而面积有限,第n次分叉：,26/26,
